2027학년도 대비 인하대학교 수리논술 모의고사 1회 문제집

2027학년도 대비 인하대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 1회 (문제집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 1] (20점) 로그의 성질과 부분분수 망원급수의 지수 변환

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 탐구 13011 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]

<제시문 (가)> 로그의 성질에 의하여 \(\sum_{k=1}^{n} \log_a f(k) = \log_a \left(\prod_{k=1}^{n} f(k)\right)\)가 성립하며, \(1 - \dfrac{1}{(k + 1)^2} = \dfrac{k(k + 2)}{(k + 1)^2}\)로 인수분해하면 진수의 연쇄 약분을 유도할 수 있다.

\(2\) 이상의 자연수 \(n\)에 대하여 \(S_n = \sum_{k=1}^{n} \log_2\left(1 - \dfrac{1}{(k + 1)^2}\right)\)이라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)의 인수분해를 이용하여 진수들의 곱 \(\prod_{k=1}^{n} \dfrac{k(k + 2)}{(k + 1)^2}\)을 \(n\)에 대한 기약분수 꼴로 간단히 정리하시오.

[문항 1-2] (7점) \(S_{15}\)의 값과 \(2^{S_{31}}\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 부등식 \(S_n + 1 \lt \log_2\left(1 + \dfrac{1}{24}\right)\)을 만족시키는 최소의 자연수 \(n\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 2] (20점) 지수함수와 로그함수 그래프 위의 격자점(정수점) 개수

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 탐구 13012 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

<제시문 (가)> 좌표평면에서 두 곡선과 직선으로 둘러싸인 영역(경계 포함)에 속하는 점 \((x, y)\) 중 \(x, y\)가 모두 정수인 점(격자점)의 개수는 \(x = k\) (또는 \(y = m\))를 고정하여 세로선(또는 가로선) 위의 정수 개수를 합산하여 구한다.

자연수 \(n\;(1 \le n \le 4)\)에 대하여 부등식 \(1 \le x \le 2^n\)과 \(0 \le y \le \log_2 x\)를 동시에 만족시키는 좌표평면 위의 점 \((x, y)\) 중 \(x, y\)가 모두 정수인 점의 개수를 \(A(n)\)이라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) \(n = 2\)일 때 가능한 정수 \(y\)의 값을 모두 구하고, 각 \(y\)에 대하여 조건을 만족시키는 정수 \(x\)의 개수를 세어 \(A(2)\)의 값을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 제시문 (가)의 가로선(\(y = m\), \(0 \le m \le n\)) 기준 분류를 이용하여 \(A(n)\)을 \(n\)에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 2-3] (7점) \(A(4)\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 3] (20점) 삼각함수의 그래프와 직선의 교점의 대칭성 및 산술합

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 탐구 13013 변형 | 성취기준: 12대수02-02]

<제시문 (가)> 점 \((a, 0)\)에 대하여 점대칭인 두 함수 \(y = f(x)\)와 \(y = g(x)\)의 그래프가 유한개의 점에서 만나면, 모든 교점의 \(x\)좌표들도 \(x = a\)에 대하여 대칭으로 쌍을 이룬다.

함수 \(f(x) = \sin(\pi x)\)의 그래프와 직선 \(y = \dfrac{2}{7}(x - 2)\)가 만나는 모든 교점의 개수와 교점들의 \(x\)좌표의 합을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 함수 \(f(x) = \sin(\pi x)\)의 주기를 구하고, 직선 \(y = \dfrac{2}{7}(x - 2)\)가 점 \((2, 0)\)을 지나며 \(-1 \le y \le 1\)이 되는 \(x\)의 범위를 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 두 그래프가 만나는 서로 다른 모든 교점의 개수 \(N\)을 구하고, 그 이유를 구간별로 나누어 서술하시오.

[문항 3-3] (7점) 제시문 (가)의 대칭성을 이용하여 모든 교점의 \(x\)좌표의 총합을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 4] (20점) 가우스 함수와 다항함수의 곱·합성 연속성

미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.3 탐구 13014 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03]

<제시문 (가)> 최대정수함수 \([x]\)는 모든 정수 \(x = n\)에서 \(\lim_{x \to n-} [x] = n - 1,\; \lim_{x \to n+} [x] = n\)이므로 불연속이다.

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x) = [x]^2 + (ax + b)[x]\)가 \(x = 1\)과 \(x = 2\)에서 모두 연속일 때, 다음 논제에 답하시오. (단, \(a, b\)는 상수이고 \([x]\)는 \(x\)보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(x = 1\)에서 함수 \(f(x)\)의 좌극한과 우극한(함숫값)을 각각 구하고 첫 번째 관계식을 세우시오.

[문항 4-2] (7점) \(x = 2\)에서의 좌극한과 우극한을 비교하여 두 번째 관계식을 세우고, 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 구한 \(a, b\)에 대하여 함수 \(f(x)\)가 \(x = 3\)에서 연속인지 불연속인지 좌극한과 우극한을 구하여 판정하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 5] (20점) 사차함수의 이중접선과 둘러싸인 도형의 넓이

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 탐구 13015 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 사차함수 \(y = f(x)\)의 그래프가 직선 \(y = mx + n\)과 서로 다른 두 점 \(x = \alpha, \beta\;(\alpha \lt \beta)\)에서 동시에 접하면 \(f(x) - (mx + n) = a(x - \alpha)^2(x - \beta)^2\) 꼴로 인수분해되며, 둘러싸인 도형의 넓이는 \(\int_{\alpha}^{\beta} |a|(x - \alpha)^2(x - \beta)^2\,dx = \dfrac{|a|}{30}(\beta - \alpha)^5\)이다.

사차함수 \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 2x + 1\)의 그래프에 서로 다른 두 점에서 동시에 접하는 직선(이중접선)을 \(l : y = mx + n\)이라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(f(x) - (mx + n) = (x - \alpha)^2(x - \beta)^2\;(\alpha \lt \beta)\)으로 놓고 계수를 비교하여 두 접점의 \(x\)좌표 \(\alpha, \beta\)와 직선 \(l\)의 방정식을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) \(x = 1\)에서의 함숫값 \(f(1)\)과 점 \((1, f(1))\)에서의 접선의 기울기 \(f'(1)\)을 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 곡선 \(y = f(x)\)와 이중접선 \(l\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.