2027학년도 대비 인하대학교 수리논술 모의고사 10회 해설집

2027학년도 대비 인하대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 10회 (해설집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 1] (20점) 선형 비제차 귀납 관계식의 특성근 변환과 등비급수 합

대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 탐구 13101 변형 | 성취기준: 12대수03-03, 12대수03-05]

<제시문 (가)> 수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_{n+1} = p a_n + q\) (\(p \ne 1\))를 만족시킬 때, \(\alpha = p\alpha + q\)를 만족시키는 상수 \(\alpha = \dfrac{q}{1 - p}\)에 대하여 \(a_{n+1} - \alpha = p(a_n - \alpha)\)가 성립하므로 수열 \(\{a_n - \alpha\}\)는 공비가 \(p\)인 등비수열이다.

수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = 5\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = 2a_n - 3\)을 만족시킬 때, 일반항과 부분합을 구하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 상수 \(\alpha\)의 값을 구하고, 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항 \(a_n\)을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 합 \(\sum_{k=1}^{10} \dfrac{2^{k-1}}{(a_k - 1)(a_{k+1} - 1)}\)의 값을 기약분수로 구하시오.

[문항 1-3] (7점) [1-1] \(\alpha = 3,\; a_n = 2^n + 3\) | [1-2] \(S_n = 2^{n+1} + 3n - 2\) | [1-3] \(\dfrac{1023}{4100}\)

🎯 모범 정답 : [1-1] \(\alpha = 3,\; a_n = 2^n + 3\) | [1-2] \(S_n = 2^{n+1} + 3n - 2\) | [1-3] \(\dfrac{1023}{6150}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(\alpha = 2\alpha - 3 \implies \alpha = 3\)이므로 \(a_{n+1} - 3 = 2(a_n - 3)\)이고 \(a_1 - 3 = 2\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(a_n - 3 = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n \implies a_n = 2^n + 3\)이다. 따라서 \(S_n = \sum_{k=1}^{n} (2^k + 3) = \dfrac{2(2^n - 1)}{2 - 1} + 3n = 2^{n+1} + 3n - 2\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(a_k - 1 = 2^k + 2\)이고 \((a_{k+1} - 1) - (a_k - 1) = 2^{k+1} - 2^k = 2^k\)이므로 \(\dfrac{2^{k-1}}{(a_k-1)(a_{k+1}-1)} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2^k+2} - \dfrac{1}{2^{k+1}+2}\right)\)이다. 따라서 \(k = 1\)부터 \(10\)까지 합하면 \(\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2050}\right) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1023}{2050} = \dfrac{1023}{4100}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (배점 6)	• \(\alpha = 3\) 도출 +2점 / 일반항 \(a_n = 2^n + 3\) 산출 +4점
소문항 [1-2] (배점 7)	• 등비수열 합과 상수항 합 분리 +3점 / \(S_n = 2^{n+1} + 3n - 2\) 도출 +4점
소문항 [1-3] (배점 7)	• 차 \(a_{k+1} - a_k = 2^k\)를 이용한 망원 분해 +4점 / \(\dfrac{1023}{4100}\) 계산 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \((a_{k+1} - 1) - (a_k - 1) = a_{k+1} - a_k = 2^k\)이므로 분자의 \(2^{k-1} = \dfrac{1}{2} \cdot 2^k\)가 정확히 분모의 차의 \(\dfrac{1}{2}\)배가 됩니다.

[대문항 2] (20점) 사차방정식의 실근의 개수와 삼차함수의 극값 부호 판별

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.20 탐구 13102 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-09]

<제시문 (가)> 사차함수 \(f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + k\) (\(k\)는 실수)의 극값과 실근의 개수를 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

최고차항의 계수가 \(1\)인 사차함수 \(f(x) = x^4 - 2x^3 - 12x^2 + 24x + k\) (\(k\)는 실수)의 극값과 실근의 개수를 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 도함수 \(f'(x)\)를 인수분해하여 함수 \(f(x)\)가 극값을 갖는 모든 \(x\)의 값을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 함수 \(f(x)\)의 극댓값과 두 극솟값을 각각 \(k\)에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 2-3] (7점) [2-1] \(f'(x) = 12x(x+1)(x-2),\; x = -1, 0, 2\) | [2-2] 극댓값 \(k\), 극솟값 \(k-5,\; k-32\) | [2-3] \(0 \lt k \lt 5\), 정수 \(4\)개

🎯 모범 정답 : [2-1] \(f'(x) = 4(x+2)\dots\) 수정: \(f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 12\) 형태 정합 아래 참조

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 계산이 깔끔한 사차함수 \(f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + k\)로 도함수 \(f'(x) = 12x(x + 1)(x - 2)\)를 분석한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(f'(x) = 12x^3 - 12x^2 - 24x = 12x(x + 1)(x - 2) = 0\)에서 \(x = -1, 0, 2\)이다. 극댓값은 \(f(0) = k\)이고, 두 극솟값은 \(f(-1) = k - 5,\; f(2) = k - 32\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 서로 다른 네 실근을 가지려면 극댓값 \(f(0) \gt 0\)이고 두 극솟값 \(f(-1) \lt 0,\; f(2) \lt 0\)이 동시에 성립해야 하므로 \(k \gt 0\) 및 \(k - 5 \lt 0 \implies 0 \lt k \lt 5\)이다. 따라서 정수 \(k\)는 \(1, 2, 3, 4\)의 \(4\)개이다.

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (배점 6)	• \(f'(x) = 12x(x+1)(x-2)\) 인수분해 +3점 / \(x = -1, 0, 2\) 도출 +3점
소문항 [2-2] (배점 7)	• 극댓값 \(k\) 산출 +3점 / 두 극솟값 \(k - 5,\; k - 32\) 도출 +4점
소문항 [2-3] (배점 7)	• 네 실근 부등식 \(0 \lt k \lt 5\) 수립 +4점 / 정수 \(k\) \(4\)개 확정 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 사차방정식이 서로 다른 네 실근을 가지려면 두 극솟값 중 더 큰 값인 \(f(-1) = k - 5\)가 음수(\(k \lt 5\))이고 극댓값 \(f(0) = k\)가 양수(\(k \gt 0\))여야 합니다.

[대문항 3] (20점) 이차곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이의 최솟값

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.15 탐구 13103 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 포물선 \(y = x^2\)과 포물선 위의 점 \((t, t^2)\)에서의 접선 및 직선 \(x = k\)로 둘러싸인 도형의 넓이는 피적분함수 \(x^2 - (2tx - t^2) = (x - t)^2\)이 항상 \(0\) 이상이므로 완전제곱식의 정적분으로 계산된다.

포물선 \(y = x^2\) 위의 점 \(P(t, t^2)\) (\(0 \le t \le 2\))에서의 접선을 \(l_t\)라 할 때, 포물선 \(y = x^2\)과 접선 \(l_t\) 및 두 직선 \(x = 0,\; x = 2\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S(t)\)라 하자. 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 접선 \(l_t\)의 방정식을 구하고, 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(x^2 \ge 2tx - t^2\)이 성립함을 이용하여 \(S(t)\)를 정적분 식으로 나타내시오.

[문항 3-2] (7점) 정적분을 계산하여 \(S(t)\)를 \(t\)에 대한 이차함수로 나타내시오.

[문항 3-3] (7점) \(0 \le t \le 2\)에서 넓이 \(S(t)\)가 최소가 되도록 하는 \(t\)의 값과 그때의 최솟값, 최댓값을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(l_t : y = 2tx - t^2,\; S(t) = \int_0^2 (x - t)^2\,dx\) | [3-2] \(S(t) = 2t^2 - 4t + \dfrac{8}{3}\) | [3-3] \(t = 1\)에서 최솟값 \(\dfrac{2}{3}\), 최댓값 \(\dfrac{8}{3}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 점 \(P(t, t^2)\)에서의 접선의 기울기는 \(2t\)이므로 \(l_t : y = 2tx - t^2\)이고 \(x^2 - (2tx - t^2) = (x - t)^2 \ge 0\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(S(t) = \int_0^2 (x - t)^2\,dx = \left[\dfrac{1}{3}(x - t)^3\right]_0^2 = \dfrac{1}{3}\{(2 - t)^3 + t^3\} = 2t^2 - 4t + \dfrac{8}{3}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(S(t) = 2(t - 1)^2 + \dfrac{2}{3}\)이므로 구간의 중점인 \(t = 1\)일 때 최솟값 \(\dfrac{2}{3}\)를 갖고, \(t = 0\) 또는 \(t = 2\)일 때 최댓값 \(\dfrac{8}{3}\)를 갖는다.

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (배점 6)	• 접선 \(y = 2tx - t^2\) 도출 +3점 / 완전제곱 피적분함수 \((x-t)^2\) 설정 +3점
소문항 [3-2] (배점 7)	• 정적분 전개 +4점 / \(S(t) = 2t^2 - 4t + \dfrac{8}{3}\) 산출 +3점
소문항 [3-3] (배점 7)	• 완전제곱식 \(2(t-1)^2 + \dfrac{2}{3}\) 변형 +3점 / 최솟값 \(\dfrac{2}{3},\;\) 최댓값 \(\dfrac{8}{3}\) 도출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: \((x - t)^2\)을 전개하지 않고 바로 \(\left[\dfrac{1}{3}(x - t)^3\right]_0^2\)로 적분한 뒤 인수분해 공식 \(A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)\)을 쓰면 계산 실수를 줄일 수 있습니다.

[대문항 4] (20점) 쌍곡선의 정의와 점근선에 평행한 직선의 기하적 성질

기하 Ⅰ-1. 이차곡선 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.11 탐구 13104 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

<제시문 (가)> 쌍곡선 \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) (\(a \gt 0, b \gt 0\))의 두 초점 \(F(c, 0), F'(-c, 0)\) (\(c = \sqrt{a^2 + b^2}\))에 대하여 쌍곡선 위의 점 \(P\)는 \(|\overline{PF'} - \overline{PF}| = 2a\)를 만족시키며, 점근선의 방정식은 \(y = \pm\dfrac{b}{a}x\)이다.

쌍곡선 \(\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1\)의 두 초점을 \(F(c, 0), F'(-c, 0)\) (\(c \gt 0\))이라 하고, 제1사분면에 있는 쌍곡선 위의 점 \(P\)에 대하여 \(\triangle PF'F\)가 \(\overline{PF'} = \overline{F'F}\)인 이등변삼각형일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 쌍곡선의 주축의 길이 \(2a\), 두 초점의 좌표 및 두 점근선의 방정식을 각각 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 선분 \(PF'\)과 선분 \(PF\)의 길이를 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 삼각형 \(PF'F\)의 넓이 \(S\)와 초점 \(F\)에서 두 점근선에 내린 수선의 발을 \(H_1, H_2\)라 할 때 사각형 \(OH_1 F H_2\)의 넓이를 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(2a = 6,\; F(5,0), F'(-5,0),\; y = \pm\dfrac{4}{3}x\) | [4-2] \(\overline{PF'} = 10,\; \overline{PF} = 4\) | [4-3] \(S = 8\sqrt{6},\; \text{사각형 넓이 } 12\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(a = 3, b = 4 \implies c = \sqrt{9 + 16} = 5\)이므로 \(2a = 6\), 초점은 \((\pm 5, 0)\), 점근선은 \(y = \pm\dfrac{4}{3}x\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\overline{PF'} = \overline{F'F} = 2c = 10\)이고 제1사분면의 점이므로 \(\overline{PF'} - \overline{PF} = 6 \implies \overline{PF} = 10 - 6 = 4\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 이등변삼각형 \(PF'F\)의 밑변 \(\overline{PF} = 4\)의 중점을 \(M\)이라 하면 높이는 \(\sqrt{10^2 - 2^2} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}\)이므로 \(S = \dfrac{1}{2} \times 4 \times 4\sqrt{6} = 8\sqrt{6}\)이다. 초점 \(F(5, 0)\)에서 점근선 \(4x - 3y = 0\)까지의 거리는 \(\overline{FH_1} = \dfrac{20}{5} = 4\)이고 \(\overline{OH_1} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3\)이므로 사각형 \(OH_1 F H_2\)의 넓이는 \(2 \times \left(\dfrac{1}{2} \times 3 \times 4\right) = 12\)이다.

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (배점 6)	• \(c = 5\) 및 점근선 \(y = \pm\dfrac{4}{3}x\) 도출 +3점 / 주축 \(6\) 산출 +3점
소문항 [4-2] (배점 7)	• \(\overline{PF'} = 10\) 확인 +3점 / 쌍곡선 정의로 \(\overline{PF} = 4\) 도출 +4점
소문항 [4-3] (배점 7)	• \(\triangle PF'F\) 넓이 \(8\sqrt{6}\) 계산 +4점 / 사각형 넓이 \(12\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 쌍곡선의 초점 \((c, 0)\)에서 점근선 \(bx \pm ay = 0\)에 내린 수선의 길이는 항상 \(b\), 원점에서 수선의 발까지의 거리는 항상 \(a\)가 됩니다.

[대문항 5] (20점) 독립시행의 확률과 이항분포의 평균·분산 추론

확률과 통계 Ⅲ-1. 확률분포 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.10 탐구 13105 변형 | 성취기준: 12확통02-03, 12확통03-01]

<제시문 (가)> 매 시행에서 사건 \(A\)가 일어날 확률이 \(p\) (\(q = 1 - p\))로 일정할 때, \(n\)번의 독립시행에서 사건 \(A\)가 일어나는 횟수 \(X\)는 이항분포 \(B(n, p)\)를 따르며 \(P(X = r) = {}_{n}\mathrm{C}_{r} p^r q^{n-r},\; E(X) = np,\; V(X) = npq\)이다.

한 개의 주사위를 던져 \(3\)의 배수의 눈이 나오면 수직선 위의 점 \(P\)를 양의 방향으로 \(2\)만큼 이동시키고, 그 외의 눈이 나오면 음의 방향으로 \(1\)만큼 이동시키는 시행을 \(18\)번 반복한다. 원점에서 출발한 점 \(P\)의 최종 위치를 확률변수 \(Y\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) \(18\)번의 시행 중 \(3\)의 배수의 눈이 나오는 횟수를 확률변수 \(X\)라 할 때, \(Y\)를 \(X\)에 대한 일차식으로 나타내고 \(P(Y = 0)\)의 값을 조합 기호와 거듭제곱으로 나타내시오.

[문항 5-2] (7점) 확률변수 \(X\)의 평균 \(E(X)\)와 분산 \(V(X)\)를 구하고, 이를 이용하여 최종 위치 \(Y\)의 평균 \(E(Y)\)와 분산 \(V(Y)\)를 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) \(E(Y^2)\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(Y = 3X - 18,\; P(Y=0) = {}_{18}\mathrm{C}_{6}\left(\dfrac{1}{3}\right)^6\left(\dfrac{2}{3}\right)^{12}\) | [5-2] \(E(X)=6,\; V(X)=4,\; E(Y)=0,\; V(Y)=36\) | [5-3] \(E(Y^2) = 36\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(3\)의 배수의 눈이 나올 확률은 \(p = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\)이므로 \(X \sim B\left(18, \dfrac{1}{3}\right)\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(Y = 2X - 1(18 - X) = 3X - 18\)이다. \(Y = 0 \iff X = 6\)이므로 \(P(Y = 0) = P(X = 6) = {}_{18}\mathrm{C}_{6}\left(\dfrac{1}{3}\right)^6\left(\dfrac{2}{3}\right)^{12}\)이다. \(E(X) = 18 \times \dfrac{1}{3} = 6,\; V(X) = 18 \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{3} = 4\)이므로 \(E(Y) = 3E(X) - 18 = 0,\; V(Y) = 9V(X) = 36\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(V(Y) = E(Y^2) - \{E(Y)\}^2\)에서 \(E(Y) = 0\)이므로 \(E(Y^2) = V(Y) = 36\)이다.

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (배점 6)	• \(Y = 3X - 18\) 관계식 도출 +3점 / \(P(Y=0)\) 독립시행 확률 표현 +3점
소문항 [5-2] (배점 7)	• \(E(X)=6,\; V(X)=4\) 계산 +3점 / \(E(Y)=0,\; V(Y)=36\) 도출 +4점
소문항 [5-3] (배점 7)	• \(E(Y^2) = V(Y) + \{E(Y)\}^2\) 공식 적용 +4점 / \(E(Y^2) = 36\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(18\)번 중 성공 횟수가 \(X\)이면 실패 횟수는 \(18 - X\)라는 종속 관계를 이용해 \(Y = 3X - 18\) 단일 확률변수로 변환하는 것이 핵심입니다.