2027학년도 대비 인하대학교 수리논술 모의고사 10회 문제집

2027학년도 대비 인하대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 10회 (문제집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 1] (20점) 선형 비제차 귀납 관계식의 특성근 변환과 등비급수 합

대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 탐구 13101 변형 | 성취기준: 12대수03-03, 12대수03-05]

<제시문 (가)> 수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_{n+1} = p a_n + q\) (\(p \ne 1\))를 만족시킬 때, \(\alpha = p\alpha + q\)를 만족시키는 상수 \(\alpha = \dfrac{q}{1 - p}\)에 대하여 \(a_{n+1} - \alpha = p(a_n - \alpha)\)가 성립하므로 수열 \(\{a_n - \alpha\}\)는 공비가 \(p\)인 등비수열이다.

수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = 5\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = 2a_n - 3\)을 만족시킬 때, 일반항과 부분합을 구하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 상수 \(\alpha\)의 값을 구하고, 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항 \(a_n\)을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 합 \(\sum_{k=1}^{10} \dfrac{2^{k-1}}{(a_k - 1)(a_{k+1} - 1)}\)의 값을 기약분수로 구하시오.

[문항 1-3] (7점) [1-1] \(\alpha = 3,\; a_n = 2^n + 3\) | [1-2] \(S_n = 2^{n+1} + 3n - 2\) | [1-3] \(\dfrac{1023}{4100}\)

[인하대학교 제10회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 인하대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 2] (20점) 사차방정식의 실근의 개수와 삼차함수의 극값 부호 판별

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.20 탐구 13102 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-09]

<제시문 (가)> 사차함수 \(f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + k\) (\(k\)는 실수)의 극값과 실근의 개수를 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

최고차항의 계수가 \(1\)인 사차함수 \(f(x) = x^4 - 2x^3 - 12x^2 + 24x + k\) (\(k\)는 실수)의 극값과 실근의 개수를 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 도함수 \(f'(x)\)를 인수분해하여 함수 \(f(x)\)가 극값을 갖는 모든 \(x\)의 값을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 함수 \(f(x)\)의 극댓값과 두 극솟값을 각각 \(k\)에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 2-3] (7점) [2-1] \(f'(x) = 12x(x+1)(x-2),\; x = -1, 0, 2\) | [2-2] 극댓값 \(k\), 극솟값 \(k-5,\; k-32\) | [2-3] \(0 \lt k \lt 5\), 정수 \(4\)개

[인하대학교 제10회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 인하대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 3] (20점) 이차곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이의 최솟값

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.15 탐구 13103 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 포물선 \(y = x^2\)과 포물선 위의 점 \((t, t^2)\)에서의 접선 및 직선 \(x = k\)로 둘러싸인 도형의 넓이는 피적분함수 \(x^2 - (2tx - t^2) = (x - t)^2\)이 항상 \(0\) 이상이므로 완전제곱식의 정적분으로 계산된다.

포물선 \(y = x^2\) 위의 점 \(P(t, t^2)\) (\(0 \le t \le 2\))에서의 접선을 \(l_t\)라 할 때, 포물선 \(y = x^2\)과 접선 \(l_t\) 및 두 직선 \(x = 0,\; x = 2\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S(t)\)라 하자. 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 접선 \(l_t\)의 방정식을 구하고, 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(x^2 \ge 2tx - t^2\)이 성립함을 이용하여 \(S(t)\)를 정적분 식으로 나타내시오.

[문항 3-2] (7점) 정적분을 계산하여 \(S(t)\)를 \(t\)에 대한 이차함수로 나타내시오.

[문항 3-3] (7점) \(0 \le t \le 2\)에서 넓이 \(S(t)\)가 최소가 되도록 하는 \(t\)의 값과 그때의 최솟값, 최댓값을 각각 구하시오.

[인하대학교 제10회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 인하대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 4] (20점) 쌍곡선의 정의와 점근선에 평행한 직선의 기하적 성질

기하 Ⅰ-1. 이차곡선 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.11 탐구 13104 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

<제시문 (가)> 쌍곡선 \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) (\(a \gt 0, b \gt 0\))의 두 초점 \(F(c, 0), F'(-c, 0)\) (\(c = \sqrt{a^2 + b^2}\))에 대하여 쌍곡선 위의 점 \(P\)는 \(|\overline{PF'} - \overline{PF}| = 2a\)를 만족시키며, 점근선의 방정식은 \(y = \pm\dfrac{b}{a}x\)이다.

쌍곡선 \(\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1\)의 두 초점을 \(F(c, 0), F'(-c, 0)\) (\(c \gt 0\))이라 하고, 제1사분면에 있는 쌍곡선 위의 점 \(P\)에 대하여 \(\triangle PF'F\)가 \(\overline{PF'} = \overline{F'F}\)인 이등변삼각형일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 쌍곡선의 주축의 길이 \(2a\), 두 초점의 좌표 및 두 점근선의 방정식을 각각 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 선분 \(PF'\)과 선분 \(PF\)의 길이를 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 삼각형 \(PF'F\)의 넓이 \(S\)와 초점 \(F\)에서 두 점근선에 내린 수선의 발을 \(H_1, H_2\)라 할 때 사각형 \(OH_1 F H_2\)의 넓이를 각각 구하시오.

[인하대학교 제10회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 인하대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 5] (20점) 독립시행의 확률과 이항분포의 평균·분산 추론

확률과 통계 Ⅲ-1. 확률분포 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.10 탐구 13105 변형 | 성취기준: 12확통02-03, 12확통03-01]

<제시문 (가)> 매 시행에서 사건 \(A\)가 일어날 확률이 \(p\) (\(q = 1 - p\))로 일정할 때, \(n\)번의 독립시행에서 사건 \(A\)가 일어나는 횟수 \(X\)는 이항분포 \(B(n, p)\)를 따르며 \(P(X = r) = {}_{n}\mathrm{C}_{r} p^r q^{n-r},\; E(X) = np,\; V(X) = npq\)이다.

한 개의 주사위를 던져 \(3\)의 배수의 눈이 나오면 수직선 위의 점 \(P\)를 양의 방향으로 \(2\)만큼 이동시키고, 그 외의 눈이 나오면 음의 방향으로 \(1\)만큼 이동시키는 시행을 \(18\)번 반복한다. 원점에서 출발한 점 \(P\)의 최종 위치를 확률변수 \(Y\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) \(18\)번의 시행 중 \(3\)의 배수의 눈이 나오는 횟수를 확률변수 \(X\)라 할 때, \(Y\)를 \(X\)에 대한 일차식으로 나타내고 \(P(Y = 0)\)의 값을 조합 기호와 거듭제곱으로 나타내시오.

[문항 5-2] (7점) 확률변수 \(X\)의 평균 \(E(X)\)와 분산 \(V(X)\)를 구하고, 이를 이용하여 최종 위치 \(Y\)의 평균 \(E(Y)\)와 분산 \(V(Y)\)를 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) \(E(Y^2)\)의 값을 구하시오.

[인하대학교 제10회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 인하대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.