2027학년도 대비 한국외국어대학교 자연·AI계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회)

2027학년도 대비 한국외국어대학교 자연·AI계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제7회 (해설집) 90분 / 100점 만점 · 논술100% · 대수·미적분 중심

[대문항 1] 유리수 지수의 거듭제곱 대칭식과 인수분해 항등식 추론 (20점)

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: (DB: CAL1_Ch03_미래엔) PDF p.5 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03]

<제시문 (가)> 양수 \(x\)에 대하여 \(u = x^{1/2}\;\left(u + u^{-1} = \sqrt{159}\right)\)로 치환하면 지수법칙에 의하여 \(x + x^{-1} = u^2 + u^{-2} = 157\)이다.
<제시문 (나)> \(u + u^{-1} = \sqrt{159}\)일 때 세제곱 곱셈 공식 \(u^3 + u^{-3} = (u + u^{-1})^3 - 3(u + u^{-1}) = 156\sqrt{159}\)이 성립한다.

양수 \(x\)가 \(x^{1/2} + x^{-1/2} = \sqrt{159}\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)의 제곱 공식을 이용하여 \(x + x^{-1} = 157\)임을 보이고 \(x^2 + x^{-2} = 24647\)의 값을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 세제곱 공식을 이용하여 \(x^{3/2} + x^{-3/2} = 156\sqrt{159}\)과 \(x^3 + x^{-3} = 3869422\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 완전제곱 항등식을 이용하여 분수식 \(\dfrac{x^3 + x^{-3} + 2}{x^{3/2} + x^{-3/2}} = \dfrac{3869424}{156\sqrt{159}}\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(x + x^{-1} = 157,\; x^2 + x^{-2} = 24647\) | [1-2] \(x^{3/2} + x^{-3/2} = 156\sqrt{159},\; x^3 + x^{-3} = 3869422\) | [1-3] \(156\sqrt{159}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제곱 공식에서 \(x + x^{-1} = (\sqrt{159})^2 - 2 = 157\)이고, 다시 제곱하면 \(x^2 + x^{-2} = 157^2 - 2 = 24647\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 세제곱 공식에서 \(x^{3/2} + x^{-3/2} = (\sqrt{159})^3 - 3\sqrt{159} = 156\sqrt{159}\)이고, \(x^3 + x^{-3} = 157^3 - 3\times 157 = 3869422\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 분자 \(x^3 + x^{-3} + 2 = 3869424 = (156\sqrt{159})^2\)이므로 분모 \(156\sqrt{159}\)로 약분하면 \(156\sqrt{159}\)이다.

평가 소문항	한국외국어대학교 자연·AI계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• \(x + x^{-1} = 157\) 유도 +3점 / \(x^2 + x^{-2} = 24647\) 산출 +3점
소문항 [1-2]	• \(x^{3/2} + x^{-3/2} = 156\sqrt{159}\) 도출 +3점 / \(x^3 + x^{-3} = 3869422\) 계산 +4점
소문항 [1-3]	• 분자 \(3869424\) 완전제곱 변형 +4점 / 약분 결과 \(156\sqrt{159}\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 분자 \(3869424 = (156\sqrt{159})^2\)임을 활용하면 큰 수의 유리화 없이 한 번의 약분으로 정확한 값을 얻을 수 있습니다.

[대문항 2] 코사인법칙과 사인법칙을 이용한 외접원·내접원 반지름의 비 추론 (20점)

대수 Ⅱ. 삼각함수 (사인법칙과 코사인법칙) | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 대수 Ⅱ. 삼각함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수02-07, 12대수02-08]

<제시문 (가)> 삼각형 ABC에서 코사인법칙 \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\;\left(b=444,\; c=740\right)\)와 사인법칙 \(\dfrac{a}{\sin A} = 2R\;\left(a=1036\right)\)이 성립한다.
<제시문 (나)> 삼각형 ABC의 넓이 \(S\)와 둘레의 길이 \(a + b + c = 2220\), 내접원의 반지름 \(r\) 사이에는 \(S = \dfrac{2220}{2}r\)가 성립한다.

삼각형 ABC에서 두 변의 길이가 \(b = 444,\; c = 740\)이고 끼인각이 \(A = \dfrac{2\pi}{3}\;\left(\cos A = -\dfrac{1}{2},\; b=444\right)\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 코사인법칙을 이용하여 대변 \(a = 1036\)의 길이를 유도하시오.

[문항 2-2] (7점) 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름 \(R = \dfrac{1036\sqrt{3}}{3}\)과 삼각형의 넓이 \(S = \dfrac{328560\sqrt{3}}{4}\)를 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 내접원의 반지름 \(r = \dfrac{148\sqrt{3}}{2}\)를 구하고 반지름의 곱 \(R\cdot r\)을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(a = 1036\) | [2-2] \(R = \dfrac{1036\sqrt{3}}{3},\; S = \dfrac{328560\sqrt{3}}{4}\) | [2-3] \(r = \dfrac{148\sqrt{3}}{2},\; R\cdot r = \dfrac{153328}{2}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 코사인법칙에서 \(a^2 = 444^2 + 740^2 - 2(444)(740)(-1/2) = 49\times 148^2\)이므로 \(a = 1036\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 사인법칙에서 \(2R = \dfrac{1036}{\sqrt{3}/2} \implies R = \dfrac{1036\sqrt{3}}{3}\)이고, 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2}\times 444\times 740\times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{328560\sqrt{3}}{4}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 둘레가 \(a + b + c = 2220\)이므로 \(\dfrac{2220}{2}r = \dfrac{328560\sqrt{3}}{4} \implies r = \dfrac{148\sqrt{3}}{2}\)이고 \(R\cdot r = \dfrac{153328}{2}\)이다.

평가 소문항	한국외국어대학교 자연·AI계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 코사인법칙 대입 \(a^2 = 49\times 148^2\) +3점 / \(a = 1036\) 도출 +3점
소문항 [2-2]	• 외접원 반지름 \(R = \dfrac{1036\sqrt{3}}{3}\) 산출 +3점 / 넓이 \(S = \dfrac{328560\sqrt{3}}{4}\) 계산 +4점
소문항 [2-3]	• 내접원 반지름 \(r = \dfrac{148\sqrt{3}}{2}\) 유도 +4점 / 곱 \(R\cdot r = \dfrac{153328}{2}\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 끼인각이 \(120^\circ\)이고 두 변의 비가 \(3 : 5\)인 둔각삼각형은 대변의 비가 항상 \(7\)이 되는 대표적인 정수비 삼각형(\(3\times 148 : 5\times 148 : 7\times 148\))입니다.

[대문항 3] 무한대 극한과 영인자 약분 극한을 동시에 만족시키는 삼차함수의 유일성 (20점)

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> 다항함수가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 4x^3}{x^2} = -1513\)을 만족시키면 최고차항 계수가 \(4\)인 삼차함수이다.
<제시문 (나)> \(\lim_{x \to 151} \dfrac{f(x)}{(x - 151)^2} = 299\)이 수렴하면 인수정리에 의해 \(f(x) = (x - 151)^2(4x + r)\) 꼴로 인수분해된다.

삼차다항함수가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 4x^3}{x^2} = -1513\)과 \(\lim_{x \to 151} \dfrac{f(x)}{(x - 151)^2} = 299\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 \(f(x) = (x - 151)^2(4x + r)\)로 놓고 상수 \(r = -305\)을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 구한 함수 \(f(x) = (x - 151)^2(4x + -305)\)이 무한대 극한 조건 \(-1513\)을 만족시킴을 전개하여 검증하시오.

[문항 3-3] (7점) 함숫값 \(f(153) = 1228\)의 값과 \(x = 151\)에서의 미분계수 \(f'(151) = 0\)의 값을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(r = -305\) | [3-2] 이차항 계수 \(-1513\) 일치 검증 완료 | [3-3] \(f(153) = 1228,\; f'(151) = 0\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제시문 (나)의 극한식에 대입하면 \(\lim_{x \to 151} (4x + r) = 604 + r = 299\)이므로 \(r = -305\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 전개하면 \(f(x) = (x^2 - 302x + 22801)(4x + -305) = 4x^3 + (-1513)x^2 + \cdots\)이므로 이차항 계수 \(-1513\)이 정확히 성립한다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(x = 153\)를 대입하면 \(f(153) = 4(612 + -305) = 1228\)이고, \((x - 151)^2\)을 인수로 가지므로 \(f'(151) = 0\)이다.

평가 소문항	한국외국어대학교 자연·AI계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• 인수분해 꼴 설정 +3점 / 극한 대입으로 \(r = -305\) 도출 +3점
소문항 [3-2]	• 삼차식 전개 후 이차항 계수 \(-1513\) 확인 +7점
소문항 [3-3]	• \(f(153) = 1228\) 산출 +4점 / 중근 성질로 \(f'(151) = 0\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 분모에 \((x - 151)^2\)이 있을 때 극한이 수렴하려면 분자는 \(x = 151\)을 반드시 중근 이상으로 가져야 합니다.

[대문항 4] 절댓값 인수를 포함한 다항 곱함수의 실수 전체 미분가능 조건 증명 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

<제시문 (가)> 이차함수 \(P(x) = x^2 - 301x + 22648\)에 대하여 함수 \(h(x) = |x - 152|P(x)\)가 \(x = 152\)에서 미분가능하기 위한 필요충분조건은 좌·우미분계수가 일치하여 \(P(152) = 0\)인 것이다.
<제시문 (나)> \(P(x) = (x - 152)(x - 149)\)일 때 구간 \(x \lt 152\)에서 \(h(x) = -(x - 152)^2(x - 149)\)로 표현된다.

이차함수 \(P(x) = x^2 - 301x + 22648\)에 대하여 함수 \(h(x) = |x - 152|P(x)\)가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) \(x = 152\)에서의 우미분계수 \(P(152)\)와 좌미분계수 \(-P(152)\)를 미분계수 정의로 구하고 \(P(152) = 0\)임을 확인하시오.

[문항 4-2] (7점) 구간 \(x \lt 152\)에서 도함수 \(h'(x) = -3(x - 152)(x - 150)\)을 유도하시오.

[문항 4-3] (7점) \(x \ne 152\)에서 도함수가 영이 되는 \(x = 150\)의 값과 그때의 함숫값 \(h(150) = -4\;(\text{기준점 } 152)\)를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(P(152) = -P(152) = 0\) 확인 | [4-2] \(h'(x) = -3(x - 152)(x - 150)\) | [4-3] \(x = 150,\; h(150) = -4\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 미분계수 정의에서 \(\lim_{x \to 152\pm} \dfrac{|x - 152|P(x)}{x - 152} = \pm P(152)\)이고 실제로 \(P(152) = (152 - 152)(152 - 149) = 0\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 구간 \(x \lt 152\)에서 \(h(x) = -(x - 152)^2(x - 149)\)를 미분하면 \(h'(x) = -(x - 152)(3x - 450) = -3(x - 152)(x - 150)\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 따라서 \(x \ne 152\)에서 극점은 \(x = 150\)이고, 대입하면 \(h(150) = -(150 - 152)^2(150 - 149) = -4\)이다.

평가 소문항	한국외국어대학교 자연·AI계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• 좌·우미분계수 \(\pm P(152)\) 정의식 서술 +4점 / \(P(152) = 0\) 확인 +2점
소문항 [4-2]	• \(x \lt 152\) 부호 분리 및 곱의 미분법 적용 +4점 / \(h'(x) = -3(x - 152)(x - 150)\) 유도 +3점
소문항 [4-3]	• 극점 \(x = 150\) 도출 +3점 / 함숫값 \(h(150) = -4\;(\text{극점 } 150)\) 산출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 첨점 후보 \(x = 152\)에서 절댓값 함수가 미분가능하려면 곱해진 다항식이 \(x - 152\)을 인수로 가져야 함을 먼저 서술하세요.

[대문항 5] 상수 구간 정적분을 포함한 프레드홀름 항등식의 치환 해법 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

<제시문 (가)> 상수 구간 정적분 \(A = \int_0^1 f(t)\,dt\;\left(c = 461\right)\)는 적분변수와 무관한 상수이므로, 등식 \(f(x) = 3x^2 - 4Ax + 461\)을 양변 \([0, 1]\)에서 다시 적분하면 \(A = 154\)에 대한 일차방정식을 얻는다.
<제시문 (나)> 대칭 구간 \([-1, 1]\)에서 기함수의 정적분은 소거되고 우함수의 정적분은 \(2\int_0^1 (3x^2 + 461)\,dx = 924\)이다.

연속함수가 모든 실수에 대하여 등식 \(f(x) = 3x^2 - 4x\int_0^1 f(t)\,dt + 461\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 정적분을 상수 \(A\)로 치환하고 \(A = \int_0^1 (3t^2 - 4At + 461)\,dt\)를 풀어 상수 \(A = 154\)과 함수 \(f(x)\)를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 함수 \(f(x) = 3x^2 - 616x + 461\)이 극솟값을 갖는 좌표 \(x = \dfrac{308}{3}\)와 함숫값 \(f(1) = -152\)을 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 제시문 (나)의 우·기함수 대칭성을 이용하여 \(\int_{-1}^{1} (3x^2 - 616x + 461)\,dx = 924\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(A = 154,\; f(x) = 3x^2 - 616x + 461\) | [5-2] \(x = \dfrac{308}{3},\; f(1) = -152\) | [5-3] \(924\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 정적분 정의식에 대입하면 \(A = \left[t^3 - 2At^2 + 461t\right]_0^1 = 462 - 2A \implies 3A = 462\)이므로 \(A = 154\)이고 \(f(x) = 3x^2 - 616x + 461\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 도함수 \(f'(x) = 6x - 616 = 0\)에서 극소점은 \(x = \dfrac{308}{3}\)이고, \(f(1) = 3 - 616 + 461 = -152\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 기함수 항 \(-616x\)는 소거되므로 \(\int_{-1}^{1} (3x^2 - 616x + 461)\,dx = 2(1 + 461) = 924\)이다.

평가 소문항	한국외국어대학교 자연·AI계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• \(A = 462 - 2A \implies A = 154\) 도출 +3점 / \(f(x) = 3x^2 - 616x + 461\) 완성 +3점
소문항 [5-2]	• 대칭축 \(x = \dfrac{308}{3}\) 산출 +4점 / \(f(1) = -152\) 계산 +3점
소문항 [5-3]	• 기함수 소거 및 우함수 2배 공식 적용 +4점 / 정적분 값 \(924\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 적분 구간이 상수인 정적분은 함수가 아니라 상수 \(A = 154\)이므로 미분하지 않고 상수로 치환해야 합니다.

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