2027학년도 한국외대 자연계 모의고사 5회 해설집

2027학년도 한국외국어대학교 자연계 약술형 모의고사 5회 해설집

한국외대(글로벌) 자연계열 약술형 논술 5회 (대수 & 미적분Ⅰ 8문항) — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 1 해설 대수 · 상용로그의 자릿수와 성질 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 유제 11 변형 | 성취기준: 12대수01-04, 12대수01-05]

[문제] $\log x = 2.6020$이고 $\log 2 = 0.3010$일 때, 양수 $x$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $0.6020 = 2 \times 0.3010 = 2\log 2 = \log 4$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 따라서 $\log x = 2 + \log 4 = \log 100 + \log 4 = \log 400$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 상용로그의 일대일 대응에 의하여 $x = 400$이다.

최종 정답: $x = 400$

문항 2 해설 대수 · 삼각형의 외접원과 코사인법칙 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 유제 11 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

[문제] 삼각형 $ABC$에서 $\overline{BC} = 2\sqrt{3}$, $\overline{CA} = 2$, $\angle C = \dfrac{\pi}{6}$일 때, 변 $AB$의 길이와 외접원의 반지름의 길이 $R$를 각각 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 코사인법칙에 의하여 $\overline{AB}^2 = (2\sqrt{3})^2 + 2^2 - 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 2 \cos\dfrac{\pi}{6} = 12 + 4 - 12 = 4$이므로 $\overline{AB} = 2$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 사인법칙 $2R = \dfrac{\overline{AB}}{\sin C}$에 $\overline{AB} = 2, \; \sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$을 대입한다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $2R = 4$에서 외접원의 반지름의 길이는 $R = 2$이다.

최종 정답: $\overline{AB} = 2, \; R = 2$

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한국외대(글로벌) 자연계열 약술형 논술 5회 (대수 & 미적분Ⅰ 8문항) — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 3 해설 대수 · 등비수열의 부분합 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 11 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

[문제] 첫째항이 $1$이고 공비가 $3$인 등비수열 $\{a_n\}$에 대하여 $\sum_{k=1}^{5} a_{2k-1}$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 수열 $\{a_{2k-1}\}$은 첫째항이 $a_1 = 1$이고 공비가 $r^2 = 9$인 등비수열이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 항수가 $5$개인 등비수열의 합 공식 $\dfrac{1(9^5 - 1)}{9 - 1}$을 적용한다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $\dfrac{59049 - 1}{8} = \dfrac{59048}{8} = 7381$이다.

최종 정답: $7381$

문항 4 해설 대수 · 분수 꼴 수열의 합 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 유제 11 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

[문제] 합 $\sum_{k=1}^{15} \dfrac{1}{k(k + 1)}$의 값을 기약분수로 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 부분분수 항등식 $\dfrac{1}{k(k + 1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k + 1}$을 적용한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $k = 1$부터 $15$까지 대입하여 더하면 $\left(1 - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\dfrac{1}{15} - \dfrac{1}{16}\right)$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 연쇄 소거에 의하여 $1 - \dfrac{1}{16} = \dfrac{15}{16}$이다.

최종 정답: $\dfrac{15}{16}$

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모범답안 · 배점 100점

문항 5 해설 미적분Ⅰ · 미분계수의 극한 변형 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 유제 11 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]

[문제] 미분가능한 함수 $f(x)$가 $f(1) = 3$, $f'(1) = -2$를 만족시킬 때, 극한 $\lim_{x \to 1} \dfrac{x^3 f(1) - f(x^3)}{x - 1}$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 분자에 $-f(1) + f(1)$을 더하고 빼어 $\dfrac{(x^3 - 1)f(1) - (f(x^3) - f(1))}{x - 1}$로 변형한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$이므로 약분 후 $x \to 1$의 극한을 취하면 $3f(1) - 3f'(1)$이 된다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 구하는 극한값은 $3(3) - 3(-2) = 15$이다.

최종 정답: $15$

문항 6 해설 미적분Ⅰ · 곡선 밖의 점에서 그은 접선 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 유제 11 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

[문제] 점 $(0, 2)$에서 곡선 $y = x^3 - 3x + 4$에 그은 접선의 방정식을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 접점을 $(t, t^3 - 3t + 4)$라 하면 $y' = 3x^2 - 3$이므로 접선의 방정식은 $y - (t^3 - 3t + 4) = (3t^2 - 3)(x - t)$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 점 $(0, 2)$를 대입하여 정리하면 $2 - t^3 + 3t - 4 = -3t^3 + 3t \iff 2t^3 = 2 \implies t = 1$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $t = 1$일 때 접점은 $(1, 2)$이고 접선의 기울기는 $3(1)^2 - 3 = 0$이므로 접선의 방정식은 $y = 2$이다.

최종 정답: $y = 2$

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모범답안 · 배점 100점

문항 7 해설 미적분Ⅰ · 정적분과 극값 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 유제 11 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

[문제] 함수 $f(x) = \int_0^x (3t^2 - 6t - 9)\,dt$가 $x = a$에서 극솟값 $b$를 가질 때, $a + b$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 정적분과 미분의 관계에 의하여 $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x + 1)(x - 3) = 0$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 최고차항 계수가 양수이므로 $x = 3$에서 극소가 되어 $a = 3$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 극솟값은 $b = f(3) = \left[t^3 - 3t^2 - 9t\right]_0^3 = 27 - 27 - 27 = -27$이므로 $a + b = -24$이다.

최종 정답: $-24$

문항 8 해설 미적분Ⅰ · 두 곡선으로 둘러싸인 넓이 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 유제 11 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[문제] 두 곡선 $y = x^2 - 3x + 1$과 $y = -x^2 + x + 7$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 교점 방정식 $x^2 - 3x + 1 = -x^2 + x + 7 \iff 2(x + 1)(x - 3) = 0$에서 두 교점의 $x$좌표는 $-1, \; 3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 이차항 계수의 차가 $|1 - (-1)| = 2$이므로 공식 $S = \dfrac{|a - a'|}{6}(\beta - \alpha)^3$을 적용한다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $S = \dfrac{2}{6}(3 - (-1))^3 = \dfrac{64}{3}$이다.

최종 정답: $\dfrac{64}{3}$