2027학년도 한국외대 자연계 모의고사 4회 해설집

2027학년도 한국외국어대학교 자연계 약술형 모의고사 4회 해설집

한국외대(글로벌) 자연계열 약술형 논술 4회 (대수 & 미적분Ⅰ 8문항) — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 1 해설 대수 · 지수와 대칭식의 값 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 유제 11 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

[문제] 양수 $x$가 $x + x^{-1} = 7$을 만족시킬 때, $x^{1/2} + x^{-1/2}$와 $x^{3/2} + x^{-3/2}$의 값을 각각 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $\left(x^{1/2} + x^{-1/2}\right)^2 = x + x^{-1} + 2 = 7 + 2 = 9$이고 $x > 0$이므로 $x^{1/2} + x^{-1/2} = 3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 곱셈 공식 $x^{3/2} + x^{-3/2} = \left(x^{1/2} + x^{-1/2}\right)^3 - 3\left(x^{1/2} + x^{-1/2}\right)$를 적용한다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $3^3 - 3(3) = 27 - 9 = 18$이다.

최종 정답: $3, \; 18$

문항 2 해설 대수 · 로그방정식의 두 근의 곱 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 유제 11 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

[문제] 방정식 $(\log_3 x)^2 - 4\log_3 x + 1 = 0$의 두 실근을 $\alpha, \beta$라 할 때, $\alpha\beta$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $t = \log_3 x$로 치환하면 이차방정식 $t^2 - 4t + 1 = 0$의 두 실근은 $t_1 = \log_3 \alpha$, $t_2 = \log_3 \beta$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 $t_1 + t_2 = \log_3 \alpha + \log_3 \beta = \log_3(\alpha\beta) = 4$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 $\alpha\beta = 3^4 = 81$이다.

최종 정답: $81$

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모범답안 · 배점 100점

문항 3 해설 대수 · 삼각함수의 주기와 최대·최소 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 유제 11 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

[문제] 함수 $f(x) = 3\sin\left(\dfrac{\pi}{2}x\right) + 2$의 주기를 $p$, 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 할 때, $p + M - m$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 주기 공식에 의하여 $p = \dfrac{2\pi}{\pi/2} = 4$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $-1 \le \sin\left(\dfrac{\pi}{2}x\right) \le 1$이므로 최댓값은 $M = 3 + 2 = 5$, 최솟값은 $m = -3 + 2 = -1$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 $p + M - m = 4 + 5 - (-1) = 10$이다.

최종 정답: $10$

문항 4 해설 대수 · 등차수열과 배수의 합 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 11 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

[문제] $10$ 이상 $100$ 이하의 자연수 중에서 $4$로 나누었을 때 나머지가 $1$인 모든 자연수의 합을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $4$로 나누어 나머지가 $1$인 수는 $4k + 1$ ($k$는 정수) 꼴이며, $10 \le 4k + 1 \le 100$에서 $3 \le k \le 24$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 항의 개수는 $24 - 3 + 1 = 22$개이고, 첫째항은 $13$, 끝항은 $97$인 등차수열이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 구하는 합은 $\dfrac{22(13 + 97)}{2} = 11 \cdot 110 = 1210$이다.

최종 정답: $1210$

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모범답안 · 배점 100점

문항 5 해설 미적분Ⅰ · 사잇값 정리 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 유제 11 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

[문제] 다항함수 $f(x) = x^3 + 2x - 15$에 대하여 방정식 $f(x) = 0$이 오직 하나의 실근 $\alpha$를 가질 때, $\alpha$가 속하는 구간 $(n, n+1)$의 자연수 $n$을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 도함수 $f'(x) = 3x^2 + 2 > 0$이므로 $f(x)$는 실수 전체에서 연속이고 단조증가한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $f(1) = -12 < 0$, $f(2) = 8 + 4 - 15 = -3 < 0$, $f(3) = 27 + 6 - 15 = 18 > 0$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $f(2)f(3) < 0$이므로 사잇값 정리에 의하여 실근 $\alpha$는 열린구간 $(2, 3)$에 속하며 $n = 2$이다.

최종 정답: $n = 2$

문항 6 해설 미적분Ⅰ · 미분가능성과 접선 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 유제 11 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]

[문제] 다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - 5}{x - 2} = 3$을 만족시킬 때, 곡선 $y = x f(x)$ 위의 점 $(2, 2f(2))$에서의 접선의 기울기를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 극한 조건으로부터 $f(2) = 5$이고 $f'(2) = 3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $g(x) = x f(x)$라 하면 곱의 미분법에 의하여 $g'(x) = f(x) + x f'(x)$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $x = 2$를 대입하면 접선의 기울기는 $g'(2) = f(2) + 2f'(2) = 5 + 2(3) = 11$이다.

최종 정답: $11$

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모범답안 · 배점 100점

문항 7 해설 미적분Ⅰ · 방정식의 실근의 개수 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 유제 11 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[문제] 방정식 $x^3 - 6x^2 + 9x - k = 0$이 서로 다른 두 실근만을 갖도록 하는 모든 실수 $k$의 값의 합을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$라 하면 $f'(x) = 3(x - 1)(x - 3) = 0$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 방정식 $f(x) = k$가 서로 다른 두 실근(한 중근과 한 단근)을 가지려면 $k$가 극댓값 또는 극솟값이어야 한다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 극댓값 $f(1) = 4$, 극솟값 $f(3) = 0$이므로 가능한 $k$의 값의 합은 $4 + 0 = 4$이다.

최종 정답: $4$

문항 8 해설 미적분Ⅰ · 대칭구간에서의 정적분 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 유제 11 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

[문제] 정적분 $\int_{-1}^1 (5x^4 - 3x^3 + 6x^2 - 2x + 1)\,dx$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 대칭구간 $[-1, 1]$에서 기함수 항 $-3x^3 - 2x$의 정적분은 $0$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 우함수 성질에 의하여 $2\int_0^1 (5x^4 + 6x^2 + 1)\,dx = 2\left[x^5 + 2x^3 + x\right]_0^1$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $2(1 + 2 + 1) = 8$이다.

최종 정답: $8$