2027학년도 한국외대 자연계 모의고사 3회 해설집

2027학년도 한국외국어대학교 자연계 약술형 모의고사 3회 해설집

한국외대(글로벌) 자연계열 약술형 논술 3회 (대수 & 미적분Ⅰ 8문항) — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 1 해설 대수 · 지수함수의 최대·최소 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 유제 11 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

[문제] 닫힌구간 $[-1, 2]$에서 함수 $f(x) = 3^{2 - x} - 5$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$을 각각 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $f(x) = 9 \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^x - 5$는 밑이 $\dfrac{1}{3} < 1$이므로 실수 전체에서 감소함수이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 따라서 구간 $[-1, 2]$에서 $x = -1$일 때 최댓값 $M = 3^3 - 5 = 22$를 갖는다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $x = 2$일 때 최솟값 $m = 3^0 - 5 = -4$를 갖는다.

최종 정답: $M = 22, \; m = -4$

문항 2 해설 대수 · 삼각방정식 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 유제 11 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

[문제] $0 \le x < 2\pi$에서 방정식 $\sqrt{3}\tan x + 1 = 0$의 두 실근을 $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$)라 할 때, $\beta - \alpha$와 $\alpha + \beta$를 각각 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $\tan x = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}$을 만족시키는 $x \in [0, 2\pi)$는 제$2$사분면과 제$4$사분면의 각이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 따라서 $\alpha = \dfrac{5\pi}{6}$, $\beta = \dfrac{11\pi}{6}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $\beta - \alpha = \pi$이고, $\alpha + \beta = \dfrac{16\pi}{6} = \dfrac{8\pi}{3}$이다.

최종 정답: $\beta - \alpha = \pi, \; \alpha + \beta = \dfrac{8\pi}{3}$

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모범답안 · 배점 100점

문항 3 해설 대수 · 사인법칙과 삼각형의 변의 비 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 유제 11 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

[문제] 삼각형 $ABC$에서 $\sin A : \sin B : \sin C = 4 : 5 : 6$일 때, $\cos A$의 값을 기약분수로 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 사인법칙에 의하여 세 변의 길이의 비는 $a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C = 4 : 5 : 6$이므로 $a = 4k, \; b = 5k, \; c = 6k$ ($k > 0$)로 놓는다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 코사인법칙에 의하여 $\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \dfrac{25 + 36 - 16}{2 \cdot 5 \cdot 6}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 분자와 분모를 정리하면 $\cos A = \dfrac{45}{60} = \dfrac{3}{4}$이다.

최종 정답: $\dfrac{3}{4}$

문항 4 해설 대수 · 귀납적으로 정의된 수열 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 유제 11 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

[문제] 수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 5$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} - a_n = 4n - 3$을 만족시킬 때, $a_9$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 계차 관계식에 의하여 $a_9 = a_1 + \sum_{k=1}^{8} (4k - 3)$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $\sum_{k=1}^{8} (4k - 3) = 4 \cdot \dfrac{8 \cdot 9}{2} - 3 \cdot 8 = 144 - 24 = 120$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 $a_9 = 5 + 120 = 125$이다.

최종 정답: $125$

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모범답안 · 배점 100점

문항 5 해설 미적분Ⅰ · 무한대 극한과 다항함수 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.3 유제 11 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

[문제] 다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -3$, $\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x} = 7$을 만족시킬 때, $f(2)$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 무한대 극한으로부터 $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + ax + b$로 놓을 수 있다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x} = 7$에서 $f(0) = b = 0$이고 $f'(0) = a = 7$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 7x$이므로 $f(2) = 16 - 12 + 14 = 18$이다.

최종 정답: $18$

문항 6 해설 미적분Ⅰ · 평균값 정리 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 유제 11 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

[문제] 함수 $f(x) = x^3 - 6x$에 대하여 닫힌구간 $[0, 3]$에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 $c$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 구간 $[0, 3]$에서의 평균변화율은 $\dfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = \dfrac{(27 - 18) - 0}{3} = 3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $f'(x) = 3x^2 - 6$이므로 평균값 정리 조건 $f'(c) = 3c^2 - 6 = 3$을 세운다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $c^2 = 3$이고 $c \in (0, 3)$이므로 $c = \sqrt{3}$이다.

최종 정답: $\sqrt{3}$

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모범답안 · 배점 100점

문항 7 해설 미적분Ⅰ · 사차함수의 최솟값 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 유제 11 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[문제] 사차함수 $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 20$의 실수 전체의 집합에서의 최솟값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 도함수 $f'(x) = 12x^3 - 12x^2 - 24x = 12x(x + 1)(x - 2) = 0$에서 극점의 $x$좌표는 $-1, \; 0, \; 2$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 극솟값 후보를 비교하면 $f(-1) = 3 + 4 - 12 + 20 = 15$이고, $f(2) = 48 - 32 - 48 + 20 = -12$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 실수 전체에서의 최솟값은 $-12$이다.

최종 정답: $-12$

문항 8 해설 미적분Ⅰ · 곡선과 x축으로 둘러싸인 넓이 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 유제 11 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[문제] 삼차곡선 $y = x(x - 1)(x - 3)$과 $x$축으로 둘러싸인 두 도형의 넓이의 합 $S$를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $y = x^3 - 4x^2 + 3x$는 $[0, 1]$에서 양수이고 $[1, 3]$에서 음수이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $\int_0^1 (x^3 - 4x^2 + 3x)\,dx = \left[\dfrac{1}{4}x^4 - \dfrac{4}{3}x^3 + \dfrac{3}{2}x^2\right]_0^1 = \dfrac{5}{12}$이고, $\int_1^3 (-x^3 + 4x^2 - 3x)\,dx = \dfrac{8}{3}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 두 넓이의 합은 $S = \dfrac{5}{12} + \dfrac{32}{12} = \dfrac{37}{12}$이다.

최종 정답: $\dfrac{37}{12}$