2027학년도 한국외대 자연계 모의고사 1회 해설집

2027학년도 한국외국어대학교 자연계 약술형 모의고사 1회 해설집

한국외대(글로벌) 자연계열 약술형 논술 1회 (대수 & 미적분Ⅰ 8문항) — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 1 해설 대수 · 지수법칙과 거듭제곱근 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 유제 11 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

[문제] 양수 $a, b$가 $a^3 = 16$, $b^6 = 27$을 만족시킬 때, $\left(a^{1/2} b\right)^3$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 지수법칙에 의하여 $\left(a^{1/2} b\right)^3 = a^{3/2} b^3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $a^3 = 16$이고 $a > 0$이므로 $a^{3/2} = \sqrt{16} = 4$이고, $b^6 = 27$이고 $b > 0$이므로 $b^3 = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 구하는 값은 $4 \cdot 3\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$이다.

최종 정답: $12\sqrt{3}$

문항 2 해설 대수 · 로그함수의 성질과 정점 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 유제 11 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

[문제] 상수 $a > 1$에 대하여 함수 $y = \log_a(2x - 5) + 4$의 그래프가 $a$의 값에 관계없이 항상 지나는 정점의 좌표를 $(p, q)$라 할 때, $p \cdot q$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 로그함수 $y = \log_a X + 4$는 밑 $a$의 값에 관계없이 진수 $X = 1$일 때 $\log_a 1 = 0$이 된다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 따라서 $2x - 5 = 1$에서 $x = 3$이므로 $p = 3$이고, 이때 $y = 0 + 4 = 4$이므로 $q = 4$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 정점의 좌표는 $(3, 4)$이므로 $p \cdot q = 12$이다.

최종 정답: $12$

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모범답안 · 배점 100점

문항 3 해설 대수 · 삼각함수의 정의와 사분면 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 유제 11 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

[문제] 원점 $O$와 점 $P(-5, 12)$를 지나는 동경 $OP$가 나타내는 각의 크기를 $\theta$라 할 때, $13(\sin\theta - \cos\theta) + 5\tan\theta$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 원점과 점 $P(-5, 12)$ 사이의 거리는 $r = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 삼각함수의 정의에 의하여 $\sin\theta = \dfrac{12}{13}$, $\cos\theta = -\dfrac{5}{13}$, $\tan\theta = -\dfrac{12}{5}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 주어진 식에 대입하면 $13\left(\dfrac{12}{13} + \dfrac{5}{13}\right) + 5\left(-\dfrac{12}{5}\right) = 17 - 12 = 5$이다.

최종 정답: $5$

문항 4 해설 대수 · 등차수열의 합과 조건 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 11 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

[문제] 등차수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자. $S_3 = 18$, $S_6 = 72$일 때, 첫째항 $a_1$과 공차 $d$를 각각 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $S_3 = \dfrac{3(2a_1 + 2d)}{2} = 3(a_1 + d) = 18$에서 $a_1 + d = 6$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $S_6 = \dfrac{6(2a_1 + 5d)}{2} = 3(2a_1 + 5d) = 72$에서 $2a_1 + 5d = 24$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 두 식을 연립하면 $3d = 12 \implies d = 4$이고, $a_1 = 6 - 4 = 2$이다.

최종 정답: $a_1 = 2, \; d = 4$

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모범답안 · 배점 100점

문항 5 해설 미적분Ⅰ · 함수의 극한과 미정계수 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.3 유제 11 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

[문제] 극한 $\lim_{x \to 4} \dfrac{x - 4}{\sqrt{x + 5} - a} = b$를 만족시키는 두 상수 $a, b$에 대하여 $a + b$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $x \to 4$일 때 분자가 $0$이고 극한값 $b$가 존재하므로 분모도 $0$으로 수렴하여 $\sqrt{9} - a = 0 \implies a = 3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 분모를 유리화하면 $\lim_{x \to 4} \dfrac{(x - 4)(\sqrt{x + 5} + 3)}{(x + 5) - 9} = \lim_{x \to 4} (\sqrt{x + 5} + 3) = 6 = b$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 $a + b = 3 + 6 = 9$이다.

최종 정답: $9$

문항 6 해설 미적분Ⅰ · 미분계수와 다항함수의 도함수 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 유제 11 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]

[문제] 사차함수 $f(x) = x^4 - 2x^3 + ax^2 - 5$가 $f'(1) = 4$를 만족시킬 때, $f'(-1)$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 도함수를 구하면 $f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 2ax$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $f'(1) = 4 - 6 + 2a = 4$에서 $2a = 6 \implies a = 3$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 $f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 6x$이므로 $f'(-1) = -4 - 6 - 6 = -16$이다.

최종 정답: $-16$

2027학년도 한국외국어대학교 자연계 약술형 모의고사 1회 해설집

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모범답안 · 배점 100점

문항 7 해설 미적분Ⅰ · 접선의 방정식 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 유제 11 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

[문제] 곡선 $y = x^3 - 5x + 3$ 위의 점 $(-1, 7)$에서의 접선이 점 $(k, -1)$을 지날 때, 실수 $k$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $y' = 3x^2 - 5$에서 $x = -1$일 때 접선의 기울기는 $3(-1)^2 - 5 = -2$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 점 $(-1, 7)$에서의 접선의 방정식은 $y - 7 = -2(x + 1)$, 즉 $y = -2x + 5$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 이 직선이 점 $(k, -1)$을 지나므로 $-1 = -2k + 5 \implies k = 3$이다.

최종 정답: $k = 3$

문항 8 해설 미적분Ⅰ · 정적분과 넓이 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 유제 11 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[문제] 포물선 $y = -x^2 + 2x + 3$과 직선 $y = -x + 3$으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 교점 방정식 $-x^2 + 2x + 3 = -x + 3 \iff x(x - 3) = 0$에서 두 교점의 $x$좌표는 $0, \; 3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 포물선과 직선으로 둘러싸인 넓이 공식 $S = \dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$을 적용한다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $S = \dfrac{1}{6}(3 - 0)^3 = \dfrac{27}{6} = \dfrac{9}{2}$이다.

최종 정답: $\dfrac{9}{2}$