양수 $a, b$가 $a^3 = 16$, $b^6 = 27$을 만족시킬 때, $\left(a^{1/2} b\right)^3$의 값을 구하시오.

상수 $a > 1$에 대하여 함수 $y = \log_a(2x - 5) + 4$의 그래프가 $a$의 값에 관계없이 항상 지나는 정점의 좌표를 $(p, q)$라 할 때, $p \cdot q$의 값을 구하시오.

원점 $O$와 점 $P(-5, 12)$를 지나는 동경 $OP$가 나타내는 각의 크기를 $\theta$라 할 때, $13(\sin\theta - \cos\theta) + 5\tan\theta$의 값을 구하시오.

등차수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자. $S_3 = 18$, $S_6 = 72$일 때, 첫째항 $a_1$과 공차 $d$를 각각 구하시오.

극한 $\lim_{x \to 4} \dfrac{x - 4}{\sqrt{x + 5} - a} = b$를 만족시키는 두 상수 $a, b$에 대하여 $a + b$의 값을 구하시오.

사차함수 $f(x) = x^4 - 2x^3 + ax^2 - 5$가 $f'(1) = 4$를 만족시킬 때, $f'(-1)$의 값을 구하시오.

곡선 $y = x^3 - 5x + 3$ 위의 점 $(-1, 7)$에서의 접선이 점 $(k, -1)$을 지날 때, 실수 $k$의 값을 구하시오.

포물선 $y = -x^2 + 2x + 3$과 직선 $y = -x + 3$으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.