2027학년도 홍익대학교 세종 모의고사 5회 해설집

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 5회 해설집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 5회 — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 1 해설 대수 · 지수와 로그의 혼합 계산 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수01-04, 12대수01-05]

[문제] 값 $9^{\log_3 5} - 4^{\log_2 3} + \log_5 125$를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 로그의 성질 $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$에 의하여 $9^{\log_3 5} = 5^{\log_3 9} = 5^2 = 25$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 마찬가지로 $4^{\log_2 3} = 3^{\log_2 4} = 3^2 = 9$이고, $\log_5 125 = \log_5 5^3 = 3$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 $25 - 9 + 3 = 19$이다.

최종 정답: $19$

문항 2 해설 대수 · 지수함수와 로그함수의 평행이동 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

[문제] 함수 $f(x) = \log_2(4x - 8) + 1$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $p$만큼, $y$축의 방향으로 $q$만큼 평행이동하면 함수 $g(x) = \log_2 x$의 그래프와 일치할 때, $p + q$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 로그의 성질을 이용하면 $f(x) = \log_2\{4(x - 2)\} + 1 = \log_2(x - 2) + 3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 이를 $x$축의 방향으로 $p$만큼, $y$축의 방향으로 $q$만큼 평행이동하면 $y = \log_2(x - 2 - p) + 3 + q$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $y = \log_2 x$와 일치하려면 $-2 - p = 0, \; 3 + q = 0$에서 $p = -2, \; q = -3$이므로 $p + q = -5$이다.

최종 정답: $-5$

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모범답안 · 배점 100점

문항 3 해설 대수 · 코사인법칙과 평행사변형 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

[문제] 이웃하는 두 변의 길이가 $\overline{AB} = 4$, $\overline{AD} = 6$이고 $\angle BAD = \dfrac{\pi}{3}$인 평행사변형 $ABCD$의 넓이 $S$와 짧은 대각선 $BD$의 길이를 각각 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 평행사변형의 넓이는 $S = \overline{AB} \cdot \overline{AD} \sin\dfrac{\pi}{3} = 4 \cdot 6 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 삼각형 $ABD$에서 코사인법칙을 적용하면 $\overline{BD}^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cos\dfrac{\pi}{3} = 16 + 36 - 24 = 28$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 $\overline{BD} = 2\sqrt{7}$이다.

최종 정답: $S = 12\sqrt{3}, \; \overline{BD} = 2\sqrt{7}$

문항 4 해설 대수 · 등비수열의 합과 일반항 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

[문제] 수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합이 $S_n = 3^{n+1} - 3$일 때, $a_1 + a_4$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $a_1 = S_1 = 3^2 - 3 = 6$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $n \ge 2$일 때 $a_n = S_n - S_{n-1} = (3^{n+1} - 3) - (3^n - 3) = 2 \cdot 3^n$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $a_4 = 2 \cdot 3^4 = 162$이므로 $a_1 + a_4 = 6 + 162 = 168$이다.

최종 정답: $168$

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문항 5 해설 미적분Ⅰ · 함수의 극한과 다항함수 추론 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.3 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

[문제] 다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x} = 4$, $\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = 2$를 만족시킬 때, 차수가 가장 낮은 다항함수 $f(x)$에 대하여 $f(3)$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 두 극한 조건으로부터 $f(0) = 0, \; f(1) = 0$이므로 차수가 가장 낮은 $f(x)$는 삼차함수 $f(x) = x(x - 1)(ax + b)$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x} = -b = 4 \implies b = -4$이고, $\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = a + b = 2 \implies a = 6$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 $f(x) = x(x - 1)(6x - 4)$이므로 $f(3) = 3 \cdot 2 \cdot 14 = 84$이다.

최종 정답: $84$

문항 6 해설 미적분Ⅰ · 두 곡선의 공통접선 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

[문제] 두 곡선 $y = x^3 + ax + b$와 $y = x^2 + 2$가 점 $(1, 3)$에서 공통인 접선을 가질 때, 상수 $a, b$에 대하여 $a - b$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 점 $(1, 3)$이 곡선 $y = x^3 + ax + b$ 위의 점이므로 $1 + a + b = 3 \implies a + b = 2$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $x = 1$에서 두 곡선의 미분계수가 같아야 하므로 $3(1)^2 + a = 2(1) \implies a = -1$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $b = 2 - a = 3$이므로 $a - b = -1 - 3 = -4$이다.

최종 정답: $-4$

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모범답안 · 배점 100점

문항 7 해설 미적분Ⅰ · 속도와 가속도 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[문제] 수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t$ ($t \ge 0$)에서의 위치가 $x(t) = t^3 - 9t^2 + 24t + 1$일 때, 점 $P$의 가속도가 $0$이 되는 순간의 속도 $v$를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 속도는 $v(t) = x'(t) = 3t^2 - 18t + 24$이고, 가속도는 $a(t) = v'(t) = 6t - 18$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 가속도가 $0$이 되는 시각은 $6t - 18 = 0$에서 $t = 3$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $t = 3$일 때의 속도는 $v(3) = 27 - 54 + 24 = -3$이다.

최종 정답: $-3$

문항 8 해설 미적분Ⅰ · 삼차함수와 접선으로 둘러싸인 넓이 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[문제] 곡선 $y = x^3 - 2x^2 + 1$ 위의 점 $(1, 0)$에서의 접선과 이 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $y' = 3x^2 - 4x$에서 $x = 1$일 때 접선의 기울기는 $-1$이므로 접선의 방정식은 $y = -x + 1$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 교점 방정식 $x^3 - 2x^2 + 1 = -x + 1 \iff x(x - 1)^2 = 0$에서 교점의 $x$좌표는 $0, \; 1$ (접점)이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 삼차곡선과 접선의 넓이 공식에 의하여 $S = \dfrac{1}{12}(1 - 0)^4 = \dfrac{1}{12}$이다.

최종 정답: $\dfrac{1}{12}$