2027학년도 홍익대학교 세종 모의고사 4회 해설집

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 4회 해설집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 4회 — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 1 해설 대수 · 거듭제곱근의 계산 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

[문제] 식 $\sqrt[3]{54} + \sqrt[3]{-16} + \sqrt[4]{81}$의 값을 간단히 하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 각 항을 소인수분해하여 거듭제곱근의 성질을 적용하면 $\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = 3\sqrt[3]{2}$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $\sqrt[3]{-16} = -\sqrt[3]{8 \cdot 2} = -2\sqrt[3]{2}$이고, $\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 구하는 값은 $3\sqrt[3]{2} - 2\sqrt[3]{2} + 3 = \sqrt[3]{2} + 3$이다.

최종 정답: $\sqrt[3]{2} + 3$

문항 2 해설 대수 · 삼각함수 그래프와 대칭성 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

[문제] $0 \le x \le 2\pi$에서 정의된 함수 $y = \sin^2 x - 2\cos x + 1$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$을 각각 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$를 대입하면 $y = -\cos^2 x - 2\cos x + 2$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $t = \cos x$ ($-1 \le t \le 1$)로 치환하면 $y = -(t + 1)^2 + 3$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $t = -1$일 때 최댓값 $M = 3$이고, $t = 1$일 때 최솟값 $m = -1$이다.

최종 정답: $M = 3, \; m = -1$

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 4회 해설집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 4회 — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 3 해설 대수 · 등차수열의 부분합과 일반항 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

[문제] 두 등차수열 $\{a_n\}, \; \{b_n\}$에 대하여 $a_1 + b_1 = 5$, $a_{10} + b_{10} = 41$일 때, $\sum_{k=1}^{10} (a_k + b_k)$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 두 등차수열의 합으로 이루어진 수열 $\{a_n + b_n\}$도 등차수열이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 이 수열의 첫째항은 $5$이고 제$10$항은 $41$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 등차수열의 합 공식에 의하여 $\sum_{k=1}^{10} (a_k + b_k) = \dfrac{10(5 + 41)}{2} = 230$이다.

최종 정답: $230$

문항 4 해설 대수 · 귀납적 정의와 주기성 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

[문제] 수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 2$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = \dfrac{a_n - 1}{a_n + 1}$을 만족시킬 때, $a_{2027}$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 초기 항을 차례로 계산하면 $a_1 = 2, \; a_2 = \dfrac{1}{3}, \; a_3 = -\dfrac{1}{2}, \; a_4 = -3, \; a_5 = 2$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 주기가 $4$인 주기수열이므로 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+4} = a_n$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $2027 = 4 \times 506 + 3$이므로 $a_{2027} = a_3 = -\dfrac{1}{2}$이다.

최종 정답: $-\dfrac{1}{2}$

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 4회 해설집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 4회 — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 5 해설 미적분Ⅰ · 함수의 연속과 최대·최소 정리 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

[문제] 닫힌구간 $[1, 4]$에서 유리함수 $f(x) = \dfrac{2x + 5}{x + 1}$의 최댓값과 최솟값의 곱을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $f(x) = \dfrac{2(x + 1) + 3}{x + 1} = 2 + \dfrac{3}{x + 1}$이므로 구간 $[1, 4]$에서 연속이고 단조감소한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 따라서 최댓값은 $f(1) = 2 + \dfrac{3}{2} = \dfrac{7}{2}$이고, 최솟값은 $f(4) = 2 + \dfrac{3}{5} = \dfrac{13}{5}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 두 값의 곱은 $\dfrac{7}{2} \cdot \dfrac{13}{5} = \dfrac{91}{10}$이다.

최종 정답: $\dfrac{91}{10}$

문항 6 해설 미적분Ⅰ · 미분가능성과 미정계수 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]

[문제] 다항함수 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1$이 $x = 1$에서 극솟값 $-3$을 가질 때, $f(-1)$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $x = 1$에서 극솟값 $-3$을 가지므로 $f(1) = -3$이고 $f'(1) = 0$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $f(1) = 2 + a + b = -3 \implies a + b = -5$이고, $f'(1) = 3 + 2a + b = 0 \implies 2a + b = -3$이므로 연립하면 $a = 2, \; b = -7$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 $f(x) = x^3 + 2x^2 - 7x + 1$이므로 $f(-1) = -1 + 2 + 7 + 1 = 9$이다.

최종 정답: $9$

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 4회 해설집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 4회 — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 7 해설 미적분Ⅰ · 도함수의 그래프와 극값 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[문제] 삼차함수 $f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + 6$의 도함수 $f'(x)$에 대하여 방정식 $f'(x) = 0$의 두 근이 $-1, \; 2$일 때, 함수 $f(x)$의 극댓값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $f'(x) = 6x^2 + 2ax + b = 6(x + 1)(x - 2) = 6x^2 - 6x - 12$이므로 $a = -3, \; b = -12$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 최고차항 계수가 양수이므로 $x = -1$에서 극댓값을 갖는다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 극댓값은 $f(-1) = -2 - 3 + 12 + 6 = 13$이다.

최종 정답: $13$

문항 8 해설 미적분Ⅰ · 정적분으로 나타낸 극한 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

[문제] 함수 $f(x) = x^3 - 2x^2 + 4x + 1$에 대하여 극한 $\lim_{x \to 2} \dfrac{1}{x - 2}\int_2^x f(t)\,dt$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $F'(t) = f(t)$인 한 부정적분을 $F(t)$라 하면 정적분의 정의에 의해 $\int_2^x f(t)\,dt = F(x) - F(2)$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 주어진 극한은 $\lim_{x \to 2} \dfrac{F(x) - F(2)}{x - 2} = F'(2) = f(2)$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $f(2) = 8 - 8 + 8 + 1 = 9$이다.

최종 정답: $9$