2027학년도 홍익대학교 세종 모의고사 3회 해설집

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 3회 해설집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 3회 — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 1 해설 대수 · 지수방정식의 실근의 곱 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

[문제] 지수방정식 $9^x - 6 \cdot 3^{x+1} + 81 = 0$의 해를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $t = 3^x$ ($t > 0$)로 치환하면 주어진 방정식은 $t^2 - 18t + 81 = 0$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 완전제곱식으로 인수분해하면 $(t - 9)^2 = 0$이므로 $t = 9$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $3^x = 9 = 3^2$이므로 실근은 $x = 2$이다.

최종 정답: $x = 2$

문항 2 해설 대수 · 부채꼴의 호의 길이와 넓이 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

[문제] 중심각의 크기가 $\dfrac{2\pi}{3}$이고 넓이가 $12\pi$인 부채꼴의 반지름의 길이 $r$와 호의 길이 $l$을 각각 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 부채꼴의 넓이 공식 $S = \dfrac{1}{2}r^2\theta$에 $\theta = \dfrac{2\pi}{3}, \; S = 12\pi$를 대입한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $\dfrac{1}{2}r^2 \cdot \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3}r^2 = 12\pi$에서 $r^2 = 36$이고 $r > 0$이므로 $r = 6$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 호의 길이는 $l = r\theta = 6 \cdot \dfrac{2\pi}{3} = 4\pi$이다.

최종 정답: $r = 6, \; l = 4\pi$

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 3회 해설집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 3회 — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 3 해설 대수 · 사인법칙과 삼각형의 결정 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

[문제] 삼각형 $ABC$에서 $\angle A = \dfrac{\pi}{4}$, $\angle B = \dfrac{\pi}{3}$, $\overline{BC} = 6$일 때, 변 $AC$의 길이와 외접원의 넓이를 각각 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 사인법칙 $\dfrac{\overline{BC}}{\sin A} = \dfrac{\overline{AC}}{\sin B} = 2R$를 적용한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $2R = \dfrac{6}{\sin(\pi/4)} = \dfrac{6}{\sqrt{2}/2} = 6\sqrt{2}$이므로 $R = 3\sqrt{2}$이고, $\overline{AC} = 2R\sin\dfrac{\pi}{3} = 6\sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{6}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 외접원의 넓이는 $\pi R^2 = \pi (3\sqrt{2})^2 = 18\pi$이다.

최종 정답: $\overline{AC} = 3\sqrt{6}, \; 18\pi$

문항 4 해설 대수 · 무리식 수열의 합 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

[문제] 급수 $\sum_{k=1}^{24} \dfrac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}}$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 분모를 유리화하면 $\dfrac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} = \sqrt{k+1} - \sqrt{k}$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $k = 1$부터 $24$까지 대입하여 더하면 $(\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + \cdots + (\sqrt{25} - \sqrt{24})$로 연쇄 소거된다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 남는 항은 $\sqrt{25} - 1 = 5 - 1 = 4$이다.

최종 정답: $4$

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 3회 해설집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 3회 — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 5 해설 미적분Ⅰ · 다항함수의 극한 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.3 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

[문제] 극한 $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$의 값을 기약분수로 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 분자와 분모를 각각 인수분해하면 $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$, $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $x \ne 2$에서 공통인수 $(x - 2)$를 약분하면 $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 + 2x + 4}{x + 2}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $x = 2$를 대입하면 $\dfrac{4 + 4 + 4}{4} = 3$이다.

최종 정답: $3$

문항 6 해설 미적분Ⅰ · 접선의 방정식과 삼각형의 넓이 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

[문제] 곡선 $y = x^2 - 4x + 7$ 위의 점 $(3, 4)$에서의 접선과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $y' = 2x - 4$에서 $x = 3$일 때 접선의 기울기는 $2$이므로 접선의 방정식은 $y - 4 = 2(x - 3)$, 즉 $y = 2x - 2$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 이 직선의 $x$절편은 $(1, 0)$이고 $y$절편은 $(0, -2)$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 좌표축과 이루는 삼각형의 넓이는 $\dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1$이다.

최종 정답: $1$

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 3회 해설집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 3회 — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 7 해설 미적분Ⅰ · 정적분과 우함수·기함수 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

[문제] 다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(-x) = f(x)$를 만족시키고 $\int_0^3 f(x)\,dx = 5$일 때, $\int_{-3}^3 (2x^3 - 3x + 4)f(x)\,dx$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $f(x)$가 우함수이므로 $(2x^3 - 3x)f(x)$는 기함수이고, $4f(x)$는 우함수이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 대칭구간 $[-3, 3]$에서 기함수의 정적분은 $0$이므로 주어진 식은 $4\int_{-3}^3 f(x)\,dx = 8\int_0^3 f(x)\,dx$와 같다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $\int_0^3 f(x)\,dx = 5$를 대입하면 $8 \cdot 5 = 40$이다.

최종 정답: $40$

문항 8 해설 미적분Ⅰ · 속도와 위치의 변화량 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[문제] 수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t$에서의 속도가 $v(t) = 6t - 3t^2$이고 시각 $t = 0$에서의 위치가 $x(0) = 2$일 때, 점 $P$가 운동 방향을 바꾸는 순간의 위치를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $v(t) = 3t(2 - t) = 0$에서 출발 후 운동 방향이 바뀌는 시각은 $t = 2$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 시각 $t = 2$에서의 위치는 $x(2) = x(0) + \int_0^2 (6t - 3t^2)\,dt$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $x(2) = 2 + \left[3t^2 - t^3\right]_0^2 = 2 + (12 - 8) = 6$이다.

최종 정답: $6$