2027학년도 홍익대학교 세종 모의고사 2회 해설집

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 2회 해설집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 2회 — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 1 해설 대수 · 로그의 성질과 연립식 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수01-04, 12대수01-05]

[문제] 두 양수 $x, y$가 $\log_3 x + \log_3 y = 4$, $\log_3 x - \log_3 y = 2$를 만족시킬 때, $x + y$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 두 식을 변끼리 더하면 $2\log_3 x = 6 \implies \log_3 x = 3$이므로 $x = 3^3 = 27$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 첫째 식에 대입하면 $\log_3 y = 4 - 3 = 1$이므로 $y = 3^1 = 3$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 $x + y = 27 + 3 = 30$이다.

최종 정답: $30$

문항 2 해설 대수 · 코사인법칙과 최대각 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

[문제] 세 변의 길이의 비가 $a : b : c = 3 : 5 : 7$인 삼각형 $ABC$에서 가장 큰 내각의 크기 $\theta$ (라디안)를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 양수 $k$에 대하여 $a = 3k, \; b = 5k, \; c = 7k$라 하면 가장 긴 변 $c$의 대각 $C = \theta$가 가장 큰 내각이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 코사인법칙에 의하여 $\cos\theta = \dfrac{(3k)^2 + (5k)^2 - (7k)^2}{2(3k)(5k)} = \dfrac{9 + 25 - 49}{30} = -\dfrac{15}{30} = -\dfrac{1}{2}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $0 < \theta < \pi$이므로 $\theta = \dfrac{2\pi}{3}$이다.

최종 정답: $\dfrac{2\pi}{3}$

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모범답안 · 배점 100점

문항 3 해설 대수 · 등비수열의 일반항과 조건 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

[문제] 공비가 양수인 등비수열 $\{a_n\}$에서 $a_1 + a_2 = 12$, $a_3 + a_4 = 108$일 때, 첫째항 $a_1$과 제$5$항 $a_5$를 각각 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $a_3 + a_4 = r^2(a_1 + a_2)$이므로 $12r^2 = 108 \implies r^2 = 9$이고 $r > 0$에서 공비는 $r = 3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $a_1(1 + r) = 4a_1 = 12$이므로 첫째항은 $a_1 = 3$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 제$5$항은 $a_5 = a_1 r^4 = 3 \cdot 81 = 243$이다.

최종 정답: $a_1 = 3, \; a_5 = 243$

문항 4 해설 대수 · 시그마와 이차방정식 근과 계수의 관계 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

[문제] 이차방정식 $x^2 - 4x + 2 = 0$의 두 근을 $\alpha, \beta$라 할 때, $\sum_{k=1}^{5} (k - \alpha)(k - \beta)$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 이차식의 인수분해 성질에 의하여 $(x - \alpha)(x - \beta) = x^2 - 4x + 2$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 따라서 주어진 합은 $\sum_{k=1}^{5} (k^2 - 4k + 2) = \dfrac{5 \cdot 6 \cdot 11}{6} - 4 \cdot \dfrac{5 \cdot 6}{2} + 2 \cdot 5$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $55 - 60 + 10 = 5$이다.

최종 정답: $5$

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모범답안 · 배점 100점

문항 5 해설 미적분Ⅰ · 연속함수의 성질 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

[문제] 함수 $f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 + ax - 10}{x - 2} & (x \ne 2) \\ b & (x = 2) \end{cases}$가 $x = 2$에서 연속일 때, 상수 $a, b$에 대하여 $ab$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $x \to 2$일 때 분모가 $0$으로 가므로 분자도 $0$이 되어야 하여 $4 + 2a - 10 = 0 \implies a = 3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $a = 3$일 때 $\lim_{x \to 2} \dfrac{(x - 2)(x + 5)}{x - 2} = 7 = b$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 $ab = 3 \cdot 7 = 21$이다.

최종 정답: $21$

문항 6 해설 미적분Ⅰ · 함수의 증가와 감소 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[문제] 삼차함수 $f(x) = -x^3 + ax^2 - 3ax + 4$가 실수 전체의 집합에서 감소하도록 하는 정수 $a$의 개수를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 최고차항의 계수가 음수인 삼차함수가 실수 전체에서 감소하려면 모든 실수 $x$에서 $f'(x) = -3x^2 + 2ax - 3a \le 0$이어야 한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 이차방정식 $3x^2 - 2ax + 3a = 0$의 판별식 $D/4 = a^2 - 9a = a(a - 9) \le 0$이어야 한다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $0 \le a \le 9$이므로 정수 $a$의 개수는 $10$개이다.

최종 정답: $10$

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모범답안 · 배점 100점

문항 7 해설 미적분Ⅰ · 부등식에의 활용 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[문제] $x \ge 0$인 모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $2x^3 - 3x^2 - 12x + k \ge 0$이 성립하도록 하는 상수 $k$의 최솟값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + k$라 하면 $f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x + 1)(x - 2) = 0$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $x \ge 0$에서 $f(x)$는 $x = 2$일 때 극소이자 최솟값 $f(2) = 16 - 12 - 24 + k = k - 20$을 갖는다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $k - 20 \ge 0$이어야 하므로 $k$의 최솟값은 $20$이다.

최종 정답: $20$

문항 8 해설 미적분Ⅰ · 곡선과 x축 사이의 넓이 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[문제] 곡선 $y = -x^2 + 5x - 4$와 $x$축 및 직선 $x = 5$로 둘러싸인 두 부분의 넓이의 합 $S$를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $-x^2 + 5x - 4 = -(x - 1)(x - 4) = 0$이므로 $[1, 4]$에서는 곡선이 $x$축 위에, $[4, 5]$에서는 $x$축 아래에 있다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $\int_1^4 (-x^2 + 5x - 4)\,dx = \dfrac{1}{6}(4 - 1)^3 = \dfrac{9}{2}$이고, $\int_4^5 (x^2 - 5x + 4)\,dx = \left[\dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{5}{2}x^2 + 4x\right]_4^5 = \dfrac{11}{6}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 두 부분의 넓이의 합은 $S = \dfrac{9}{2} + \dfrac{11}{6} = \dfrac{19}{3}$이다.

최종 정답: $\dfrac{19}{3}$