2027학년도 홍익대학교 세종 모의고사 1회 해설집

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 1회 해설집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 1회 — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 1 해설 대수 · 지수의 확장 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

[문제] 실수 $m, n$이 $5^m = 4$, $25^n = 27$을 만족시킬 때, $5^{3m/2 - 2n/3}$의 값을 기약분수로 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $25^n = (5^2)^n = 5^{2n} = 3^3$이므로 $5^{2n/3} = 3$이고, $5^m = 2^2$에서 $5^{m/2} = 2$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 지수법칙에 의하여 $5^{3m/2 - 2n/3} = \dfrac{\left(5^{m/2}\right)^3}{5^{2n/3}}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 구하는 값은 $\dfrac{2^3}{3} = \dfrac{8}{3}$이다.

최종 정답: $\dfrac{8}{3}$

문항 2 해설 대수 · 로그함수의 역함수와 교점 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

[문제] 함수 $y = \log_3(x - 1) + 2$의 그래프가 점 $(10, a)$를 지나고 이 함수의 역함수 $y = f^{-1}(x)$의 그래프가 점 $(3, b)$를 지날 때, $a + b$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $x = 10$을 주어진 함수에 대입하면 $a = \log_3(10 - 1) + 2 = \log_3 9 + 2 = 4$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 역함수의 성질에 의하여 $f^{-1}(3) = b \iff f(b) = 3$이므로 $\log_3(b - 1) + 2 = 3$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $\log_3(b - 1) = 1$에서 $b - 1 = 3 \implies b = 4$이므로 $a + b = 8$이다.

최종 정답: $8$

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모범답안 · 배점 100점

문항 3 해설 대수 · 삼각함수의 각 변환 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

[문제] 식 $A = \sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \theta\right)\cos(\pi - \theta) - \sin(\pi + \theta)\cos\left(\dfrac{3\pi}{2} - \theta\right)$를 간단히 한 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 삼각함수의 각 변환 공식에 의하여 $\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \theta\right) = \cos\theta$, $\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 또한 $\sin(\pi + \theta) = -\sin\theta$, $\cos\left(\dfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\sin\theta$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 주어진 식에 대입하면 $A = (\cos\theta)(-\cos\theta) - (-\sin\theta)(-\sin\theta) = -(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = -1$이다.

최종 정답: $-1$

문항 4 해설 대수 · 등차수열의 일반항과 합 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

[문제] 등차수열 $\{a_n\}$에서 $a_4 = 11$, $a_9 = 26$일 때, 첫째항부터 제$10$항까지의 합 $S_{10}$을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $a_9 - a_4 = 5d = 26 - 11 = 15$에서 공차는 $d = 3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 첫째항은 $a_1 = a_4 - 3d = 11 - 9 = 2$이고, 제$10$항은 $a_{10} = 2 + 9 \cdot 3 = 29$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 $S_{10} = \dfrac{10(a_1 + a_{10})}{2} = 5(2 + 29) = 155$이다.

최종 정답: $155$

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문항 5 해설 미적분Ⅰ · 무리식이 포함된 함수의 극한 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.3 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

[문제] 극한 $\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2 + 6x + 2} - x\right)$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 분모가 $1$인 분수로 보고 켤레식 $\sqrt{x^2 + 6x + 2} + x$를 분모와 분자에 곱하여 유리화한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $\lim_{x \to \infty} \dfrac{(x^2 + 6x + 2) - x^2}{\sqrt{x^2 + 6x + 2} + x} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{6 + 2/x}{\sqrt{1 + 6/x + 2/x^2} + 1}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $x \to \infty$일 때 극한값은 $\dfrac{6}{1 + 1} = 3$이다.

최종 정답: $3$

문항 6 해설 미적분Ⅰ · 도함수의 정의와 다항식 미분 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]

[문제] 함수 $f(x) = x^4 - 3x^2 + 5x - 2$에 대하여 $\lim_{h \to 0} \dfrac{f(-1 + 2h) - f(-1 - 3h)}{h}$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 미분계수의 정의에 의하여 주어진 극한은 $\left\{2 - (-3)\right\}f'(-1) = 5f'(-1)$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 도함수 $f'(x) = 4x^3 - 6x + 5$에 $x = -1$을 대입하면 $f'(-1) = -4 + 6 + 5 = 7$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 구하는 값은 $5 \cdot 7 = 35$이다.

최종 정답: $35$

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모범답안 · 배점 100점

문항 7 해설 미적분Ⅰ · 곡선 밖의 점에서 그은 접선 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

[문제] 점 $(1, -2)$에서 포물선 $y = x^2 - 2x + 1$에 그은 두 접선의 기울기의 곱을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 접점을 $(t, t^2 - 2t + 1)$이라 하면 $y' = 2x - 2$이므로 접선의 방정식은 $y - (t^2 - 2t + 1) = (2t - 2)(x - t)$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 점 $(1, -2)$를 대입하면 $-2 - (t - 1)^2 = 2(t - 1)(1 - t) \iff (t - 1)^2 = 2$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 두 접점에서의 접선의 기울기는 $m = 2(t - 1)$이므로 $t - 1 = \pm\sqrt{2}$를 대입하면 두 기울기는 $2\sqrt{2}, \; -2\sqrt{2}$이고 그 곱은 $-8$이다.

최종 정답: $-8$

문항 8 해설 미적분Ⅰ · 정적분의 계산과 치환대칭 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

[문제] 정적분 $\int_0^2 (2x + 1)(x^2 + x - 1)\,dx$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 피적분함수를 전개하면 $(2x + 1)(x^2 + x - 1) = 2x^3 + 3x^2 - x - 1$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 부정적분을 구하면 $\left[\dfrac{1}{2}x^4 + x^3 - \dfrac{1}{2}x^2 - x\right]_0^2$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $x = 2$를 대입하면 $8 + 8 - 2 - 2 = 12$이다.

최종 정답: $12$