2027학년도 홍익대학교 세종 모의고사 1회 해설집

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 1회 문제집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 1회

80분 · 100점 만점

문항 1 대수 · 지수의 확장 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

실수 $m, n$이 $5^m = 4$, $25^n = 27$을 만족시킬 때, $5^{3m/2 - 2n/3}$의 값을 기약분수로 구하시오.

【홍익대(세종) 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

문항 2 대수 · 로그함수의 역함수와 교점 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

함수 $y = \log_3(x - 1) + 2$의 그래프가 점 $(10, a)$를 지나고 이 함수의 역함수 $y = f^{-1}(x)$의 그래프가 점 $(3, b)$를 지날 때, $a + b$의 값을 구하시오.

【홍익대(세종) 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 1회 문제집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 1회

80분 · 100점 만점

문항 3 대수 · 삼각함수의 각 변환 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

식 $A = \sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \theta\right)\cos(\pi - \theta) - \sin(\pi + \theta)\cos\left(\dfrac{3\pi}{2} - \theta\right)$를 간단히 한 값을 구하시오.

【홍익대(세종) 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

문항 4 대수 · 등차수열의 일반항과 합 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

등차수열 $\{a_n\}$에서 $a_4 = 11$, $a_9 = 26$일 때, 첫째항부터 제$10$항까지의 합 $S_{10}$을 구하시오.

【홍익대(세종) 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 1회 문제집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 1회

80분 · 100점 만점

문항 5 미적분Ⅰ · 무리식이 포함된 함수의 극한 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.3 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

극한 $\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2 + 6x + 2} - x\right)$의 값을 구하시오.

【홍익대(세종) 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

문항 6 미적분Ⅰ · 도함수의 정의와 다항식 미분 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]

함수 $f(x) = x^4 - 3x^2 + 5x - 2$에 대하여 $\lim_{h \to 0} \dfrac{f(-1 + 2h) - f(-1 - 3h)}{h}$의 값을 구하시오.

【홍익대(세종) 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 1회 문제집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 1회

80분 · 100점 만점

문항 7 미적분Ⅰ · 곡선 밖의 점에서 그은 접선 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

점 $(1, -2)$에서 포물선 $y = x^2 - 2x + 1$에 그은 두 접선의 기울기의 곱을 구하시오.

【홍익대(세종) 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

문항 8 미적분Ⅰ · 정적분의 계산과 치환대칭 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

정적분 $\int_0^2 (2x + 1)(x^2 + x - 1)\,dx$의 값을 구하시오.

【홍익대(세종) 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 1회 해설집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 1회 — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 1 해설 대수 · 지수의 확장 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

[문제] 실수 $m, n$이 $5^m = 4$, $25^n = 27$을 만족시킬 때, $5^{3m/2 - 2n/3}$의 값을 기약분수로 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $25^n = (5^2)^n = 5^{2n} = 3^3$이므로 $5^{2n/3} = 3$이고, $5^m = 2^2$에서 $5^{m/2} = 2$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 지수법칙에 의하여 $5^{3m/2 - 2n/3} = \dfrac{\left(5^{m/2}\right)^3}{5^{2n/3}}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 구하는 값은 $\dfrac{2^3}{3} = \dfrac{8}{3}$이다.

최종 정답: $\dfrac{8}{3}$

문항 2 해설 대수 · 로그함수의 역함수와 교점 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

[문제] 함수 $y = \log_3(x - 1) + 2$의 그래프가 점 $(10, a)$를 지나고 이 함수의 역함수 $y = f^{-1}(x)$의 그래프가 점 $(3, b)$를 지날 때, $a + b$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $x = 10$을 주어진 함수에 대입하면 $a = \log_3(10 - 1) + 2 = \log_3 9 + 2 = 4$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 역함수의 성질에 의하여 $f^{-1}(3) = b \iff f(b) = 3$이므로 $\log_3(b - 1) + 2 = 3$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $\log_3(b - 1) = 1$에서 $b - 1 = 3 \implies b = 4$이므로 $a + b = 8$이다.

최종 정답: $8$

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 1회 해설집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 1회 — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 3 해설 대수 · 삼각함수의 각 변환 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

[문제] 식 $A = \sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \theta\right)\cos(\pi - \theta) - \sin(\pi + \theta)\cos\left(\dfrac{3\pi}{2} - \theta\right)$를 간단히 한 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 삼각함수의 각 변환 공식에 의하여 $\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \theta\right) = \cos\theta$, $\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 또한 $\sin(\pi + \theta) = -\sin\theta$, $\cos\left(\dfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\sin\theta$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 주어진 식에 대입하면 $A = (\cos\theta)(-\cos\theta) - (-\sin\theta)(-\sin\theta) = -(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = -1$이다.

최종 정답: $-1$

문항 4 해설 대수 · 등차수열의 일반항과 합 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

[문제] 등차수열 $\{a_n\}$에서 $a_4 = 11$, $a_9 = 26$일 때, 첫째항부터 제$10$항까지의 합 $S_{10}$을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $a_9 - a_4 = 5d = 26 - 11 = 15$에서 공차는 $d = 3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 첫째항은 $a_1 = a_4 - 3d = 11 - 9 = 2$이고, 제$10$항은 $a_{10} = 2 + 9 \cdot 3 = 29$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 $S_{10} = \dfrac{10(a_1 + a_{10})}{2} = 5(2 + 29) = 155$이다.

최종 정답: $155$

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 1회 해설집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 1회 — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 5 해설 미적분Ⅰ · 무리식이 포함된 함수의 극한 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.3 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

[문제] 극한 $\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2 + 6x + 2} - x\right)$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 분모가 $1$인 분수로 보고 켤레식 $\sqrt{x^2 + 6x + 2} + x$를 분모와 분자에 곱하여 유리화한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $\lim_{x \to \infty} \dfrac{(x^2 + 6x + 2) - x^2}{\sqrt{x^2 + 6x + 2} + x} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{6 + 2/x}{\sqrt{1 + 6/x + 2/x^2} + 1}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $x \to \infty$일 때 극한값은 $\dfrac{6}{1 + 1} = 3$이다.

최종 정답: $3$

문항 6 해설 미적분Ⅰ · 도함수의 정의와 다항식 미분 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]

[문제] 함수 $f(x) = x^4 - 3x^2 + 5x - 2$에 대하여 $\lim_{h \to 0} \dfrac{f(-1 + 2h) - f(-1 - 3h)}{h}$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 미분계수의 정의에 의하여 주어진 극한은 $\left\{2 - (-3)\right\}f'(-1) = 5f'(-1)$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 도함수 $f'(x) = 4x^3 - 6x + 5$에 $x = -1$을 대입하면 $f'(-1) = -4 + 6 + 5 = 7$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 구하는 값은 $5 \cdot 7 = 35$이다.

최종 정답: $35$

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 1회 해설집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 1회 — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 7 해설 미적분Ⅰ · 곡선 밖의 점에서 그은 접선 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

[문제] 점 $(1, -2)$에서 포물선 $y = x^2 - 2x + 1$에 그은 두 접선의 기울기의 곱을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 접점을 $(t, t^2 - 2t + 1)$이라 하면 $y' = 2x - 2$이므로 접선의 방정식은 $y - (t^2 - 2t + 1) = (2t - 2)(x - t)$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 점 $(1, -2)$를 대입하면 $-2 - (t - 1)^2 = 2(t - 1)(1 - t) \iff (t - 1)^2 = 2$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 두 접점에서의 접선의 기울기는 $m = 2(t - 1)$이므로 $t - 1 = \pm\sqrt{2}$를 대입하면 두 기울기는 $2\sqrt{2}, \; -2\sqrt{2}$이고 그 곱은 $-8$이다.

최종 정답: $-8$

문항 8 해설 미적분Ⅰ · 정적분의 계산과 치환대칭 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

[문제] 정적분 $\int_0^2 (2x + 1)(x^2 + x - 1)\,dx$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 피적분함수를 전개하면 $(2x + 1)(x^2 + x - 1) = 2x^3 + 3x^2 - x - 1$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 부정적분을 구하면 $\left[\dfrac{1}{2}x^4 + x^3 - \dfrac{1}{2}x^2 - x\right]_0^2$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $x = 2$를 대입하면 $8 + 8 - 2 - 2 = 12$이다.

최종 정답: $12$

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 2회 문제집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 2회

80분 · 100점 만점

문항 1 대수 · 로그의 성질과 연립식 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수01-04, 12대수01-05]

두 양수 $x, y$가 $\log_3 x + \log_3 y = 4$, $\log_3 x - \log_3 y = 2$를 만족시킬 때, $x + y$의 값을 구하시오.

【홍익대(세종) 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

문항 2 대수 · 코사인법칙과 최대각 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

세 변의 길이의 비가 $a : b : c = 3 : 5 : 7$인 삼각형 $ABC$에서 가장 큰 내각의 크기 $\theta$ (라디안)를 구하시오.

【홍익대(세종) 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 2회 문제집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 2회

80분 · 100점 만점

문항 3 대수 · 등비수열의 일반항과 조건 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

공비가 양수인 등비수열 $\{a_n\}$에서 $a_1 + a_2 = 12$, $a_3 + a_4 = 108$일 때, 첫째항 $a_1$과 제$5$항 $a_5$를 각각 구하시오.

【홍익대(세종) 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

문항 4 대수 · 시그마와 이차방정식 근과 계수의 관계 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

이차방정식 $x^2 - 4x + 2 = 0$의 두 근을 $\alpha, \beta$라 할 때, $\sum_{k=1}^{5} (k - \alpha)(k - \beta)$의 값을 구하시오.

【홍익대(세종) 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 2회 문제집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 2회

80분 · 100점 만점

문항 5 미적분Ⅰ · 연속함수의 성질 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

함수 $f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 + ax - 10}{x - 2} & (x \ne 2) \\ b & (x = 2) \end{cases}$가 $x = 2$에서 연속일 때, 상수 $a, b$에 대하여 $ab$의 값을 구하시오.

【홍익대(세종) 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

문항 6 미적분Ⅰ · 함수의 증가와 감소 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

삼차함수 $f(x) = -x^3 + ax^2 - 3ax + 4$가 실수 전체의 집합에서 감소하도록 하는 정수 $a$의 개수를 구하시오.

【홍익대(세종) 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 2회 문제집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 2회

80분 · 100점 만점

문항 7 미적분Ⅰ · 부등식에의 활용 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

$x \ge 0$인 모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $2x^3 - 3x^2 - 12x + k \ge 0$이 성립하도록 하는 상수 $k$의 최솟값을 구하시오.

【홍익대(세종) 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

문항 8 미적분Ⅰ · 곡선과 x축 사이의 넓이 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

곡선 $y = -x^2 + 5x - 4$와 $x$축 및 직선 $x = 5$로 둘러싸인 두 부분의 넓이의 합 $S$를 구하시오.

【홍익대(세종) 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 2회 해설집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 2회 — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 1 해설 대수 · 로그의 성질과 연립식 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수01-04, 12대수01-05]

[문제] 두 양수 $x, y$가 $\log_3 x + \log_3 y = 4$, $\log_3 x - \log_3 y = 2$를 만족시킬 때, $x + y$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 두 식을 변끼리 더하면 $2\log_3 x = 6 \implies \log_3 x = 3$이므로 $x = 3^3 = 27$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 첫째 식에 대입하면 $\log_3 y = 4 - 3 = 1$이므로 $y = 3^1 = 3$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 $x + y = 27 + 3 = 30$이다.

최종 정답: $30$

문항 2 해설 대수 · 코사인법칙과 최대각 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

[문제] 세 변의 길이의 비가 $a : b : c = 3 : 5 : 7$인 삼각형 $ABC$에서 가장 큰 내각의 크기 $\theta$ (라디안)를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 양수 $k$에 대하여 $a = 3k, \; b = 5k, \; c = 7k$라 하면 가장 긴 변 $c$의 대각 $C = \theta$가 가장 큰 내각이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 코사인법칙에 의하여 $\cos\theta = \dfrac{(3k)^2 + (5k)^2 - (7k)^2}{2(3k)(5k)} = \dfrac{9 + 25 - 49}{30} = -\dfrac{15}{30} = -\dfrac{1}{2}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $0 < \theta < \pi$이므로 $\theta = \dfrac{2\pi}{3}$이다.

최종 정답: $\dfrac{2\pi}{3}$

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 2회 해설집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 2회 — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 3 해설 대수 · 등비수열의 일반항과 조건 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

[문제] 공비가 양수인 등비수열 $\{a_n\}$에서 $a_1 + a_2 = 12$, $a_3 + a_4 = 108$일 때, 첫째항 $a_1$과 제$5$항 $a_5$를 각각 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $a_3 + a_4 = r^2(a_1 + a_2)$이므로 $12r^2 = 108 \implies r^2 = 9$이고 $r > 0$에서 공비는 $r = 3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $a_1(1 + r) = 4a_1 = 12$이므로 첫째항은 $a_1 = 3$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 제$5$항은 $a_5 = a_1 r^4 = 3 \cdot 81 = 243$이다.

최종 정답: $a_1 = 3, \; a_5 = 243$

문항 4 해설 대수 · 시그마와 이차방정식 근과 계수의 관계 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

[문제] 이차방정식 $x^2 - 4x + 2 = 0$의 두 근을 $\alpha, \beta$라 할 때, $\sum_{k=1}^{5} (k - \alpha)(k - \beta)$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 이차식의 인수분해 성질에 의하여 $(x - \alpha)(x - \beta) = x^2 - 4x + 2$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 따라서 주어진 합은 $\sum_{k=1}^{5} (k^2 - 4k + 2) = \dfrac{5 \cdot 6 \cdot 11}{6} - 4 \cdot \dfrac{5 \cdot 6}{2} + 2 \cdot 5$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $55 - 60 + 10 = 5$이다.

최종 정답: $5$

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 2회 해설집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 2회 — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 5 해설 미적분Ⅰ · 연속함수의 성질 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

[문제] 함수 $f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 + ax - 10}{x - 2} & (x \ne 2) \\ b & (x = 2) \end{cases}$가 $x = 2$에서 연속일 때, 상수 $a, b$에 대하여 $ab$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $x \to 2$일 때 분모가 $0$으로 가므로 분자도 $0$이 되어야 하여 $4 + 2a - 10 = 0 \implies a = 3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $a = 3$일 때 $\lim_{x \to 2} \dfrac{(x - 2)(x + 5)}{x - 2} = 7 = b$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 $ab = 3 \cdot 7 = 21$이다.

최종 정답: $21$

문항 6 해설 미적분Ⅰ · 함수의 증가와 감소 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[문제] 삼차함수 $f(x) = -x^3 + ax^2 - 3ax + 4$가 실수 전체의 집합에서 감소하도록 하는 정수 $a$의 개수를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 최고차항의 계수가 음수인 삼차함수가 실수 전체에서 감소하려면 모든 실수 $x$에서 $f'(x) = -3x^2 + 2ax - 3a \le 0$이어야 한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 이차방정식 $3x^2 - 2ax + 3a = 0$의 판별식 $D/4 = a^2 - 9a = a(a - 9) \le 0$이어야 한다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $0 \le a \le 9$이므로 정수 $a$의 개수는 $10$개이다.

최종 정답: $10$

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 2회 해설집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 2회 — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 7 해설 미적분Ⅰ · 부등식에의 활용 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[문제] $x \ge 0$인 모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $2x^3 - 3x^2 - 12x + k \ge 0$이 성립하도록 하는 상수 $k$의 최솟값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + k$라 하면 $f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x + 1)(x - 2) = 0$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $x \ge 0$에서 $f(x)$는 $x = 2$일 때 극소이자 최솟값 $f(2) = 16 - 12 - 24 + k = k - 20$을 갖는다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $k - 20 \ge 0$이어야 하므로 $k$의 최솟값은 $20$이다.

최종 정답: $20$

문항 8 해설 미적분Ⅰ · 곡선과 x축 사이의 넓이 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[문제] 곡선 $y = -x^2 + 5x - 4$와 $x$축 및 직선 $x = 5$로 둘러싸인 두 부분의 넓이의 합 $S$를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $-x^2 + 5x - 4 = -(x - 1)(x - 4) = 0$이므로 $[1, 4]$에서는 곡선이 $x$축 위에, $[4, 5]$에서는 $x$축 아래에 있다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $\int_1^4 (-x^2 + 5x - 4)\,dx = \dfrac{1}{6}(4 - 1)^3 = \dfrac{9}{2}$이고, $\int_4^5 (x^2 - 5x + 4)\,dx = \left[\dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{5}{2}x^2 + 4x\right]_4^5 = \dfrac{11}{6}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 두 부분의 넓이의 합은 $S = \dfrac{9}{2} + \dfrac{11}{6} = \dfrac{19}{3}$이다.

최종 정답: $\dfrac{19}{3}$

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 3회 문제집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 3회

80분 · 100점 만점

문항 1 대수 · 지수방정식의 실근의 곱 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

지수방정식 $9^x - 6 \cdot 3^{x+1} + 81 = 0$의 해를 구하시오.

【홍익대(세종) 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

문항 2 대수 · 부채꼴의 호의 길이와 넓이 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

중심각의 크기가 $\dfrac{2\pi}{3}$이고 넓이가 $12\pi$인 부채꼴의 반지름의 길이 $r$와 호의 길이 $l$을 각각 구하시오.

【홍익대(세종) 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 3회 문제집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 3회

80분 · 100점 만점

문항 3 대수 · 사인법칙과 삼각형의 결정 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

삼각형 $ABC$에서 $\angle A = \dfrac{\pi}{4}$, $\angle B = \dfrac{\pi}{3}$, $\overline{BC} = 6$일 때, 변 $AC$의 길이와 외접원의 넓이를 각각 구하시오.

【홍익대(세종) 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

문항 4 대수 · 무리식 수열의 합 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

급수 $\sum_{k=1}^{24} \dfrac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}}$의 값을 구하시오.

【홍익대(세종) 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 3회 문제집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 3회

80분 · 100점 만점

문항 5 미적분Ⅰ · 다항함수의 극한 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.3 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

극한 $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$의 값을 기약분수로 구하시오.

【홍익대(세종) 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

문항 6 미적분Ⅰ · 접선의 방정식과 삼각형의 넓이 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

곡선 $y = x^2 - 4x + 7$ 위의 점 $(3, 4)$에서의 접선과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오.

【홍익대(세종) 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 3회 문제집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 3회

80분 · 100점 만점

문항 7 미적분Ⅰ · 정적분과 우함수·기함수 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(-x) = f(x)$를 만족시키고 $\int_0^3 f(x)\,dx = 5$일 때, $\int_{-3}^3 (2x^3 - 3x + 4)f(x)\,dx$의 값을 구하시오.

【홍익대(세종) 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

문항 8 미적분Ⅰ · 속도와 위치의 변화량 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t$에서의 속도가 $v(t) = 6t - 3t^2$이고 시각 $t = 0$에서의 위치가 $x(0) = 2$일 때, 점 $P$가 운동 방향을 바꾸는 순간의 위치를 구하시오.

【홍익대(세종) 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 3회 해설집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 3회 — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 1 해설 대수 · 지수방정식의 실근의 곱 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

[문제] 지수방정식 $9^x - 6 \cdot 3^{x+1} + 81 = 0$의 해를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $t = 3^x$ ($t > 0$)로 치환하면 주어진 방정식은 $t^2 - 18t + 81 = 0$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 완전제곱식으로 인수분해하면 $(t - 9)^2 = 0$이므로 $t = 9$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $3^x = 9 = 3^2$이므로 실근은 $x = 2$이다.

최종 정답: $x = 2$

문항 2 해설 대수 · 부채꼴의 호의 길이와 넓이 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

[문제] 중심각의 크기가 $\dfrac{2\pi}{3}$이고 넓이가 $12\pi$인 부채꼴의 반지름의 길이 $r$와 호의 길이 $l$을 각각 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 부채꼴의 넓이 공식 $S = \dfrac{1}{2}r^2\theta$에 $\theta = \dfrac{2\pi}{3}, \; S = 12\pi$를 대입한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $\dfrac{1}{2}r^2 \cdot \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3}r^2 = 12\pi$에서 $r^2 = 36$이고 $r > 0$이므로 $r = 6$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 호의 길이는 $l = r\theta = 6 \cdot \dfrac{2\pi}{3} = 4\pi$이다.

최종 정답: $r = 6, \; l = 4\pi$

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 3회 해설집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 3회 — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 3 해설 대수 · 사인법칙과 삼각형의 결정 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

[문제] 삼각형 $ABC$에서 $\angle A = \dfrac{\pi}{4}$, $\angle B = \dfrac{\pi}{3}$, $\overline{BC} = 6$일 때, 변 $AC$의 길이와 외접원의 넓이를 각각 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 사인법칙 $\dfrac{\overline{BC}}{\sin A} = \dfrac{\overline{AC}}{\sin B} = 2R$를 적용한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $2R = \dfrac{6}{\sin(\pi/4)} = \dfrac{6}{\sqrt{2}/2} = 6\sqrt{2}$이므로 $R = 3\sqrt{2}$이고, $\overline{AC} = 2R\sin\dfrac{\pi}{3} = 6\sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{6}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 외접원의 넓이는 $\pi R^2 = \pi (3\sqrt{2})^2 = 18\pi$이다.

최종 정답: $\overline{AC} = 3\sqrt{6}, \; 18\pi$

문항 4 해설 대수 · 무리식 수열의 합 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

[문제] 급수 $\sum_{k=1}^{24} \dfrac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}}$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 분모를 유리화하면 $\dfrac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} = \sqrt{k+1} - \sqrt{k}$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $k = 1$부터 $24$까지 대입하여 더하면 $(\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + \cdots + (\sqrt{25} - \sqrt{24})$로 연쇄 소거된다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 남는 항은 $\sqrt{25} - 1 = 5 - 1 = 4$이다.

최종 정답: $4$

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 3회 해설집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 3회 — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 5 해설 미적분Ⅰ · 다항함수의 극한 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.3 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

[문제] 극한 $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$의 값을 기약분수로 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 분자와 분모를 각각 인수분해하면 $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$, $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $x \ne 2$에서 공통인수 $(x - 2)$를 약분하면 $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 + 2x + 4}{x + 2}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $x = 2$를 대입하면 $\dfrac{4 + 4 + 4}{4} = 3$이다.

최종 정답: $3$

문항 6 해설 미적분Ⅰ · 접선의 방정식과 삼각형의 넓이 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

[문제] 곡선 $y = x^2 - 4x + 7$ 위의 점 $(3, 4)$에서의 접선과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $y' = 2x - 4$에서 $x = 3$일 때 접선의 기울기는 $2$이므로 접선의 방정식은 $y - 4 = 2(x - 3)$, 즉 $y = 2x - 2$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 이 직선의 $x$절편은 $(1, 0)$이고 $y$절편은 $(0, -2)$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 좌표축과 이루는 삼각형의 넓이는 $\dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1$이다.

최종 정답: $1$

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 3회 해설집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 3회 — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 7 해설 미적분Ⅰ · 정적분과 우함수·기함수 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

[문제] 다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(-x) = f(x)$를 만족시키고 $\int_0^3 f(x)\,dx = 5$일 때, $\int_{-3}^3 (2x^3 - 3x + 4)f(x)\,dx$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $f(x)$가 우함수이므로 $(2x^3 - 3x)f(x)$는 기함수이고, $4f(x)$는 우함수이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 대칭구간 $[-3, 3]$에서 기함수의 정적분은 $0$이므로 주어진 식은 $4\int_{-3}^3 f(x)\,dx = 8\int_0^3 f(x)\,dx$와 같다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $\int_0^3 f(x)\,dx = 5$를 대입하면 $8 \cdot 5 = 40$이다.

최종 정답: $40$

문항 8 해설 미적분Ⅰ · 속도와 위치의 변화량 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[문제] 수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t$에서의 속도가 $v(t) = 6t - 3t^2$이고 시각 $t = 0$에서의 위치가 $x(0) = 2$일 때, 점 $P$가 운동 방향을 바꾸는 순간의 위치를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $v(t) = 3t(2 - t) = 0$에서 출발 후 운동 방향이 바뀌는 시각은 $t = 2$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 시각 $t = 2$에서의 위치는 $x(2) = x(0) + \int_0^2 (6t - 3t^2)\,dt$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $x(2) = 2 + \left[3t^2 - t^3\right]_0^2 = 2 + (12 - 8) = 6$이다.

최종 정답: $6$

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 4회 문제집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 4회

80분 · 100점 만점

문항 1 대수 · 거듭제곱근의 계산 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

식 $\sqrt[3]{54} + \sqrt[3]{-16} + \sqrt[4]{81}$의 값을 간단히 하시오.

【홍익대(세종) 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

문항 2 대수 · 삼각함수 그래프와 대칭성 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

$0 \le x \le 2\pi$에서 정의된 함수 $y = \sin^2 x - 2\cos x + 1$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$을 각각 구하시오.

【홍익대(세종) 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 4회 문제집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 4회

80분 · 100점 만점

문항 3 대수 · 등차수열의 부분합과 일반항 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

두 등차수열 $\{a_n\}, \; \{b_n\}$에 대하여 $a_1 + b_1 = 5$, $a_{10} + b_{10} = 41$일 때, $\sum_{k=1}^{10} (a_k + b_k)$의 값을 구하시오.

【홍익대(세종) 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

문항 4 대수 · 귀납적 정의와 주기성 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 2$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = \dfrac{a_n - 1}{a_n + 1}$을 만족시킬 때, $a_{2027}$의 값을 구하시오.

【홍익대(세종) 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 4회 문제집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 4회

80분 · 100점 만점

문항 5 미적분Ⅰ · 함수의 연속과 최대·최소 정리 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

닫힌구간 $[1, 4]$에서 유리함수 $f(x) = \dfrac{2x + 5}{x + 1}$의 최댓값과 최솟값의 곱을 구하시오.

【홍익대(세종) 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

문항 6 미적분Ⅰ · 미분가능성과 미정계수 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]

다항함수 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1$이 $x = 1$에서 극솟값 $-3$을 가질 때, $f(-1)$의 값을 구하시오.

【홍익대(세종) 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 4회 문제집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 4회

80분 · 100점 만점

문항 7 미적분Ⅰ · 도함수의 그래프와 극값 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

삼차함수 $f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + 6$의 도함수 $f'(x)$에 대하여 방정식 $f'(x) = 0$의 두 근이 $-1, \; 2$일 때, 함수 $f(x)$의 극댓값을 구하시오.

【홍익대(세종) 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

문항 8 미적분Ⅰ · 정적분으로 나타낸 극한 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

함수 $f(x) = x^3 - 2x^2 + 4x + 1$에 대하여 극한 $\lim_{x \to 2} \dfrac{1}{x - 2}\int_2^x f(t)\,dt$의 값을 구하시오.

【홍익대(세종) 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 4회 해설집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 4회 — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 1 해설 대수 · 거듭제곱근의 계산 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

[문제] 식 $\sqrt[3]{54} + \sqrt[3]{-16} + \sqrt[4]{81}$의 값을 간단히 하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 각 항을 소인수분해하여 거듭제곱근의 성질을 적용하면 $\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = 3\sqrt[3]{2}$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $\sqrt[3]{-16} = -\sqrt[3]{8 \cdot 2} = -2\sqrt[3]{2}$이고, $\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 구하는 값은 $3\sqrt[3]{2} - 2\sqrt[3]{2} + 3 = \sqrt[3]{2} + 3$이다.

최종 정답: $\sqrt[3]{2} + 3$

문항 2 해설 대수 · 삼각함수 그래프와 대칭성 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

[문제] $0 \le x \le 2\pi$에서 정의된 함수 $y = \sin^2 x - 2\cos x + 1$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$을 각각 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$를 대입하면 $y = -\cos^2 x - 2\cos x + 2$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $t = \cos x$ ($-1 \le t \le 1$)로 치환하면 $y = -(t + 1)^2 + 3$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $t = -1$일 때 최댓값 $M = 3$이고, $t = 1$일 때 최솟값 $m = -1$이다.

최종 정답: $M = 3, \; m = -1$

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 4회 해설집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 4회 — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 3 해설 대수 · 등차수열의 부분합과 일반항 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

[문제] 두 등차수열 $\{a_n\}, \; \{b_n\}$에 대하여 $a_1 + b_1 = 5$, $a_{10} + b_{10} = 41$일 때, $\sum_{k=1}^{10} (a_k + b_k)$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 두 등차수열의 합으로 이루어진 수열 $\{a_n + b_n\}$도 등차수열이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 이 수열의 첫째항은 $5$이고 제$10$항은 $41$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 등차수열의 합 공식에 의하여 $\sum_{k=1}^{10} (a_k + b_k) = \dfrac{10(5 + 41)}{2} = 230$이다.

최종 정답: $230$

문항 4 해설 대수 · 귀납적 정의와 주기성 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

[문제] 수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 2$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = \dfrac{a_n - 1}{a_n + 1}$을 만족시킬 때, $a_{2027}$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 초기 항을 차례로 계산하면 $a_1 = 2, \; a_2 = \dfrac{1}{3}, \; a_3 = -\dfrac{1}{2}, \; a_4 = -3, \; a_5 = 2$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 주기가 $4$인 주기수열이므로 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+4} = a_n$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $2027 = 4 \times 506 + 3$이므로 $a_{2027} = a_3 = -\dfrac{1}{2}$이다.

최종 정답: $-\dfrac{1}{2}$

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 4회 해설집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 4회 — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 5 해설 미적분Ⅰ · 함수의 연속과 최대·최소 정리 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

[문제] 닫힌구간 $[1, 4]$에서 유리함수 $f(x) = \dfrac{2x + 5}{x + 1}$의 최댓값과 최솟값의 곱을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $f(x) = \dfrac{2(x + 1) + 3}{x + 1} = 2 + \dfrac{3}{x + 1}$이므로 구간 $[1, 4]$에서 연속이고 단조감소한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 따라서 최댓값은 $f(1) = 2 + \dfrac{3}{2} = \dfrac{7}{2}$이고, 최솟값은 $f(4) = 2 + \dfrac{3}{5} = \dfrac{13}{5}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 두 값의 곱은 $\dfrac{7}{2} \cdot \dfrac{13}{5} = \dfrac{91}{10}$이다.

최종 정답: $\dfrac{91}{10}$

문항 6 해설 미적분Ⅰ · 미분가능성과 미정계수 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]

[문제] 다항함수 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1$이 $x = 1$에서 극솟값 $-3$을 가질 때, $f(-1)$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $x = 1$에서 극솟값 $-3$을 가지므로 $f(1) = -3$이고 $f'(1) = 0$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $f(1) = 2 + a + b = -3 \implies a + b = -5$이고, $f'(1) = 3 + 2a + b = 0 \implies 2a + b = -3$이므로 연립하면 $a = 2, \; b = -7$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 $f(x) = x^3 + 2x^2 - 7x + 1$이므로 $f(-1) = -1 + 2 + 7 + 1 = 9$이다.

최종 정답: $9$

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 4회 해설집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 4회 — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 7 해설 미적분Ⅰ · 도함수의 그래프와 극값 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[문제] 삼차함수 $f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + 6$의 도함수 $f'(x)$에 대하여 방정식 $f'(x) = 0$의 두 근이 $-1, \; 2$일 때, 함수 $f(x)$의 극댓값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $f'(x) = 6x^2 + 2ax + b = 6(x + 1)(x - 2) = 6x^2 - 6x - 12$이므로 $a = -3, \; b = -12$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 최고차항 계수가 양수이므로 $x = -1$에서 극댓값을 갖는다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 극댓값은 $f(-1) = -2 - 3 + 12 + 6 = 13$이다.

최종 정답: $13$

문항 8 해설 미적분Ⅰ · 정적분으로 나타낸 극한 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

[문제] 함수 $f(x) = x^3 - 2x^2 + 4x + 1$에 대하여 극한 $\lim_{x \to 2} \dfrac{1}{x - 2}\int_2^x f(t)\,dt$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $F'(t) = f(t)$인 한 부정적분을 $F(t)$라 하면 정적분의 정의에 의해 $\int_2^x f(t)\,dt = F(x) - F(2)$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 주어진 극한은 $\lim_{x \to 2} \dfrac{F(x) - F(2)}{x - 2} = F'(2) = f(2)$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $f(2) = 8 - 8 + 8 + 1 = 9$이다.

최종 정답: $9$

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) 문제집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 5회

80분 · 100점 만점

문항 1 대수 · 지수와 로그의 혼합 계산 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수01-04, 12대수01-05]

값 $9^{\log_3 5} - 4^{\log_2 3} + \log_5 125$를 구하시오.

【홍익대(세종) 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

문항 2 대수 · 지수함수와 로그함수의 평행이동 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

함수 $f(x) = \log_2(4x - 8) + 1$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $p$만큼, $y$축의 방향으로 $q$만큼 평행이동하면 함수 $g(x) = \log_2 x$의 그래프와 일치할 때, $p + q$의 값을 구하시오.

【홍익대(세종) 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) 문제집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 5회

80분 · 100점 만점

문항 3 대수 · 코사인법칙과 평행사변형 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

이웃하는 두 변의 길이가 $\overline{AB} = 4$, $\overline{AD} = 6$이고 $\angle BAD = \dfrac{\pi}{3}$인 평행사변형 $ABCD$의 넓이 $S$와 짧은 대각선 $BD$의 길이를 각각 구하시오.

【홍익대(세종) 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

문항 4 대수 · 등비수열의 합과 일반항 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합이 $S_n = 3^{n+1} - 3$일 때, $a_1 + a_4$의 값을 구하시오.

【홍익대(세종) 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) 문제집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 5회

80분 · 100점 만점

문항 5 미적분Ⅰ · 함수의 극한과 다항함수 추론 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.3 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x} = 4$, $\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = 2$를 만족시킬 때, 차수가 가장 낮은 다항함수 $f(x)$에 대하여 $f(3)$의 값을 구하시오.

【홍익대(세종) 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

문항 6 미적분Ⅰ · 두 곡선의 공통접선 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

두 곡선 $y = x^3 + ax + b$와 $y = x^2 + 2$가 점 $(1, 3)$에서 공통인 접선을 가질 때, 상수 $a, b$에 대하여 $a - b$의 값을 구하시오.

【홍익대(세종) 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) 문제집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 5회

80분 · 100점 만점

문항 7 미적분Ⅰ · 속도와 가속도 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t$ ($t \ge 0$)에서의 위치가 $x(t) = t^3 - 9t^2 + 24t + 1$일 때, 점 $P$의 가속도가 $0$이 되는 순간의 속도 $v$를 구하시오.

【홍익대(세종) 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

문항 8 미적분Ⅰ · 삼차함수와 접선으로 둘러싸인 넓이 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

곡선 $y = x^3 - 2x^2 + 1$ 위의 점 $(1, 0)$에서의 접선과 이 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.

【홍익대(세종) 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) 해설집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 5회 — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 1 해설 대수 · 지수와 로그의 혼합 계산 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수01-04, 12대수01-05]

[문제] 값 $9^{\log_3 5} - 4^{\log_2 3} + \log_5 125$를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 로그의 성질 $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$에 의하여 $9^{\log_3 5} = 5^{\log_3 9} = 5^2 = 25$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 마찬가지로 $4^{\log_2 3} = 3^{\log_2 4} = 3^2 = 9$이고, $\log_5 125 = \log_5 5^3 = 3$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 $25 - 9 + 3 = 19$이다.

최종 정답: $19$

문항 2 해설 대수 · 지수함수와 로그함수의 평행이동 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

[문제] 함수 $f(x) = \log_2(4x - 8) + 1$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $p$만큼, $y$축의 방향으로 $q$만큼 평행이동하면 함수 $g(x) = \log_2 x$의 그래프와 일치할 때, $p + q$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 로그의 성질을 이용하면 $f(x) = \log_2\{4(x - 2)\} + 1 = \log_2(x - 2) + 3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 이를 $x$축의 방향으로 $p$만큼, $y$축의 방향으로 $q$만큼 평행이동하면 $y = \log_2(x - 2 - p) + 3 + q$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $y = \log_2 x$와 일치하려면 $-2 - p = 0, \; 3 + q = 0$에서 $p = -2, \; q = -3$이므로 $p + q = -5$이다.

최종 정답: $-5$

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) 해설집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 5회 — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 3 해설 대수 · 코사인법칙과 평행사변형 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

[문제] 이웃하는 두 변의 길이가 $\overline{AB} = 4$, $\overline{AD} = 6$이고 $\angle BAD = \dfrac{\pi}{3}$인 평행사변형 $ABCD$의 넓이 $S$와 짧은 대각선 $BD$의 길이를 각각 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 평행사변형의 넓이는 $S = \overline{AB} \cdot \overline{AD} \sin\dfrac{\pi}{3} = 4 \cdot 6 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 삼각형 $ABD$에서 코사인법칙을 적용하면 $\overline{BD}^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cos\dfrac{\pi}{3} = 16 + 36 - 24 = 28$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 $\overline{BD} = 2\sqrt{7}$이다.

최종 정답: $S = 12\sqrt{3}, \; \overline{BD} = 2\sqrt{7}$

문항 4 해설 대수 · 등비수열의 합과 일반항 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 9 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

[문제] 수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합이 $S_n = 3^{n+1} - 3$일 때, $a_1 + a_4$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $a_1 = S_1 = 3^2 - 3 = 6$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $n \ge 2$일 때 $a_n = S_n - S_{n-1} = (3^{n+1} - 3) - (3^n - 3) = 2 \cdot 3^n$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $a_4 = 2 \cdot 3^4 = 162$이므로 $a_1 + a_4 = 6 + 162 = 168$이다.

최종 정답: $168$

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) 해설집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 5회 — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 5 해설 미적분Ⅰ · 함수의 극한과 다항함수 추론 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.3 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

[문제] 다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x} = 4$, $\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = 2$를 만족시킬 때, 차수가 가장 낮은 다항함수 $f(x)$에 대하여 $f(3)$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 두 극한 조건으로부터 $f(0) = 0, \; f(1) = 0$이므로 차수가 가장 낮은 $f(x)$는 삼차함수 $f(x) = x(x - 1)(ax + b)$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x} = -b = 4 \implies b = -4$이고, $\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = a + b = 2 \implies a = 6$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 $f(x) = x(x - 1)(6x - 4)$이므로 $f(3) = 3 \cdot 2 \cdot 14 = 84$이다.

최종 정답: $84$

문항 6 해설 미적분Ⅰ · 두 곡선의 공통접선 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

[문제] 두 곡선 $y = x^3 + ax + b$와 $y = x^2 + 2$가 점 $(1, 3)$에서 공통인 접선을 가질 때, 상수 $a, b$에 대하여 $a - b$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 점 $(1, 3)$이 곡선 $y = x^3 + ax + b$ 위의 점이므로 $1 + a + b = 3 \implies a + b = 2$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $x = 1$에서 두 곡선의 미분계수가 같아야 하므로 $3(1)^2 + a = 2(1) \implies a = -1$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $b = 2 - a = 3$이므로 $a - b = -1 - 3 = -4$이다.

최종 정답: $-4$

2027학년도 홍익대학교 세종캠퍼스 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) 해설집

홍익대(세종) 캠퍼스자율전공(자연·예능) · 공학계열 약술형 5회 — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 7 해설 미적분Ⅰ · 속도와 가속도 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[문제] 수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t$ ($t \ge 0$)에서의 위치가 $x(t) = t^3 - 9t^2 + 24t + 1$일 때, 점 $P$의 가속도가 $0$이 되는 순간의 속도 $v$를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 속도는 $v(t) = x'(t) = 3t^2 - 18t + 24$이고, 가속도는 $a(t) = v'(t) = 6t - 18$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 가속도가 $0$이 되는 시각은 $6t - 18 = 0$에서 $t = 3$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $t = 3$일 때의 속도는 $v(3) = 27 - 54 + 24 = -3$이다.

최종 정답: $-3$

문항 8 해설 미적분Ⅰ · 삼차함수와 접선으로 둘러싸인 넓이 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 유제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[문제] 곡선 $y = x^3 - 2x^2 + 1$ 위의 점 $(1, 0)$에서의 접선과 이 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $y' = 3x^2 - 4x$에서 $x = 1$일 때 접선의 기울기는 $-1$이므로 접선의 방정식은 $y = -x + 1$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 교점 방정식 $x^3 - 2x^2 + 1 = -x + 1 \iff x(x - 1)^2 = 0$에서 교점의 $x$좌표는 $0, \; 1$ (접점)이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 삼차곡선과 접선의 넓이 공식에 의하여 $S = \dfrac{1}{12}(1 - 0)^4 = \dfrac{1}{12}$이다.

최종 정답: $\dfrac{1}{12}$

2027학년도 대비 홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제6회 (문제집) 80분 / 100점 만점 · 수능최저 1개 4등급 · 수리 단독

[약술문항 1] 지수·로그함수의 역함수 대칭성과 수직 직선 위의 교점 좌표 추론 (20점)

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: (DB: CAL1_Ch02_미래엔) PDF p.61 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-02, 12미적Ⅰ-02-08]

<제시문 (가)> 지수함수 $y = 2^{x - 147} + 147$와 그 역함수인 로그함수의 그래프는 항등직선 $y - x = 0\cdot 298$에 대하여 서로 대칭이다.
<제시문 (나)> 기울기가 $-1$인 직선 $x + y = 298$은 대칭축과 수직으로 만나므로, 서로 역함수 관계인 두 곡선과 만나는 두 교점 $\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 + x_2 = 298)$도 대칭축에 대하여 서로 대칭이다.

직선 $y = -x + 298$이 서로 역함수 관계인 지수곡선과 로그곡선과 만나는 두 점을 각각 $\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 \lt x_2,\; x_1 + y_1 = 298)$라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (나)의 역함수 대칭성을 이용하여 $x_1 + x_2 = y_1 + y_2 = 298$임을 설명하고, 선분 PQ의 중점 $\mathrm{M}(149, 149)$의 좌표를 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 선분 PQ의 길이가 $\overline{\mathrm{PQ}} = 2\sqrt{2}\;(\text{중점 } 149)$일 때, $x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 298)$를 이용하여 두 교점 P, Q의 좌표를 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 원점 O에서 직선 $x + y - 298 = 0$까지의 거리 $h = \dfrac{298}{\sqrt{2}}$를 구하고, 삼각형 OPQ의 넓이를 구하시오.

[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[약술문항 2] 비선형 분수 점화식의 역수 등차수열 변환과 부분분수 급수의 합 (20점)

대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]

<제시문 (가)> 모든 항이 양수인 수열이 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{6a_n + 1}\;\left(a_1 = \dfrac{1}{150}\right)$을 만족시킬 때, 양변의 역수를 취하면 $\dfrac{1}{a_{n+1}} - \dfrac{1}{a_n} = 6$가 되어 역수 수열은 공차가 $6$인 등차수열을 이룬다.
<제시문 (나)> 자연수 $n$에 대한 명제를 수학적 귀납법으로 증명할 때는 초기항 $n = 1\;(a_1 = 1/150)$일 때 성립함을 보이고, $n = k$일 때 성립한다고 가정하여 $n = k + 1$일 때도 성립함을 연역한다.

첫째항이 $a_1 = \dfrac{1}{150}$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{6a_n + 1}$을 만족시키는 수열에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 역수 변환 $b_n = \dfrac{1}{a_n}\;\left(b_1 = 150\right)$을 이용하여 $b_n = 6n + 144$와 $a_n$의 일반항을 각각 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 일반항 $a_n = \dfrac{1}{6n + 144}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 성립함을 제시문 (나)의 수학적 귀납법으로 증명하시오.

[문항 2-3] (7점) 부분분수 항등식 $6a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}$을 이용하여 급수 $\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \dfrac{10}{31500}$의 값을 유도하시오.

[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[약술문항 3] 함수방정식과 도함수의 정의를 이용한 삼차다항함수 결정 및 접선 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-04]

<제시문 (가)> 미분가능한 함수의 도함수는 정의에 의하여 $f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}\;\left(f'(0) = 151\right)$로 정의된다.
<제시문 (나)> 모든 실수 $x, y$에 대하여 성립하는 항등식 $f(x+y) = f(x) + f(y) + 6xy(x+y) - 147$이 주어지면 원점 대입으로 $f(0) = 147$를 먼저 결정한다.

미분가능한 다항함수가 모든 실수에 대하여 등식 $f(x + y) = f(x) + f(y) + 6xy(x + y) - 147$을 만족시키고 $f'(0) = 151$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 원점 대입으로 $f(0) = 147$를 구하고, 도함수의 정의를 이용하여 $f'(x) = 6x^2 + 151$임을 유도하시오.

[문항 3-2] (7점) 부정적분으로 함수 $f(x) = 2x^3 + 151x + 147$를 결정하고, 곡선 위의 점 $(1, 300)$에서의 접선의 방정식을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 미분계수의 정의를 이용하여 극한값 $\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{x^2 - 4}\;\left(f'(2) = 175\right)$의 값을 구하시오.

[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[약술문항 4] 수직선 위를 움직이는 두 점의 위치 차 함수와 거리 최댓값 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]

<제시문 (가)> 수직선 위를 움직이는 두 점의 시각 $t\;(0 \le t \le 429)$에서의 위치 차 함수를 $h(t) = t(t - 429)^2$라 하면, 두 점의 속도 차는 도함수 $h'(t)$이다.
<제시문 (나)> 닫힌구간 $[0, 429]$에서 두 점 사이의 거리 $D(t) = |t(t - 429)^2|$는 두 점의 속도가 같아지는 시각 또는 구간의 양 끝점에서 최댓값을 갖는다.

수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 $t\;(t \ge 0)$에서의 위치 차 함수가 $h(t) = t^3 - 858t^2 + 184041t = t(t - 429)^2$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 출발 후 두 점 P, Q가 처음으로 만나는 시각 $t_1 = 429$를 구하고, 그 순간 두 점의 속도 차 $h'(429) = 0$의 값을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 닫힌구간 $[0, 429]$에서 도함수 $h'(t) = 3(t - 143)(t - 429)$의 부호를 조사하여 거리 최댓값 $D(143) = 11696828$를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 가속도의 차 $h''(t) = 6t - 1716 = 0$이 되는 시각 $t_2 = 286$와 그때 두 점 사이의 거리 $D(286) = 5848414$를 각각 구하시오.

[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[약술문항 5] 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 공식과 넓이 분할 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 이차함수 $y = -6x(x - 144)$의 그래프와 가로축이 두 점 $(0, 0),\; (144, 0)$에서 만날 때, 둘러싸인 도형의 넓이는 $S = \int_0^{144} (-6x^2 + 864x)\,dx = 2985984$이다.
<제시문 (나)> 이차함수 그래프는 대칭축 $x = \dfrac{144}{2}$에 대하여 좌우 대칭이므로 대칭축은 전체 넓이 $2985984$를 정확히 이등분한다.

포물선 $C : y = -6x^2 + 864x$와 가로축 및 원점을 지나는 직선 $L : y = 432x$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 정적분을 직접 계산하여 포물선 $y = -6x^2 + 864x$와 가로축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S = 2985984$를 유도하시오.

[문항 5-2] (7점) 직선 $x = k$가 넓이 $S = 2985984$를 이등분하는 상수 $k = \dfrac{144}{2}$를 구하고, $\int_0^{144/2} (-6x^2 + 864x)\,dx = \dfrac{2985984}{2}$임을 확인하시오.

[문항 5-3] (7점) 포물선 $y = -6x^2 + 864x$와 직선 $y = 432x$의 교점의 좌표를 구하고, 두 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 $S_1 = \dfrac{2985984}{8}$을 구하시오.

[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제6회 (해설집) 80분 / 100점 만점 · 수능최저 1개 4등급 · 수리 단독

[약술문항 1] 지수·로그함수의 역함수 대칭성과 수직 직선 위의 교점 좌표 추론 (20점)

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: (DB: CAL1_Ch02_미래엔) PDF p.61 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-02, 12미적Ⅰ-02-08]

[문항 1-3] (7점) 원점 O에서 직선 $x + y - 298 = 0$까지의 거리 $h = \dfrac{298}{\sqrt{2}}$를 구하고, 삼각형 OPQ의 넓이를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] $x_1 + x_2 = 298,\; \mathrm{M}(149, 149)$ | [1-2] $\mathrm{P}(148, 150),\; \mathrm{Q}(150, 148)$ | [1-3] 넓이 $S = 298$

[1줄: 공식선언 (30%)] 두 교점은 직선 $x + y = 298$ 위에 있고 역함수 대칭이므로 $x_1 + x_2 = y_1 + y_2 = 298$이며 중점은 $\mathrm{M}(149, 149)$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 기울기가 $-1$인 직선 위의 두 점 거리 공식에서 $\sqrt{2}(x_2 - x_1) = 2\sqrt{2} \implies x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 298)$이므로 연립하면 $\mathrm{P}(148, 150),\; \mathrm{Q}(150, 148)$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 원점에서 직선 $x + y - 298 = 0$까지의 거리는 $h = \dfrac{298}{\sqrt{2}}$이므로 삼각형 OPQ의 넓이는 $S = \dfrac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times \dfrac{298}{\sqrt{2}} = 298$이다.

평가 소문항	홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• 역함수 대칭 $x_1 + x_2 = 298$ 유도 +3점 / 중점 $\mathrm{M}(149, 149)$ 도출 +3점
소문항 [1-2]	• 거리 공식 $x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 298)$ 도출 +3점 / 좌표 $\mathrm{P}(148, 150),\; \mathrm{Q}(150, 148)$ 산출 +4점
소문항 [1-3]	• 원점과 직선 사이 거리 $h = \dfrac{298}{\sqrt{2}}$ 계산 +4점 / 삼각형 넓이 $S = 298$ 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 기울기가 $-1$인 직선 $x + y = 298$ 위에서 두 점의 좌표 차가 주어지면 대칭축 중점 $\mathrm{M}(149, 149)$을 기준으로 좌표를 즉시 결정할 수 있습니다.

[약술문항 2] 비선형 분수 점화식의 역수 등차수열 변환과 부분분수 급수의 합 (20점)

대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]

첫째항이 $a_1 = \dfrac{1}{150}$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{6a_n + 1}$을 만족시키는 수열에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 역수 변환 $b_n = \dfrac{1}{a_n}\;\left(b_1 = 150\right)$을 이용하여 $b_n = 6n + 144$와 $a_n$의 일반항을 각각 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 일반항 $a_n = \dfrac{1}{6n + 144}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 성립함을 제시문 (나)의 수학적 귀납법으로 증명하시오.

[문항 2-3] (7점) 부분분수 항등식 $6a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}$을 이용하여 급수 $\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \dfrac{10}{31500}$의 값을 유도하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] $b_n = 6n + 144,\; a_n = \dfrac{1}{6n + 144}$ | [2-2] 수학적 귀납법 증명 완료 | [2-3] $\dfrac{10}{150\times 210} = \dfrac{10}{31500}$

[1줄: 공식선언 (30%)] 역수 치환 $b_n = \dfrac{1}{a_n}\;\left(b_1 = 150\right)$에서 $b_{n+1} - b_n = 6$이므로 $b_n = 150 + 6(n - 1) = 6n + 144$이고 $a_n = \dfrac{1}{6n + 144}$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] (i) 초기항 $a_1 = \dfrac{1}{150}$ 성립. (ii) $a_k = \dfrac{1}{6k + 144}$이라 가정하면 $a_{k+1} = \dfrac{a_k}{6a_k + 1} = \dfrac{1}{6(k+1) + 144}$이므로 모든 자연수에서 성립한다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 부분분수 분해에 의해 $\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{150} - \dfrac{1}{210}\right) = \dfrac{10}{31500}$이다.

평가 소문항	홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 역수 등차수열 $b_n = 6n + 144$ 유도 +3점 / 일반항 $a_n = \dfrac{1}{6n + 144}$ 도출 +3점
소문항 [2-2]	• 초기 조건 $a_1 = \dfrac{1}{150}$ 확인 +2점 / 귀납 가정 후 $a_{k+1} = \dfrac{1}{6(k+1) + 144}$ 연역 +5점
소문항 [2-3]	• 망원급수 변형 $\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{150} - \dfrac{1}{210}\right)$ +4점 / 합 $\dfrac{10}{31500}$ 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 원래 점화식의 분모를 곱하면 $6a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}$이 바로 유도되어 망원급수 소거가 한 줄로 정리됩니다.

[약술문항 3] 함수방정식과 도함수의 정의를 이용한 삼차다항함수 결정 및 접선 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-04]

미분가능한 다항함수가 모든 실수에 대하여 등식 $f(x + y) = f(x) + f(y) + 6xy(x + y) - 147$을 만족시키고 $f'(0) = 151$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 원점 대입으로 $f(0) = 147$를 구하고, 도함수의 정의를 이용하여 $f'(x) = 6x^2 + 151$임을 유도하시오.

[문항 3-2] (7점) 부정적분으로 함수 $f(x) = 2x^3 + 151x + 147$를 결정하고, 곡선 위의 점 $(1, 300)$에서의 접선의 방정식을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 미분계수의 정의를 이용하여 극한값 $\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{x^2 - 4}\;\left(f'(2) = 175\right)$의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] $f(0) = 147,\; f'(x) = 6x^2 + 151$ | [3-2] $f(x) = 2x^3 + 151x + 147$, 접선 $y = 157x + 143$ | [3-3] $\dfrac{175}{4}$

[1줄: 공식선언 (30%)] 함수방정식에 원점을 대입하면 $f(0) = 2f(0) - 147 \implies f(0) = 147$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 도함수 정의에 대입하면 $f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(h) - 147 + 6xh(x+h)}{h} = 6x^2 + 151$이므로 적분하면 $f(x) = 2x^3 + 151x + 147$이고, 점 $(1, 300)$에서의 접선은 $y = 157x + 143$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 분모를 인수분해하면 $\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{(x-2)(x+2)} = \dfrac{f'(2)}{4} = \dfrac{175}{4}$이다.

평가 소문항	홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• $f(0) = 147$ 산출 +2점 / 도함수 정의로 $f'(x) = 6x^2 + 151$ 유도 +4점
소문항 [3-2]	• $f(x) = 2x^3 + 151x + 147$ 결정 +4점 / 접선 $y = 157x + 143$ 도출 +3점
소문항 [3-3]	• 미분계수 식 $\dfrac{f'(2)}{4} = \dfrac{175}{4}$ 변형 +4점 / 극한값 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 도함수 정의식을 전개할 때 상수항 $-147$를 $-f(0)$으로 바꾸어 $\dfrac{f(h)-f(0)}{h} \to f'(0) = 151$를 명시해야 감점이 없습니다.

[약술문항 4] 수직선 위를 움직이는 두 점의 위치 차 함수와 거리 최댓값 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]

수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 $t\;(t \ge 0)$에서의 위치 차 함수가 $h(t) = t^3 - 858t^2 + 184041t = t(t - 429)^2$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 출발 후 두 점 P, Q가 처음으로 만나는 시각 $t_1 = 429$를 구하고, 그 순간 두 점의 속도 차 $h'(429) = 0$의 값을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 닫힌구간 $[0, 429]$에서 도함수 $h'(t) = 3(t - 143)(t - 429)$의 부호를 조사하여 거리 최댓값 $D(143) = 11696828$를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 가속도의 차 $h''(t) = 6t - 1716 = 0$이 되는 시각 $t_2 = 286$와 그때 두 점 사이의 거리 $D(286) = 5848414$를 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] $t_1 = 429,\; h'(429) = 0$ | [4-2] $t = 143$에서 최댓값 $11696828$ | [4-3] $t_2 = 286,\; D(286) = 5848414$

[1줄: 공식선언 (30%)] 위치 차 $h(t) = t(t - 429)^2 = 0\;(t \gt 0)$에서 $t_1 = 429$이고, 도함수 $h'(t) = 3(t - 143)(t - 429)$에 대입하면 $h'(429) = 0$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 구간 $[0, 429]$에서 내부 극대점은 $t = 143$이므로 최댓값은 $D(143) = 143(-286)^2 = 11696828$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 이계도함수 $h''(t) = 6t - 1716 = 0$에서 $t_2 = 286$이고, 그때의 거리는 $D(286) = 286(-143)^2 = 5848414$이다.

평가 소문항	홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• $t_1 = 429$ 도출 +3점 / 속도 차 $h'(429) = 0$ 확인 +3점
소문항 [4-2]	• $h'(t) = 3(t - 143)(t - 429) = 0$ 극대 판정 +4점 / 최댓값 $11696828$ 산출 +3점
소문항 [4-3]	• $h''(t) = 6t - 1716 = 0 \implies t_2 = 286$ 도출 +3점 / 거리 $5848414$ 계산 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 삼차함수 비율 관계($1 : 2 : 3$)에 의해 원점 $t=0$, 극대 $t=143$, 변곡 $t=286$, 접점 $t=429$이 등간격 $143$로 배열됩니다.

[약술문항 5] 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 공식과 넓이 분할 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

포물선 $C : y = -6x^2 + 864x$와 가로축 및 원점을 지나는 직선 $L : y = 432x$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 정적분을 직접 계산하여 포물선 $y = -6x^2 + 864x$와 가로축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S = 2985984$를 유도하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] $S = 2985984$ | [5-2] $k = \dfrac{144}{2},\; \text{정적분 } \dfrac{2985984}{2}$ | [5-3] 교점 $x = 0, \dfrac{144}{2}$, 넓이 $S_1 = \dfrac{2985984}{8}$

[1줄: 공식선언 (30%)] 정적분을 계산하면 $S = \left[-2x^3 + 432x^2\right]_0^{144} = -2(144)^3 + 3(144)^3 = 2985984$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 포물선의 대칭축 $x = \dfrac{144}{2}$에 의해 $k = \dfrac{144}{2}$이고, 실제로 $\left[-2x^3 + 432x^2\right]_0^{144/2} = -\dfrac{2985984}{4} + \dfrac{3\times 2985984}{4} = \dfrac{2985984}{2}$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 연립방정식 $-6x^2 + 864x = 432x \implies 6x\left(x - \dfrac{144}{2}\right) = 0$이므로 교점은 $x = 0, \dfrac{144}{2}$이고 넓이는 $S_1 = \int_0^{144/2} (-6x^2 + 432x)\,dx = \dfrac{2985984}{8}$이다.

평가 소문항	홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• 원시함수 $-2x^3 + 432x^2$ 적분 +3점 / 넓이 $S = 2985984$ 도출 +3점
소문항 [5-2]	• 대칭축 $k = \dfrac{144}{2}$ 도출 +3점 / 구간 $[0, 144/2]$ 적분값 $\dfrac{2985984}{2}$ 확인 +4점
소문항 [5-3]	• 교점 $x = \dfrac{144}{2}$ 산출 +3점 / 넓이 $S_1 = \dfrac{2985984}{8}$ 도출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 이차항 계수가 $-6$이고 두 교점의 차가 $\beta - \alpha = \dfrac{144}{2}$일 때 둘러싸인 넓이는 항상 $(\beta - \alpha)^3 = \dfrac{2985984}{8}$이 됩니다.

2027학년도 대비 홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제7회 (문제집) 80분 / 100점 만점 · 수능최저 1개 4등급 · 수리 단독

[약술문항 1] 유리수 지수의 거듭제곱 대칭식과 인수분해 항등식 추론 (20점)

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: (DB: CAL1_Ch02_미래엔) PDF p.62 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-02, 12미적Ⅰ-02-08]

<제시문 (가)> 양수 $x$에 대하여 $u = x^{1/2}\;\left(u + u^{-1} = \sqrt{154}\right)$로 치환하면 지수법칙에 의하여 $x + x^{-1} = u^2 + u^{-2} = 152$이다.
<제시문 (나)> $u + u^{-1} = \sqrt{154}$일 때 세제곱 곱셈 공식 $u^3 + u^{-3} = (u + u^{-1})^3 - 3(u + u^{-1}) = 151\sqrt{154}$이 성립한다.

양수 $x$가 $x^{1/2} + x^{-1/2} = \sqrt{154}$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)의 제곱 공식을 이용하여 $x + x^{-1} = 152$임을 보이고 $x^2 + x^{-2} = 23102$의 값을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 세제곱 공식을 이용하여 $x^{3/2} + x^{-3/2} = 151\sqrt{154}$과 $x^3 + x^{-3} = 3511352$의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 완전제곱 항등식을 이용하여 분수식 $\dfrac{x^3 + x^{-3} + 2}{x^{3/2} + x^{-3/2}} = \dfrac{3511354}{151\sqrt{154}}$의 값을 구하시오.

[약술문항 2] 코사인법칙과 사인법칙을 이용한 외접원·내접원 반지름의 비 추론 (20점)

대수 Ⅱ. 삼각함수 (사인법칙과 코사인법칙) | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 대수 Ⅱ. 삼각함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수02-07, 12대수02-08]

<제시문 (가)> 삼각형 ABC에서 코사인법칙 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\;\left(b=429,\; c=715\right)$와 사인법칙 $\dfrac{a}{\sin A} = 2R\;\left(a=1001\right)$이 성립한다.
<제시문 (나)> 삼각형 ABC의 넓이 $S$와 둘레의 길이 $a + b + c = 2145$, 내접원의 반지름 $r$ 사이에는 $S = \dfrac{2145}{2}r$가 성립한다.

삼각형 ABC에서 두 변의 길이가 $b = 429,\; c = 715$이고 끼인각이 $A = \dfrac{2\pi}{3}\;\left(\cos A = -\dfrac{1}{2},\; b=429\right)$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 코사인법칙을 이용하여 대변 $a = 1001$의 길이를 유도하시오.

[문항 2-2] (7점) 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름 $R = \dfrac{1001\sqrt{3}}{3}$과 삼각형의 넓이 $S = \dfrac{306735\sqrt{3}}{4}$를 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 내접원의 반지름 $r = \dfrac{143\sqrt{3}}{2}$를 구하고 반지름의 곱 $R\cdot r$을 구하시오.

[약술문항 3] 무한대 극한과 영인자 약분 극한을 동시에 만족시키는 삼차함수의 유일성 (20점)

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> 다항함수가 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -587$을 만족시키면 최고차항 계수가 $2$인 삼차함수이다.
<제시문 (나)> $\lim_{x \to 146} \dfrac{f(x)}{(x - 146)^2} = 289$이 수렴하면 인수정리에 의해 $f(x) = (x - 146)^2(2x + r)$ 꼴로 인수분해된다.

삼차다항함수가 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -587$과 $\lim_{x \to 146} \dfrac{f(x)}{(x - 146)^2} = 289$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 $f(x) = (x - 146)^2(2x + r)$로 놓고 상수 $r = -3$을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 구한 함수 $f(x) = (x - 146)^2(2x + -3)$이 무한대 극한 조건 $-587$을 만족시킴을 전개하여 검증하시오.

[문항 3-3] (7점) 함숫값 $f(148) = 1172$의 값과 $x = 146$에서의 미분계수 $f'(146) = 0$의 값을 각각 구하시오.

[약술문항 4] 절댓값 인수를 포함한 다항 곱함수의 실수 전체 미분가능 조건 증명 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

<제시문 (가)> 이차함수 $P(x) = x^2 - 291x + 21168$에 대하여 함수 $h(x) = |x - 147|P(x)$가 $x = 147$에서 미분가능하기 위한 필요충분조건은 좌·우미분계수가 일치하여 $P(147) = 0$인 것이다.
<제시문 (나)> $P(x) = (x - 147)(x - 144)$일 때 구간 $x \lt 147$에서 $h(x) = -(x - 147)^2(x - 144)$로 표현된다.

이차함수 $P(x) = x^2 - 291x + 21168$에 대하여 함수 $h(x) = |x - 147|P(x)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) $x = 147$에서의 우미분계수 $P(147)$와 좌미분계수 $-P(147)$를 미분계수 정의로 구하고 $P(147) = 0$임을 확인하시오.

[문항 4-2] (7점) 구간 $x \lt 147$에서 도함수 $h'(x) = -3(x - 147)(x - 145)$을 유도하시오.

[문항 4-3] (7점) $x \ne 147$에서 도함수가 영이 되는 $x = 145$의 값과 그때의 함숫값 $h(145) = -4\;(\text{기준점 } 147)$를 구하시오.

[약술문항 5] 상수 구간 정적분을 포함한 프레드홀름 항등식의 치환 해법 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

<제시문 (가)> 상수 구간 정적분 $A = \int_0^1 f(t)\,dt\;\left(c = 446\right)$는 적분변수와 무관한 상수이므로, 등식 $f(x) = 3x^2 - 4Ax + 446$을 양변 $[0, 1]$에서 다시 적분하면 $A = 149$에 대한 일차방정식을 얻는다.
<제시문 (나)> 대칭 구간 $[-1, 1]$에서 기함수의 정적분은 소거되고 우함수의 정적분은 $2\int_0^1 (3x^2 + 446)\,dx = 894$이다.

연속함수가 모든 실수에 대하여 등식 $f(x) = 3x^2 - 4x\int_0^1 f(t)\,dt + 446$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 정적분을 상수 $A$로 치환하고 $A = \int_0^1 (3t^2 - 4At + 446)\,dt$를 풀어 상수 $A = 149$과 함수 $f(x)$를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 함수 $f(x) = 3x^2 - 596x + 446$이 극솟값을 갖는 좌표 $x = \dfrac{298}{3}$와 함숫값 $f(1) = -147$을 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 제시문 (나)의 우·기함수 대칭성을 이용하여 $\int_{-1}^{1} (3x^2 - 596x + 446)\,dx = 894$의 값을 구하시오.

2027학년도 대비 홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제7회 (해설집) 80분 / 100점 만점 · 수능최저 1개 4등급 · 수리 단독

[약술문항 1] 유리수 지수의 거듭제곱 대칭식과 인수분해 항등식 추론 (20점)

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: (DB: CAL1_Ch02_미래엔) PDF p.62 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-02, 12미적Ⅰ-02-08]

양수 $x$가 $x^{1/2} + x^{-1/2} = \sqrt{154}$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)의 제곱 공식을 이용하여 $x + x^{-1} = 152$임을 보이고 $x^2 + x^{-2} = 23102$의 값을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 세제곱 공식을 이용하여 $x^{3/2} + x^{-3/2} = 151\sqrt{154}$과 $x^3 + x^{-3} = 3511352$의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 완전제곱 항등식을 이용하여 분수식 $\dfrac{x^3 + x^{-3} + 2}{x^{3/2} + x^{-3/2}} = \dfrac{3511354}{151\sqrt{154}}$의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] $x + x^{-1} = 152,\; x^2 + x^{-2} = 23102$ | [1-2] $x^{3/2} + x^{-3/2} = 151\sqrt{154},\; x^3 + x^{-3} = 3511352$ | [1-3] $151\sqrt{154}$

[1줄: 공식선언 (30%)] 제곱 공식에서 $x + x^{-1} = (\sqrt{154})^2 - 2 = 152$이고, 다시 제곱하면 $x^2 + x^{-2} = 152^2 - 2 = 23102$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 세제곱 공식에서 $x^{3/2} + x^{-3/2} = (\sqrt{154})^3 - 3\sqrt{154} = 151\sqrt{154}$이고, $x^3 + x^{-3} = 152^3 - 3\times 152 = 3511352$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 분자 $x^3 + x^{-3} + 2 = 3511354 = (151\sqrt{154})^2$이므로 분모 $151\sqrt{154}$로 약분하면 $151\sqrt{154}$이다.

평가 소문항	홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• $x + x^{-1} = 152$ 유도 +3점 / $x^2 + x^{-2} = 23102$ 산출 +3점
소문항 [1-2]	• $x^{3/2} + x^{-3/2} = 151\sqrt{154}$ 도출 +3점 / $x^3 + x^{-3} = 3511352$ 계산 +4점
소문항 [1-3]	• 분자 $3511354$ 완전제곱 변형 +4점 / 약분 결과 $151\sqrt{154}$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 분자 $3511354 = (151\sqrt{154})^2$임을 활용하면 큰 수의 유리화 없이 한 번의 약분으로 정확한 값을 얻을 수 있습니다.

[약술문항 2] 코사인법칙과 사인법칙을 이용한 외접원·내접원 반지름의 비 추론 (20점)

대수 Ⅱ. 삼각함수 (사인법칙과 코사인법칙) | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 대수 Ⅱ. 삼각함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수02-07, 12대수02-08]

삼각형 ABC에서 두 변의 길이가 $b = 429,\; c = 715$이고 끼인각이 $A = \dfrac{2\pi}{3}\;\left(\cos A = -\dfrac{1}{2},\; b=429\right)$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 코사인법칙을 이용하여 대변 $a = 1001$의 길이를 유도하시오.

[문항 2-2] (7점) 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름 $R = \dfrac{1001\sqrt{3}}{3}$과 삼각형의 넓이 $S = \dfrac{306735\sqrt{3}}{4}$를 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 내접원의 반지름 $r = \dfrac{143\sqrt{3}}{2}$를 구하고 반지름의 곱 $R\cdot r$을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] $a = 1001$ | [2-2] $R = \dfrac{1001\sqrt{3}}{3},\; S = \dfrac{306735\sqrt{3}}{4}$ | [2-3] $r = \dfrac{143\sqrt{3}}{2},\; R\cdot r = \dfrac{143143}{2}$

[1줄: 공식선언 (30%)] 코사인법칙에서 $a^2 = 429^2 + 715^2 - 2(429)(715)(-1/2) = 49\times 143^2$이므로 $a = 1001$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 사인법칙에서 $2R = \dfrac{1001}{\sqrt{3}/2} \implies R = \dfrac{1001\sqrt{3}}{3}$이고, 넓이는 $S = \dfrac{1}{2}\times 429\times 715\times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{306735\sqrt{3}}{4}$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 둘레가 $a + b + c = 2145$이므로 $\dfrac{2145}{2}r = \dfrac{306735\sqrt{3}}{4} \implies r = \dfrac{143\sqrt{3}}{2}$이고 $R\cdot r = \dfrac{143143}{2}$이다.

평가 소문항	홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 코사인법칙 대입 $a^2 = 49\times 143^2$ +3점 / $a = 1001$ 도출 +3점
소문항 [2-2]	• 외접원 반지름 $R = \dfrac{1001\sqrt{3}}{3}$ 산출 +3점 / 넓이 $S = \dfrac{306735\sqrt{3}}{4}$ 계산 +4점
소문항 [2-3]	• 내접원 반지름 $r = \dfrac{143\sqrt{3}}{2}$ 유도 +4점 / 곱 $R\cdot r = \dfrac{143143}{2}$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 끼인각이 $120^\circ$이고 두 변의 비가 $3 : 5$인 둔각삼각형은 대변의 비가 항상 $7$이 되는 대표적인 정수비 삼각형($3\times 143 : 5\times 143 : 7\times 143$)입니다.

[약술문항 3] 무한대 극한과 영인자 약분 극한을 동시에 만족시키는 삼차함수의 유일성 (20점)

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

삼차다항함수가 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -587$과 $\lim_{x \to 146} \dfrac{f(x)}{(x - 146)^2} = 289$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 $f(x) = (x - 146)^2(2x + r)$로 놓고 상수 $r = -3$을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 구한 함수 $f(x) = (x - 146)^2(2x + -3)$이 무한대 극한 조건 $-587$을 만족시킴을 전개하여 검증하시오.

[문항 3-3] (7점) 함숫값 $f(148) = 1172$의 값과 $x = 146$에서의 미분계수 $f'(146) = 0$의 값을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] $r = -3$ | [3-2] 이차항 계수 $-587$ 일치 검증 완료 | [3-3] $f(148) = 1172,\; f'(146) = 0$

[1줄: 공식선언 (30%)] 제시문 (나)의 극한식에 대입하면 $\lim_{x \to 146} (2x + r) = 292 + r = 289$이므로 $r = -3$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 전개하면 $f(x) = (x^2 - 292x + 21316)(2x + -3) = 2x^3 + (-587)x^2 + \cdots$이므로 이차항 계수 $-587$이 정확히 성립한다.

[3줄: 최종결론 (30%)] $x = 148$를 대입하면 $f(148) = 4(296 + -3) = 1172$이고, $(x - 146)^2$을 인수로 가지므로 $f'(146) = 0$이다.

평가 소문항	홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• 인수분해 꼴 설정 +3점 / 극한 대입으로 $r = -3$ 도출 +3점
소문항 [3-2]	• 삼차식 전개 후 이차항 계수 $-587$ 확인 +7점
소문항 [3-3]	• $f(148) = 1172$ 산출 +4점 / 중근 성질로 $f'(146) = 0$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 분모에 $(x - 146)^2$이 있을 때 극한이 수렴하려면 분자는 $x = 146$을 반드시 중근 이상으로 가져야 합니다.

[약술문항 4] 절댓값 인수를 포함한 다항 곱함수의 실수 전체 미분가능 조건 증명 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

이차함수 $P(x) = x^2 - 291x + 21168$에 대하여 함수 $h(x) = |x - 147|P(x)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) $x = 147$에서의 우미분계수 $P(147)$와 좌미분계수 $-P(147)$를 미분계수 정의로 구하고 $P(147) = 0$임을 확인하시오.

[문항 4-2] (7점) 구간 $x \lt 147$에서 도함수 $h'(x) = -3(x - 147)(x - 145)$을 유도하시오.

[문항 4-3] (7점) $x \ne 147$에서 도함수가 영이 되는 $x = 145$의 값과 그때의 함숫값 $h(145) = -4\;(\text{기준점 } 147)$를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] $P(147) = -P(147) = 0$ 확인 | [4-2] $h'(x) = -3(x - 147)(x - 145)$ | [4-3] $x = 145,\; h(145) = -4$

[1줄: 공식선언 (30%)] 미분계수 정의에서 $\lim_{x \to 147\pm} \dfrac{|x - 147|P(x)}{x - 147} = \pm P(147)$이고 실제로 $P(147) = (147 - 147)(147 - 144) = 0$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 구간 $x \lt 147$에서 $h(x) = -(x - 147)^2(x - 144)$를 미분하면 $h'(x) = -(x - 147)(3x - 435) = -3(x - 147)(x - 145)$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 $x \ne 147$에서 극점은 $x = 145$이고, 대입하면 $h(145) = -(145 - 147)^2(145 - 144) = -4$이다.

평가 소문항	홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• 좌·우미분계수 $\pm P(147)$ 정의식 서술 +4점 / $P(147) = 0$ 확인 +2점
소문항 [4-2]	• $x \lt 147$ 부호 분리 및 곱의 미분법 적용 +4점 / $h'(x) = -3(x - 147)(x - 145)$ 유도 +3점
소문항 [4-3]	• 극점 $x = 145$ 도출 +3점 / 함숫값 $h(145) = -4\;(\text{극점 } 145)$ 산출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 첨점 후보 $x = 147$에서 절댓값 함수가 미분가능하려면 곱해진 다항식이 $x - 147$을 인수로 가져야 함을 먼저 서술하세요.

[약술문항 5] 상수 구간 정적분을 포함한 프레드홀름 항등식의 치환 해법 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

연속함수가 모든 실수에 대하여 등식 $f(x) = 3x^2 - 4x\int_0^1 f(t)\,dt + 446$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 정적분을 상수 $A$로 치환하고 $A = \int_0^1 (3t^2 - 4At + 446)\,dt$를 풀어 상수 $A = 149$과 함수 $f(x)$를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 함수 $f(x) = 3x^2 - 596x + 446$이 극솟값을 갖는 좌표 $x = \dfrac{298}{3}$와 함숫값 $f(1) = -147$을 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 제시문 (나)의 우·기함수 대칭성을 이용하여 $\int_{-1}^{1} (3x^2 - 596x + 446)\,dx = 894$의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] $A = 149,\; f(x) = 3x^2 - 596x + 446$ | [5-2] $x = \dfrac{298}{3},\; f(1) = -147$ | [5-3] $894$

[1줄: 공식선언 (30%)] 정적분 정의식에 대입하면 $A = \left[t^3 - 2At^2 + 446t\right]_0^1 = 447 - 2A \implies 3A = 447$이므로 $A = 149$이고 $f(x) = 3x^2 - 596x + 446$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 도함수 $f'(x) = 6x - 596 = 0$에서 극소점은 $x = \dfrac{298}{3}$이고, $f(1) = 3 - 596 + 446 = -147$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 기함수 항 $-596x$는 소거되므로 $\int_{-1}^{1} (3x^2 - 596x + 446)\,dx = 2(1 + 446) = 894$이다.

평가 소문항	홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• $A = 447 - 2A \implies A = 149$ 도출 +3점 / $f(x) = 3x^2 - 596x + 446$ 완성 +3점
소문항 [5-2]	• 대칭축 $x = \dfrac{298}{3}$ 산출 +4점 / $f(1) = -147$ 계산 +3점
소문항 [5-3]	• 기함수 소거 및 우함수 2배 공식 적용 +4점 / 정적분 값 $894$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 적분 구간이 상수인 정적분은 함수가 아니라 상수 $A = 149$이므로 미분하지 않고 상수로 치환해야 합니다.

2027학년도 대비 홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제8회 (문제집) 80분 / 100점 만점 · 수능최저 1개 4등급 · 수리 단독

[약술문항 1] 베이즈 정리 사후확률과 표본비율을 이용한 모비율 신뢰구간 추론 (20점)

확률과 통계 (조건부확률과 모비율의 추정) | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: (DB: CAL1_Ch03_미래엔) PDF p.1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03]

<제시문 (가)> 표본공간의 분할 $A_1, A_2$에서 $P(B|A_1) = \dfrac{1}{142},\; P(B|A_2) = \dfrac{3}{142}$일 때 베이즈 정리로 사후확률을 계산한다.
<제시문 (나)> 크기 $n = 322624$인 표본에서 표본비율이 $\hat{p} = \dfrac{9}{25} = 0.36$일 때, 모비율 $p$의 신뢰도 $95\%$ 신뢰구간의 길이는 $L = 2 \times 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{322624}}$이다.

두 검사 라인의 사전확률이 동일하고 조건부확률이 $P(B|A_1) = \dfrac{1}{142},\; P(B|A_2) = \dfrac{3}{142}$이며, 크기 $n = 322624$인 표본의 표본비율이 $\hat{p} = 0.36$일 때 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 전확률 $P(B) = \dfrac{2}{142}$과 조건부확률 $P(A_2 | B) = \dfrac{3}{4}\;(\text{모수 } 142)$를 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 표본의 크기 $n = 322624$을 대입하여 표본비율의 표준오차 $\dfrac{12/25}{568} = \dfrac{3}{3550}$를 유도하시오.

[문항 1-3] (7점) 모비율에 대한 신뢰도 $95\%$ 신뢰구간 $[a, b]$의 길이 $b - a = \dfrac{294}{88750}$를 기약분수로 구하시오.

[약술문항 2] 평균값 정리를 이용한 부등식의 증명과 역함수 접선의 방정식 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (평균값 정리와 역함수) | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

<제시문 (가)> 닫힌구간 $[x_1, x_2]$에서 미분가능한 함수 $f(x) = x^3 + 417x + 2$에 대하여 평균변화율과 일치하는 순간변화율 $f'(c) = 3c^2 + 417$인 $c$가 존재한다.
<제시문 (나)> 도함수가 항상 양수인 $f'(x) = 3x^2 + 417 \gt 0$이므로 역함수 $g(x)$가 존재하며 $g'(f(a)) = \dfrac{1}{3a^2 + 417}$이다.

실수 전체의 집합에서 정의된 증가함수 $f(x) = x^3 + 417x + 2$와 그 역함수 $g(x)$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 평균값 정리를 이용하여 임의의 두 실수 $x_1 \lt x_2$에 대하여 부등식 $f(x_2) - f(x_1) \ge 417(x_2 - x_1)$이 성립함을 증명하시오.

[문항 2-2] (7점) $f(0) = 2,\; f(1) = 420$임을 이용하여 역함수의 미분계수 $g'(2) = \dfrac{1}{417}$와 $g'(420) = \dfrac{1}{420}$의 값을 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 역함수 곡선 위의 점 $(420, 1)$에서의 접선의 방정식 $y = \dfrac{1}{420}x$를 구하고, $\dfrac{1}{g'(2)} + \dfrac{1}{g'(420)} = 837$의 값을 구하시오.

[약술문항 3] 정적분으로 정의된 함수의 도함수 유도와 극대·극소 차 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

<제시문 (가)> 일차함수 $f(t) = 6t - 858$에 대하여 $F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 858)\,dt$는 적분변수 분리를 통해 미분할 수 있다.
<제시문 (나)> 곱의 미분법과 정적분 기본 정리에 의하여 $F'(x) = \int_0^x (6t - 858)\,dt = 3x^2 - 858x$이고 $F''(x) = 6x - 858$이다.

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 858)\,dt$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 도함수 $F'(x) = 3x^2 - 858x$와 이계도함수 $F''(x) = 6x - 858$를 유도하시오.

[문항 3-2] (7점) 함수가 극값을 갖는 좌표를 구하고, 극댓값과 극솟값의 차 $F(0) - F(286) = 11696828$를 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 이계도함수가 영이 되는 $x = 143$에서의 함숫값 $F(143) = -5848414$과 접선의 기울기 $F'(143) = -61347$을 각각 구하시오.

[약술문항 4] 포물선의 초점·준선 정의와 접선이 이루는 이등변삼각형의 넓이 (20점)

기하 Ⅰ-1. 이차곡선 (포물선의 정의와 접선) | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 기하 Ⅰ-1. 이차곡선 · 기출 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

<제시문 (가)> 포물선 $y^2 = 564x$ 위의 임의의 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$에서 초점 $\mathrm{F}(141, 0)$까지의 거리는 준선 $x = -141$까지의 거리 $x_1 + 141$와 같다.
<제시문 (나)> 포물선 $y^2 = 564x$ 위의 점 $\mathrm{P}(564, 564)$에서의 접선의 방정식은 $y = \dfrac{1}{2}x + 282$이다.

초점이 $\mathrm{F}(141, 0)$인 포물선 $y^2 = 564x$ 위의 제1사분면의 점 $\mathrm{P}(564, 564)$에서의 접선이 가로축과 만나는 점을 Q라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)의 포물선 정의를 이용하여 준선의 방정식 $x = -141$와 선분 $\overline{\mathrm{PF}} = 705$의 길이를 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 점 $\mathrm{P}(564, 564)$에서의 접선의 방정식과 가로축 절편 $\mathrm{Q}(-564, 0)$을 구하여 $\overline{\mathrm{FQ}} = \overline{\mathrm{FP}} = 705$임을 증명하시오.

[문항 4-3] (7점) 이등변삼각형 FPQ의 밑변 $705$와 높이 $564$로부터 삼각형의 넓이 $S = 198810$를 구하시오.

[약술문항 5] 벡터를 이용한 공간 평면의 방정식과 정사영 넓이 및 사면체 부피 (20점)

기하 Ⅲ-3. 공간벡터와 평면의 방정식 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 기하 Ⅲ-3. 공간벡터 · 기출 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

<제시문 (가)> 좌표공간의 세 축 위의 점 $\mathrm{A}(423, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 423, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 423)$을 지나는 평면의 방정식은 $x + y + z = 423$이고 법선벡터는 $\vec{n} = (1, 1, 1)\;(\text{절편 } 423)$이다.
<제시문 (나)> 평면 $x + y + z = 423$와 바닥평면이 이루는 예각에 대하여 정사영 넓이 공식 $S' = S\cos\theta = \dfrac{178929}{2}$가 성립한다.

좌표공간에서 세 점 $\mathrm{A}(423, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 423, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 423)$을 지나는 평면 $x + y + z = 423$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 원점 O에서 평면 $x + y + z - 423 = 0$까지의 수선의 길이 $d = 141\sqrt{3}$를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 직각삼각형 OAB의 넓이 $S' = \dfrac{178929}{2}$와 방향코사인을 이용하여 정삼각형 ABC의 넓이 $S = \dfrac{178929\sqrt{3}}{2}$를 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 사면체 OABC의 부피 $V = \dfrac{1}{3} S \cdot d = 12614494$를 계산하여 직각사면체 부피 공식과 일치함을 확인하시오.

2027학년도 대비 홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제8회 (해설집) 80분 / 100점 만점 · 수능최저 1개 4등급 · 수리 단독

[약술문항 1] 베이즈 정리 사후확률과 표본비율을 이용한 모비율 신뢰구간 추론 (20점)

확률과 통계 (조건부확률과 모비율의 추정) | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: (DB: CAL1_Ch03_미래엔) PDF p.1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03]

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 전확률 $P(B) = \dfrac{2}{142}$과 조건부확률 $P(A_2 | B) = \dfrac{3}{4}\;(\text{모수 } 142)$를 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 표본의 크기 $n = 322624$을 대입하여 표본비율의 표준오차 $\dfrac{12/25}{568} = \dfrac{3}{3550}$를 유도하시오.

[문항 1-3] (7점) 모비율에 대한 신뢰도 $95\%$ 신뢰구간 $[a, b]$의 길이 $b - a = \dfrac{294}{88750}$를 기약분수로 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] $P(B) = \dfrac{2}{142},\; P(A_2 | B) = \dfrac{3}{4}$ | [1-2] 표준오차 $\dfrac{3}{3550}$ | [1-3] $L = \dfrac{294}{88750}$

[1줄: 공식선언 (30%)] 전확률 공식에서 $P(B) = \dfrac{1}{284} + \dfrac{3}{284} = \dfrac{2}{142}$이고, 베이즈 정리에 의해 $P(A_2 | B) = \dfrac{3/(2\times 142)}{2/142} = \dfrac{3}{4}$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 표준오차는 $\sqrt{\dfrac{9\times 16}{25^2 \times 322624}} = \dfrac{12}{25 \times 568} = \dfrac{3}{3550}$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 신뢰구간의 길이는 $L = 2 \times \dfrac{49}{25} \times \dfrac{3}{3550} = \dfrac{294}{88750}$이다.

평가 소문항	홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• 전확률 $P(B) = \dfrac{2}{142}$ 계산 +3점 / 사후확률 $P(A_2\|B) = \dfrac{3}{4}\;(\text{분모 } 142)$ 도출 +3점
소문항 [1-2]	• $\sqrt{n} = 568$ 계산 +4점 / 표준오차 $\dfrac{3}{3550}$ 유도 +3점
소문항 [1-3]	• 신뢰구간 길이 공식 적용 +4점 / $\dfrac{294}{88750}$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 2022 개정 교육과정 확률과 통계(`12확통03-06`)에서 재도입된 모비율 신뢰구간 공식과 표준오차 $\dfrac{3}{3550}$ 계산 과정을 명확히 서술해야 합니다.

[약술문항 2] 평균값 정리를 이용한 부등식의 증명과 역함수 접선의 방정식 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (평균값 정리와 역함수) | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

실수 전체의 집합에서 정의된 증가함수 $f(x) = x^3 + 417x + 2$와 그 역함수 $g(x)$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-2] (7점) $f(0) = 2,\; f(1) = 420$임을 이용하여 역함수의 미분계수 $g'(2) = \dfrac{1}{417}$와 $g'(420) = \dfrac{1}{420}$의 값을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] $f'(c) = 3c^2 + 417 \ge 417$ 증명 완료 | [2-2] $g'(2) = \dfrac{1}{417},\; g'(420) = \dfrac{1}{420}$ | [2-3] 접선 $y = \dfrac{1}{420}x,\; \text{합 } 837$

[1줄: 공식선언 (30%)] 평균값 정리에 의해 $\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} = 3c^2 + 417 \ge 417$이고 $x_2 - x_1 \gt 0$이므로 $f(x_2) - f(x_1) \ge 417(x_2 - x_1)$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 역함수 미분법에 의해 $g'(2) = \dfrac{1}{f'(0)} = \dfrac{1}{417}$이고 $g'(420) = \dfrac{1}{f'(1)} = \dfrac{1}{420}$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 점 $(420, 1)$에서의 접선은 $y - 1 = \dfrac{1}{420}(x - 420) \implies y = \dfrac{1}{420}x$이고, 역수의 합은 $417 + 420 = 837$이다.

평가 소문항	홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 평균값 정리 선언 및 $f'(c) = 3c^2 + 417 \ge 417$ 서술 +6점
소문항 [2-2]	• $g'(2) = \dfrac{1}{417}$ 산출 +3점 / $g'(420) = \dfrac{1}{420}$ 산출 +4점
소문항 [2-3]	• 접선 $y = \dfrac{1}{420}x$ 유도 +4점 / 역수 합 $837$ 계산 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 역함수의 미분계수 $g'(420)$를 구할 때는 $f(a) = 420$를 만족시키는 원함수 위의 점 $a = 1$을 먼저 찾아야 합니다.

[약술문항 3] 정적분으로 정의된 함수의 도함수 유도와 극대·극소 차 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 858)\,dt$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 도함수 $F'(x) = 3x^2 - 858x$와 이계도함수 $F''(x) = 6x - 858$를 유도하시오.

[문항 3-2] (7점) 함수가 극값을 갖는 좌표를 구하고, 극댓값과 극솟값의 차 $F(0) - F(286) = 11696828$를 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 이계도함수가 영이 되는 $x = 143$에서의 함숫값 $F(143) = -5848414$과 접선의 기울기 $F'(143) = -61347$을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] $F'(x) = 3x(x - 286),\; F''(x) = 6x - 858$ | [3-2] 극대 $x=0$, 극소 $x=286$, 차 $11696828$ | [3-3] $F(143) = -5848414,\; F'(143) = -61347$

[1줄: 공식선언 (30%)] 적분변수를 분리하여 미분하면 $F'(x) = \int_0^x (6t - 858)\,dt = 3x^2 - 858x$이고 $F''(x) = 6x - 858$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] $F'(x) = 3x(x - 286) = 0$에서 극댓값 $F(0) = 0$, 극솟값 $F(286) = -11696828$이므로 극값의 차는 $11696828$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 원시함수 $F(x) = x^3 - 429x^2$에 $x = 143$을 대입하면 $F(143) = -5848414$이고 $F'(143) = -61347$이다.

평가 소문항	홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• 변수 분리 후 곱의 미분법 적용 +3점 / $F'(x) = 3x^2 - 858x$ 도출 +3점
소문항 [3-2]	• 극점 $x = 0, 286$ 판정 +3점 / 극값의 차 $11696828$ 산출 +4점
소문항 [3-3]	• $F(143) = -5848414$ 계산 +4점 / $F'(143) = -61347$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 피적분함수 $(x - t)(6t - 858)$ 안에 적분변수가 아닌 $x$가 들어 있으므로 미분하기 전에 반드시 $x$를 적분 기호 밖으로 묶어내야 합니다.

[약술문항 4] 포물선의 초점·준선 정의와 접선이 이루는 이등변삼각형의 넓이 (20점)

기하 Ⅰ-1. 이차곡선 (포물선의 정의와 접선) | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 기하 Ⅰ-1. 이차곡선 · 기출 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)의 포물선 정의를 이용하여 준선의 방정식 $x = -141$와 선분 $\overline{\mathrm{PF}} = 705$의 길이를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 이등변삼각형 FPQ의 밑변 $705$와 높이 $564$로부터 삼각형의 넓이 $S = 198810$를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] 준선 $x = -141,\; \overline{\mathrm{PF}} = 705$ | [4-2] 접선 $y = \dfrac{1}{2}x + 282,\; \mathrm{Q}(-564, 0),\; \overline{\mathrm{FQ}} = 705$ | [4-3] 넓이 $S = 198810$

[1줄: 공식선언 (30%)] 포물선 $y^2 = 564x$의 준선은 $x = -141$이므로 정의에 의해 $\overline{\mathrm{PF}} = 564 + 141 = 705$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 접선의 방정식 $y = \dfrac{1}{2}x + 282$의 가로축 절편은 $\mathrm{Q}(-564, 0)$이므로 $\overline{\mathrm{FQ}} = 141 - (-564) = 705$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 삼각형 FPQ의 밑변은 $705$, 높이는 $564$이므로 넓이는 $S = \dfrac{1}{2}\times 705\times 564 = 198810$이다.

평가 소문항	홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• 준선 $x = -141$ 명시 +2점 / 포물선 정의로 $\overline{\mathrm{PF}} = 705$ 도출 +4점
소문항 [4-2]	• 접선 $y = \dfrac{1}{2}x + 282$ 유도 +4점 / $\mathrm{Q}(-564, 0)$ 및 $\overline{\mathrm{FQ}} = 705$ 증명 +3점
소문항 [4-3]	• 밑변 $705$ 및 높이 $564$ 설정 +3점 / 넓이 $S = 198810$ 산출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 포물선 위의 점 $(564, 564)$에서의 접선의 가로축 절편은 항상 $-564$가 되어 초점 F를 중심으로 이등변삼각형이 형성됩니다.

[약술문항 5] 벡터를 이용한 공간 평면의 방정식과 정사영 넓이 및 사면체 부피 (20점)

기하 Ⅲ-3. 공간벡터와 평면의 방정식 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 기하 Ⅲ-3. 공간벡터 · 기출 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

좌표공간에서 세 점 $\mathrm{A}(423, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 423, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 423)$을 지나는 평면 $x + y + z = 423$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 원점 O에서 평면 $x + y + z - 423 = 0$까지의 수선의 길이 $d = 141\sqrt{3}$를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 직각삼각형 OAB의 넓이 $S' = \dfrac{178929}{2}$와 방향코사인을 이용하여 정삼각형 ABC의 넓이 $S = \dfrac{178929\sqrt{3}}{2}$를 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 사면체 OABC의 부피 $V = \dfrac{1}{3} S \cdot d = 12614494$를 계산하여 직각사면체 부피 공식과 일치함을 확인하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] $d = \dfrac{423}{\sqrt{3}} = 141\sqrt{3}$ | [5-2] $S' = \dfrac{178929}{2},\; S = \dfrac{178929\sqrt{3}}{2}$ | [5-3] $V = 12614494$

[1줄: 공식선언 (30%)] 점과 평면 사이의 거리 공식에서 $d = \dfrac{423}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = 141\sqrt{3}$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 정사영 넓이는 $S' = \dfrac{178929}{2}$이므로 $S = \sqrt{3}S' = \dfrac{178929\sqrt{3}}{2}$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 사면체 부피는 $V = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{178929\sqrt{3}}{2} \times 141\sqrt{3} = 12614494$로 정확히 일치한다.

평가 소문항	홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• 평면 $x+y+z=423$ 및 법선벡터 확인 +3점 / 원점 거리 $d = 141\sqrt{3}$ 산출 +3점
소문항 [5-2]	• 정사영 넓이 $S' = \dfrac{178929}{2}$ 계산 +3점 / $S = \dfrac{178929\sqrt{3}}{2}$ 유도 +4점
소문항 [5-3]	• 사면체 부피 대입 검증 +4점 / 부피 $V = 12614494$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 2022 개정 교육과정 기하(`12기하03-05`)에서 강화된 벡터를 이용한 평면의 방정식 $x + y + z = 423$과 정사영 넓이 공식을 결합한 핵심 문항입니다.

2027학년도 대비 홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제9회 (문제집) 80분 / 100점 만점 · 수능최저 1개 4등급 · 수리 단독

[약술문항 1] 지수·로그함수의 역함수 대칭성과 수직 직선 위의 교점 좌표 추론 (20점)

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: (DB: CAL1_Ch03_미래엔) PDF p.2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03]

<제시문 (가)> 지수함수 $y = 2^{x - 150} + 150$와 그 역함수인 로그함수의 그래프는 항등직선 $y - x = 0\cdot 304$에 대하여 서로 대칭이다.
<제시문 (나)> 기울기가 $-1$인 직선 $x + y = 304$은 대칭축과 수직으로 만나므로, 서로 역함수 관계인 두 곡선과 만나는 두 교점 $\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 + x_2 = 304)$도 대칭축에 대하여 서로 대칭이다.

직선 $y = -x + 304$이 서로 역함수 관계인 지수곡선과 로그곡선과 만나는 두 점을 각각 $\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 \lt x_2,\; x_1 + y_1 = 304)$라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (나)의 역함수 대칭성을 이용하여 $x_1 + x_2 = y_1 + y_2 = 304$임을 설명하고, 선분 PQ의 중점 $\mathrm{M}(152, 152)$의 좌표를 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 선분 PQ의 길이가 $\overline{\mathrm{PQ}} = 2\sqrt{2}\;(\text{중점 } 152)$일 때, $x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 304)$를 이용하여 두 교점 P, Q의 좌표를 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 원점 O에서 직선 $x + y - 304 = 0$까지의 거리 $h = \dfrac{304}{\sqrt{2}}$를 구하고, 삼각형 OPQ의 넓이를 구하시오.

[약술문항 2] 코사인법칙과 사인법칙을 이용한 외접원·내접원 반지름의 비 추론 (20점)

대수 Ⅱ. 삼각함수 (사인법칙과 코사인법칙) | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 대수 Ⅱ. 삼각함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수02-07, 12대수02-08]

<제시문 (가)> 삼각형 ABC에서 코사인법칙 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\;\left(b=435,\; c=725\right)$와 사인법칙 $\dfrac{a}{\sin A} = 2R\;\left(a=1015\right)$이 성립한다.
<제시문 (나)> 삼각형 ABC의 넓이 $S$와 둘레의 길이 $a + b + c = 2175$, 내접원의 반지름 $r$ 사이에는 $S = \dfrac{2175}{2}r$가 성립한다.

삼각형 ABC에서 두 변의 길이가 $b = 435,\; c = 725$이고 끼인각이 $A = \dfrac{2\pi}{3}\;\left(\cos A = -\dfrac{1}{2},\; b=435\right)$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 코사인법칙을 이용하여 대변 $a = 1015$의 길이를 유도하시오.

[문항 2-2] (7점) 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름 $R = \dfrac{1015\sqrt{3}}{3}$과 삼각형의 넓이 $S = \dfrac{315375\sqrt{3}}{4}$를 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 내접원의 반지름 $r = \dfrac{145\sqrt{3}}{2}$를 구하고 반지름의 곱 $R\cdot r$을 구하시오.

[약술문항 3] 정적분으로 정의된 함수의 도함수 유도와 극대·극소 차 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

<제시문 (가)> 일차함수 $f(t) = 6t - 864$에 대하여 $F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 864)\,dt$는 적분변수 분리를 통해 미분할 수 있다.
<제시문 (나)> 곱의 미분법과 정적분 기본 정리에 의하여 $F'(x) = \int_0^x (6t - 864)\,dt = 3x^2 - 864x$이고 $F''(x) = 6x - 864$이다.

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 864)\,dt$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 도함수 $F'(x) = 3x^2 - 864x$와 이계도함수 $F''(x) = 6x - 864$를 유도하시오.

[문항 3-2] (7점) 함수가 극값을 갖는 좌표를 구하고, 극댓값과 극솟값의 차 $F(0) - F(288) = 11943936$를 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 이계도함수가 영이 되는 $x = 144$에서의 함숫값 $F(144) = -5971968$과 접선의 기울기 $F'(144) = -62208$을 각각 구하시오.

[약술문항 4] 수직선 위를 움직이는 두 점의 위치 차 함수와 거리 최댓값 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]

<제시문 (가)> 수직선 위를 움직이는 두 점의 시각 $t\;(0 \le t \le 438)$에서의 위치 차 함수를 $h(t) = t(t - 438)^2$라 하면, 두 점의 속도 차는 도함수 $h'(t)$이다.
<제시문 (나)> 닫힌구간 $[0, 438]$에서 두 점 사이의 거리 $D(t) = |t(t - 438)^2|$는 두 점의 속도가 같아지는 시각 또는 구간의 양 끝점에서 최댓값을 갖는다.

수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 $t\;(t \ge 0)$에서의 위치 차 함수가 $h(t) = t^3 - 876t^2 + 191844t = t(t - 438)^2$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 출발 후 두 점 P, Q가 처음으로 만나는 시각 $t_1 = 438$를 구하고, 그 순간 두 점의 속도 차 $h'(438) = 0$의 값을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 닫힌구간 $[0, 438]$에서 도함수 $h'(t) = 3(t - 146)(t - 438)$의 부호를 조사하여 거리 최댓값 $D(146) = 12448544$를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 가속도의 차 $h''(t) = 6t - 1752 = 0$이 되는 시각 $t_2 = 292$와 그때 두 점 사이의 거리 $D(292) = 6224272$를 각각 구하시오.

[약술문항 5] 베이즈 정리 사후확률과 표본비율을 이용한 모비율 신뢰구간 추론 (20점)

확률과 통계 (조건부확률과 모비율의 추정) | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 확률과 통계 · 기출 변형 | 성취기준: 12확통02-04, 12확통03-06]

<제시문 (가)> 표본공간의 분할 $A_1, A_2$에서 $P(B|A_1) = \dfrac{1}{143},\; P(B|A_2) = \dfrac{3}{143}$일 때 베이즈 정리로 사후확률을 계산한다.
<제시문 (나)> 크기 $n = 327184$인 표본에서 표본비율이 $\hat{p} = \dfrac{9}{25} = 0.36$일 때, 모비율 $p$의 신뢰도 $95\%$ 신뢰구간의 길이는 $L = 2 \times 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{327184}}$이다.

두 검사 라인의 사전확률이 동일하고 조건부확률이 $P(B|A_1) = \dfrac{1}{143},\; P(B|A_2) = \dfrac{3}{143}$이며, 크기 $n = 327184$인 표본의 표본비율이 $\hat{p} = 0.36$일 때 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 전확률 $P(B) = \dfrac{2}{143}$과 조건부확률 $P(A_2 | B) = \dfrac{3}{4}\;(\text{모수 } 143)$를 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 표본의 크기 $n = 327184$을 대입하여 표본비율의 표준오차 $\dfrac{12/25}{572} = \dfrac{3}{3575}$를 유도하시오.

[문항 5-3] (7점) 모비율에 대한 신뢰도 $95\%$ 신뢰구간 $[a, b]$의 길이 $b - a = \dfrac{294}{89375}$를 기약분수로 구하시오.

2027학년도 대비 홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제9회 (해설집) 80분 / 100점 만점 · 수능최저 1개 4등급 · 수리 단독

[약술문항 1] 지수·로그함수의 역함수 대칭성과 수직 직선 위의 교점 좌표 추론 (20점)

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: (DB: CAL1_Ch03_미래엔) PDF p.2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03]

[문항 1-3] (7점) 원점 O에서 직선 $x + y - 304 = 0$까지의 거리 $h = \dfrac{304}{\sqrt{2}}$를 구하고, 삼각형 OPQ의 넓이를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] $x_1 + x_2 = 304,\; \mathrm{M}(152, 152)$ | [1-2] $\mathrm{P}(151, 153),\; \mathrm{Q}(153, 151)$ | [1-3] 넓이 $S = 304$

[1줄: 공식선언 (30%)] 두 교점은 직선 $x + y = 304$ 위에 있고 역함수 대칭이므로 $x_1 + x_2 = y_1 + y_2 = 304$이며 중점은 $\mathrm{M}(152, 152)$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 기울기가 $-1$인 직선 위의 두 점 거리 공식에서 $\sqrt{2}(x_2 - x_1) = 2\sqrt{2} \implies x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 304)$이므로 연립하면 $\mathrm{P}(151, 153),\; \mathrm{Q}(153, 151)$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 원점에서 직선 $x + y - 304 = 0$까지의 거리는 $h = \dfrac{304}{\sqrt{2}}$이므로 삼각형 OPQ의 넓이는 $S = \dfrac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times \dfrac{304}{\sqrt{2}} = 304$이다.

평가 소문항	홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• 역함수 대칭 $x_1 + x_2 = 304$ 유도 +3점 / 중점 $\mathrm{M}(152, 152)$ 도출 +3점
소문항 [1-2]	• 거리 공식 $x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 304)$ 도출 +3점 / 좌표 $\mathrm{P}(151, 153),\; \mathrm{Q}(153, 151)$ 산출 +4점
소문항 [1-3]	• 원점과 직선 사이 거리 $h = \dfrac{304}{\sqrt{2}}$ 계산 +4점 / 삼각형 넓이 $S = 304$ 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 기울기가 $-1$인 직선 $x + y = 304$ 위에서 두 점의 좌표 차가 주어지면 대칭축 중점 $\mathrm{M}(152, 152)$을 기준으로 좌표를 즉시 결정할 수 있습니다.

[약술문항 2] 코사인법칙과 사인법칙을 이용한 외접원·내접원 반지름의 비 추론 (20점)

대수 Ⅱ. 삼각함수 (사인법칙과 코사인법칙) | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 대수 Ⅱ. 삼각함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수02-07, 12대수02-08]

삼각형 ABC에서 두 변의 길이가 $b = 435,\; c = 725$이고 끼인각이 $A = \dfrac{2\pi}{3}\;\left(\cos A = -\dfrac{1}{2},\; b=435\right)$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 코사인법칙을 이용하여 대변 $a = 1015$의 길이를 유도하시오.

[문항 2-2] (7점) 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름 $R = \dfrac{1015\sqrt{3}}{3}$과 삼각형의 넓이 $S = \dfrac{315375\sqrt{3}}{4}$를 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 내접원의 반지름 $r = \dfrac{145\sqrt{3}}{2}$를 구하고 반지름의 곱 $R\cdot r$을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] $a = 1015$ | [2-2] $R = \dfrac{1015\sqrt{3}}{3},\; S = \dfrac{315375\sqrt{3}}{4}$ | [2-3] $r = \dfrac{145\sqrt{3}}{2},\; R\cdot r = \dfrac{147175}{2}$

[1줄: 공식선언 (30%)] 코사인법칙에서 $a^2 = 435^2 + 725^2 - 2(435)(725)(-1/2) = 49\times 145^2$이므로 $a = 1015$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 사인법칙에서 $2R = \dfrac{1015}{\sqrt{3}/2} \implies R = \dfrac{1015\sqrt{3}}{3}$이고, 넓이는 $S = \dfrac{1}{2}\times 435\times 725\times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{315375\sqrt{3}}{4}$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 둘레가 $a + b + c = 2175$이므로 $\dfrac{2175}{2}r = \dfrac{315375\sqrt{3}}{4} \implies r = \dfrac{145\sqrt{3}}{2}$이고 $R\cdot r = \dfrac{147175}{2}$이다.

평가 소문항	홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 코사인법칙 대입 $a^2 = 49\times 145^2$ +3점 / $a = 1015$ 도출 +3점
소문항 [2-2]	• 외접원 반지름 $R = \dfrac{1015\sqrt{3}}{3}$ 산출 +3점 / 넓이 $S = \dfrac{315375\sqrt{3}}{4}$ 계산 +4점
소문항 [2-3]	• 내접원 반지름 $r = \dfrac{145\sqrt{3}}{2}$ 유도 +4점 / 곱 $R\cdot r = \dfrac{147175}{2}$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 끼인각이 $120^\circ$이고 두 변의 비가 $3 : 5$인 둔각삼각형은 대변의 비가 항상 $7$이 되는 대표적인 정수비 삼각형($3\times 145 : 5\times 145 : 7\times 145$)입니다.

[약술문항 3] 정적분으로 정의된 함수의 도함수 유도와 극대·극소 차 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 864)\,dt$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 도함수 $F'(x) = 3x^2 - 864x$와 이계도함수 $F''(x) = 6x - 864$를 유도하시오.

[문항 3-2] (7점) 함수가 극값을 갖는 좌표를 구하고, 극댓값과 극솟값의 차 $F(0) - F(288) = 11943936$를 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 이계도함수가 영이 되는 $x = 144$에서의 함숫값 $F(144) = -5971968$과 접선의 기울기 $F'(144) = -62208$을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] $F'(x) = 3x(x - 288),\; F''(x) = 6x - 864$ | [3-2] 극대 $x=0$, 극소 $x=288$, 차 $11943936$ | [3-3] $F(144) = -5971968,\; F'(144) = -62208$

[1줄: 공식선언 (30%)] 적분변수를 분리하여 미분하면 $F'(x) = \int_0^x (6t - 864)\,dt = 3x^2 - 864x$이고 $F''(x) = 6x - 864$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] $F'(x) = 3x(x - 288) = 0$에서 극댓값 $F(0) = 0$, 극솟값 $F(288) = -11943936$이므로 극값의 차는 $11943936$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 원시함수 $F(x) = x^3 - 432x^2$에 $x = 144$을 대입하면 $F(144) = -5971968$이고 $F'(144) = -62208$이다.

평가 소문항	홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• 변수 분리 후 곱의 미분법 적용 +3점 / $F'(x) = 3x^2 - 864x$ 도출 +3점
소문항 [3-2]	• 극점 $x = 0, 288$ 판정 +3점 / 극값의 차 $11943936$ 산출 +4점
소문항 [3-3]	• $F(144) = -5971968$ 계산 +4점 / $F'(144) = -62208$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 피적분함수 $(x - t)(6t - 864)$ 안에 적분변수가 아닌 $x$가 들어 있으므로 미분하기 전에 반드시 $x$를 적분 기호 밖으로 묶어내야 합니다.

[약술문항 4] 수직선 위를 움직이는 두 점의 위치 차 함수와 거리 최댓값 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]

수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 $t\;(t \ge 0)$에서의 위치 차 함수가 $h(t) = t^3 - 876t^2 + 191844t = t(t - 438)^2$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 출발 후 두 점 P, Q가 처음으로 만나는 시각 $t_1 = 438$를 구하고, 그 순간 두 점의 속도 차 $h'(438) = 0$의 값을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 닫힌구간 $[0, 438]$에서 도함수 $h'(t) = 3(t - 146)(t - 438)$의 부호를 조사하여 거리 최댓값 $D(146) = 12448544$를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 가속도의 차 $h''(t) = 6t - 1752 = 0$이 되는 시각 $t_2 = 292$와 그때 두 점 사이의 거리 $D(292) = 6224272$를 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] $t_1 = 438,\; h'(438) = 0$ | [4-2] $t = 146$에서 최댓값 $12448544$ | [4-3] $t_2 = 292,\; D(292) = 6224272$

[1줄: 공식선언 (30%)] 위치 차 $h(t) = t(t - 438)^2 = 0\;(t \gt 0)$에서 $t_1 = 438$이고, 도함수 $h'(t) = 3(t - 146)(t - 438)$에 대입하면 $h'(438) = 0$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 구간 $[0, 438]$에서 내부 극대점은 $t = 146$이므로 최댓값은 $D(146) = 146(-292)^2 = 12448544$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 이계도함수 $h''(t) = 6t - 1752 = 0$에서 $t_2 = 292$이고, 그때의 거리는 $D(292) = 292(-146)^2 = 6224272$이다.

평가 소문항	홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• $t_1 = 438$ 도출 +3점 / 속도 차 $h'(438) = 0$ 확인 +3점
소문항 [4-2]	• $h'(t) = 3(t - 146)(t - 438) = 0$ 극대 판정 +4점 / 최댓값 $12448544$ 산출 +3점
소문항 [4-3]	• $h''(t) = 6t - 1752 = 0 \implies t_2 = 292$ 도출 +3점 / 거리 $6224272$ 계산 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 삼차함수 비율 관계($1 : 2 : 3$)에 의해 원점 $t=0$, 극대 $t=146$, 변곡 $t=292$, 접점 $t=438$이 등간격 $146$로 배열됩니다.

[약술문항 5] 베이즈 정리 사후확률과 표본비율을 이용한 모비율 신뢰구간 추론 (20점)

확률과 통계 (조건부확률과 모비율의 추정) | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 확률과 통계 · 기출 변형 | 성취기준: 12확통02-04, 12확통03-06]

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 전확률 $P(B) = \dfrac{2}{143}$과 조건부확률 $P(A_2 | B) = \dfrac{3}{4}\;(\text{모수 } 143)$를 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 표본의 크기 $n = 327184$을 대입하여 표본비율의 표준오차 $\dfrac{12/25}{572} = \dfrac{3}{3575}$를 유도하시오.

[문항 5-3] (7점) 모비율에 대한 신뢰도 $95\%$ 신뢰구간 $[a, b]$의 길이 $b - a = \dfrac{294}{89375}$를 기약분수로 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] $P(B) = \dfrac{2}{143},\; P(A_2 | B) = \dfrac{3}{4}$ | [5-2] 표준오차 $\dfrac{3}{3575}$ | [5-3] $L = \dfrac{294}{89375}$

[1줄: 공식선언 (30%)] 전확률 공식에서 $P(B) = \dfrac{1}{286} + \dfrac{3}{286} = \dfrac{2}{143}$이고, 베이즈 정리에 의해 $P(A_2 | B) = \dfrac{3/(2\times 143)}{2/143} = \dfrac{3}{4}$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 표준오차는 $\sqrt{\dfrac{9\times 16}{25^2 \times 327184}} = \dfrac{12}{25 \times 572} = \dfrac{3}{3575}$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 신뢰구간의 길이는 $L = 2 \times \dfrac{49}{25} \times \dfrac{3}{3575} = \dfrac{294}{89375}$이다.

평가 소문항	홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• 전확률 $P(B) = \dfrac{2}{143}$ 계산 +3점 / 사후확률 $P(A_2\|B) = \dfrac{3}{4}\;(\text{분모 } 143)$ 도출 +3점
소문항 [5-2]	• $\sqrt{n} = 572$ 계산 +4점 / 표준오차 $\dfrac{3}{3575}$ 유도 +3점
소문항 [5-3]	• 신뢰구간 길이 공식 적용 +4점 / $\dfrac{294}{89375}$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 2022 개정 교육과정 확률과 통계(`12확통03-06`)에서 재도입된 모비율 신뢰구간 공식과 표준오차 $\dfrac{3}{3575}$ 계산 과정을 명확히 서술해야 합니다.

2027학년도 대비 홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제10회 (문제집) 80분 / 100점 만점 · 수능최저 1개 4등급 · 수리 단독

[약술문항 1] 비선형 분수 점화식의 역수 등차수열 변환과 부분분수 급수의 합 (20점)

대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: (DB: CAL1_Ch03_미래엔) PDF p.3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03]

<제시문 (가)> 모든 항이 양수인 수열이 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{5a_n + 1}\;\left(a_1 = \dfrac{1}{154}\right)$을 만족시킬 때, 양변의 역수를 취하면 $\dfrac{1}{a_{n+1}} - \dfrac{1}{a_n} = 5$가 되어 역수 수열은 공차가 $5$인 등차수열을 이룬다.
<제시문 (나)> 자연수 $n$에 대한 명제를 수학적 귀납법으로 증명할 때는 초기항 $n = 1\;(a_1 = 1/154)$일 때 성립함을 보이고, $n = k$일 때 성립한다고 가정하여 $n = k + 1$일 때도 성립함을 연역한다.

첫째항이 $a_1 = \dfrac{1}{154}$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{5a_n + 1}$을 만족시키는 수열에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)의 역수 변환 $b_n = \dfrac{1}{a_n}\;\left(b_1 = 154\right)$을 이용하여 $b_n = 5n + 149$와 $a_n$의 일반항을 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 일반항 $a_n = \dfrac{1}{5n + 149}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 성립함을 제시문 (나)의 수학적 귀납법으로 증명하시오.

[문항 1-3] (7점) 부분분수 항등식 $5a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}$을 이용하여 급수 $\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \dfrac{10}{31416}$의 값을 유도하시오.

[약술문항 2] 무한대 극한과 영인자 약분 극한을 동시에 만족시키는 삼차함수의 유일성 (20점)

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> 다항함수가 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -599$을 만족시키면 최고차항 계수가 $2$인 삼차함수이다.
<제시문 (나)> $\lim_{x \to 149} \dfrac{f(x)}{(x - 149)^2} = 295$이 수렴하면 인수정리에 의해 $f(x) = (x - 149)^2(2x + r)$ 꼴로 인수분해된다.

삼차다항함수가 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -599$과 $\lim_{x \to 149} \dfrac{f(x)}{(x - 149)^2} = 295$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 $f(x) = (x - 149)^2(2x + r)$로 놓고 상수 $r = -3$을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 구한 함수 $f(x) = (x - 149)^2(2x + -3)$이 무한대 극한 조건 $-599$을 만족시킴을 전개하여 검증하시오.

[문항 2-3] (7점) 함숫값 $f(151) = 1196$의 값과 $x = 149$에서의 미분계수 $f'(149) = 0$의 값을 각각 구하시오.

[약술문항 3] 평균값 정리를 이용한 부등식의 증명과 역함수 접선의 방정식 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (평균값 정리와 역함수) | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

<제시문 (가)> 닫힌구간 $[x_1, x_2]$에서 미분가능한 함수 $f(x) = x^3 + 423x + 2$에 대하여 평균변화율과 일치하는 순간변화율 $f'(c) = 3c^2 + 423$인 $c$가 존재한다.
<제시문 (나)> 도함수가 항상 양수인 $f'(x) = 3x^2 + 423 \gt 0$이므로 역함수 $g(x)$가 존재하며 $g'(f(a)) = \dfrac{1}{3a^2 + 423}$이다.

실수 전체의 집합에서 정의된 증가함수 $f(x) = x^3 + 423x + 2$와 그 역함수 $g(x)$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)의 평균값 정리를 이용하여 임의의 두 실수 $x_1 \lt x_2$에 대하여 부등식 $f(x_2) - f(x_1) \ge 423(x_2 - x_1)$이 성립함을 증명하시오.

[문항 3-2] (7점) $f(0) = 2,\; f(1) = 426$임을 이용하여 역함수의 미분계수 $g'(2) = \dfrac{1}{423}$와 $g'(426) = \dfrac{1}{426}$의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 역함수 곡선 위의 점 $(426, 1)$에서의 접선의 방정식 $y = \dfrac{1}{426}x$를 구하고, $\dfrac{1}{g'(2)} + \dfrac{1}{g'(426)} = 849$의 값을 구하시오.

[약술문항 4] 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 공식과 넓이 분할 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 이차함수 $y = -6x(x - 148)$의 그래프와 가로축이 두 점 $(0, 0),\; (148, 0)$에서 만날 때, 둘러싸인 도형의 넓이는 $S = \int_0^{148} (-6x^2 + 888x)\,dx = 3241792$이다.
<제시문 (나)> 이차함수 그래프는 대칭축 $x = \dfrac{148}{2}$에 대하여 좌우 대칭이므로 대칭축은 전체 넓이 $3241792$를 정확히 이등분한다.

포물선 $C : y = -6x^2 + 888x$와 가로축 및 원점을 지나는 직선 $L : y = 444x$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 정적분을 직접 계산하여 포물선 $y = -6x^2 + 888x$와 가로축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S = 3241792$를 유도하시오.

[문항 4-2] (7점) 직선 $x = k$가 넓이 $S = 3241792$를 이등분하는 상수 $k = \dfrac{148}{2}$를 구하고, $\int_0^{148/2} (-6x^2 + 888x)\,dx = \dfrac{3241792}{2}$임을 확인하시오.

[문항 4-3] (7점) 포물선 $y = -6x^2 + 888x$와 직선 $y = 444x$의 교점의 좌표를 구하고, 두 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 $S_1 = \dfrac{3241792}{8}$을 구하시오.

[약술문항 5] 벡터를 이용한 공간 평면의 방정식과 정사영 넓이 및 사면체 부피 (20점)

기하 Ⅲ-3. 공간벡터와 평면의 방정식 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 기하 Ⅲ-3. 공간벡터 · 기출 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

<제시문 (가)> 좌표공간의 세 축 위의 점 $\mathrm{A}(429, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 429, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 429)$을 지나는 평면의 방정식은 $x + y + z = 429$이고 법선벡터는 $\vec{n} = (1, 1, 1)\;(\text{절편 } 429)$이다.
<제시문 (나)> 평면 $x + y + z = 429$와 바닥평면이 이루는 예각에 대하여 정사영 넓이 공식 $S' = S\cos\theta = \dfrac{184041}{2}$가 성립한다.

좌표공간에서 세 점 $\mathrm{A}(429, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 429, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 429)$을 지나는 평면 $x + y + z = 429$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 원점 O에서 평면 $x + y + z - 429 = 0$까지의 수선의 길이 $d = 143\sqrt{3}$를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 직각삼각형 OAB의 넓이 $S' = \dfrac{184041}{2}$와 방향코사인을 이용하여 정삼각형 ABC의 넓이 $S = \dfrac{184041\sqrt{3}}{2}$를 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 사면체 OABC의 부피 $V = \dfrac{1}{3} S \cdot d = 13158931$를 계산하여 직각사면체 부피 공식과 일치함을 확인하시오.

2027학년도 대비 홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제10회 (해설집) 80분 / 100점 만점 · 수능최저 1개 4등급 · 수리 단독

[약술문항 1] 비선형 분수 점화식의 역수 등차수열 변환과 부분분수 급수의 합 (20점)

대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: (DB: CAL1_Ch03_미래엔) PDF p.3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03]

첫째항이 $a_1 = \dfrac{1}{154}$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{5a_n + 1}$을 만족시키는 수열에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)의 역수 변환 $b_n = \dfrac{1}{a_n}\;\left(b_1 = 154\right)$을 이용하여 $b_n = 5n + 149$와 $a_n$의 일반항을 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 일반항 $a_n = \dfrac{1}{5n + 149}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 성립함을 제시문 (나)의 수학적 귀납법으로 증명하시오.

[문항 1-3] (7점) 부분분수 항등식 $5a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}$을 이용하여 급수 $\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \dfrac{10}{31416}$의 값을 유도하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] $b_n = 5n + 149,\; a_n = \dfrac{1}{5n + 149}$ | [1-2] 수학적 귀납법 증명 완료 | [1-3] $\dfrac{10}{154\times 204} = \dfrac{10}{31416}$

[1줄: 공식선언 (30%)] 역수 치환 $b_n = \dfrac{1}{a_n}\;\left(b_1 = 154\right)$에서 $b_{n+1} - b_n = 5$이므로 $b_n = 154 + 5(n - 1) = 5n + 149$이고 $a_n = \dfrac{1}{5n + 149}$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] (i) 초기항 $a_1 = \dfrac{1}{154}$ 성립. (ii) $a_k = \dfrac{1}{5k + 149}$이라 가정하면 $a_{k+1} = \dfrac{a_k}{5a_k + 1} = \dfrac{1}{5(k+1) + 149}$이므로 모든 자연수에서 성립한다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 부분분수 분해에 의해 $\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \dfrac{1}{5}\left(\dfrac{1}{154} - \dfrac{1}{204}\right) = \dfrac{10}{31416}$이다.

평가 소문항	홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• 역수 등차수열 $b_n = 5n + 149$ 유도 +3점 / 일반항 $a_n = \dfrac{1}{5n + 149}$ 도출 +3점
소문항 [1-2]	• 초기 조건 $a_1 = \dfrac{1}{154}$ 확인 +2점 / 귀납 가정 후 $a_{k+1} = \dfrac{1}{5(k+1) + 149}$ 연역 +5점
소문항 [1-3]	• 망원급수 변형 $\dfrac{1}{5}\left(\dfrac{1}{154} - \dfrac{1}{204}\right)$ +4점 / 합 $\dfrac{10}{31416}$ 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 원래 점화식의 분모를 곱하면 $5a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}$이 바로 유도되어 망원급수 소거가 한 줄로 정리됩니다.

[약술문항 2] 무한대 극한과 영인자 약분 극한을 동시에 만족시키는 삼차함수의 유일성 (20점)

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

삼차다항함수가 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -599$과 $\lim_{x \to 149} \dfrac{f(x)}{(x - 149)^2} = 295$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 $f(x) = (x - 149)^2(2x + r)$로 놓고 상수 $r = -3$을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 구한 함수 $f(x) = (x - 149)^2(2x + -3)$이 무한대 극한 조건 $-599$을 만족시킴을 전개하여 검증하시오.

[문항 2-3] (7점) 함숫값 $f(151) = 1196$의 값과 $x = 149$에서의 미분계수 $f'(149) = 0$의 값을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] $r = -3$ | [2-2] 이차항 계수 $-599$ 일치 검증 완료 | [2-3] $f(151) = 1196,\; f'(149) = 0$

[1줄: 공식선언 (30%)] 제시문 (나)의 극한식에 대입하면 $\lim_{x \to 149} (2x + r) = 298 + r = 295$이므로 $r = -3$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 전개하면 $f(x) = (x^2 - 298x + 22201)(2x + -3) = 2x^3 + (-599)x^2 + \cdots$이므로 이차항 계수 $-599$이 정확히 성립한다.

[3줄: 최종결론 (30%)] $x = 151$를 대입하면 $f(151) = 4(302 + -3) = 1196$이고, $(x - 149)^2$을 인수로 가지므로 $f'(149) = 0$이다.

평가 소문항	홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 인수분해 꼴 설정 +3점 / 극한 대입으로 $r = -3$ 도출 +3점
소문항 [2-2]	• 삼차식 전개 후 이차항 계수 $-599$ 확인 +7점
소문항 [2-3]	• $f(151) = 1196$ 산출 +4점 / 중근 성질로 $f'(149) = 0$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 분모에 $(x - 149)^2$이 있을 때 극한이 수렴하려면 분자는 $x = 149$을 반드시 중근 이상으로 가져야 합니다.

[약술문항 3] 평균값 정리를 이용한 부등식의 증명과 역함수 접선의 방정식 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (평균값 정리와 역함수) | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

실수 전체의 집합에서 정의된 증가함수 $f(x) = x^3 + 423x + 2$와 그 역함수 $g(x)$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-2] (7점) $f(0) = 2,\; f(1) = 426$임을 이용하여 역함수의 미분계수 $g'(2) = \dfrac{1}{423}$와 $g'(426) = \dfrac{1}{426}$의 값을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] $f'(c) = 3c^2 + 423 \ge 423$ 증명 완료 | [3-2] $g'(2) = \dfrac{1}{423},\; g'(426) = \dfrac{1}{426}$ | [3-3] 접선 $y = \dfrac{1}{426}x,\; \text{합 } 849$

[1줄: 공식선언 (30%)] 평균값 정리에 의해 $\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} = 3c^2 + 423 \ge 423$이고 $x_2 - x_1 \gt 0$이므로 $f(x_2) - f(x_1) \ge 423(x_2 - x_1)$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 역함수 미분법에 의해 $g'(2) = \dfrac{1}{f'(0)} = \dfrac{1}{423}$이고 $g'(426) = \dfrac{1}{f'(1)} = \dfrac{1}{426}$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 점 $(426, 1)$에서의 접선은 $y - 1 = \dfrac{1}{426}(x - 426) \implies y = \dfrac{1}{426}x$이고, 역수의 합은 $423 + 426 = 849$이다.

평가 소문항	홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• 평균값 정리 선언 및 $f'(c) = 3c^2 + 423 \ge 423$ 서술 +6점
소문항 [3-2]	• $g'(2) = \dfrac{1}{423}$ 산출 +3점 / $g'(426) = \dfrac{1}{426}$ 산출 +4점
소문항 [3-3]	• 접선 $y = \dfrac{1}{426}x$ 유도 +4점 / 역수 합 $849$ 계산 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 역함수의 미분계수 $g'(426)$를 구할 때는 $f(a) = 426$를 만족시키는 원함수 위의 점 $a = 1$을 먼저 찾아야 합니다.

[약술문항 4] 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 공식과 넓이 분할 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

포물선 $C : y = -6x^2 + 888x$와 가로축 및 원점을 지나는 직선 $L : y = 444x$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 정적분을 직접 계산하여 포물선 $y = -6x^2 + 888x$와 가로축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S = 3241792$를 유도하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] $S = 3241792$ | [4-2] $k = \dfrac{148}{2},\; \text{정적분 } \dfrac{3241792}{2}$ | [4-3] 교점 $x = 0, \dfrac{148}{2}$, 넓이 $S_1 = \dfrac{3241792}{8}$

[1줄: 공식선언 (30%)] 정적분을 계산하면 $S = \left[-2x^3 + 444x^2\right]_0^{148} = -2(148)^3 + 3(148)^3 = 3241792$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 포물선의 대칭축 $x = \dfrac{148}{2}$에 의해 $k = \dfrac{148}{2}$이고, 실제로 $\left[-2x^3 + 444x^2\right]_0^{148/2} = -\dfrac{3241792}{4} + \dfrac{3\times 3241792}{4} = \dfrac{3241792}{2}$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 연립방정식 $-6x^2 + 888x = 444x \implies 6x\left(x - \dfrac{148}{2}\right) = 0$이므로 교점은 $x = 0, \dfrac{148}{2}$이고 넓이는 $S_1 = \int_0^{148/2} (-6x^2 + 444x)\,dx = \dfrac{3241792}{8}$이다.

평가 소문항	홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• 원시함수 $-2x^3 + 444x^2$ 적분 +3점 / 넓이 $S = 3241792$ 도출 +3점
소문항 [4-2]	• 대칭축 $k = \dfrac{148}{2}$ 도출 +3점 / 구간 $[0, 148/2]$ 적분값 $\dfrac{3241792}{2}$ 확인 +4점
소문항 [4-3]	• 교점 $x = \dfrac{148}{2}$ 산출 +3점 / 넓이 $S_1 = \dfrac{3241792}{8}$ 도출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 이차항 계수가 $-6$이고 두 교점의 차가 $\beta - \alpha = \dfrac{148}{2}$일 때 둘러싸인 넓이는 항상 $(\beta - \alpha)^3 = \dfrac{3241792}{8}$이 됩니다.

[약술문항 5] 벡터를 이용한 공간 평면의 방정식과 정사영 넓이 및 사면체 부피 (20점)

기하 Ⅲ-3. 공간벡터와 평면의 방정식 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 기하 Ⅲ-3. 공간벡터 · 기출 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

좌표공간에서 세 점 $\mathrm{A}(429, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 429, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 429)$을 지나는 평면 $x + y + z = 429$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 원점 O에서 평면 $x + y + z - 429 = 0$까지의 수선의 길이 $d = 143\sqrt{3}$를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 직각삼각형 OAB의 넓이 $S' = \dfrac{184041}{2}$와 방향코사인을 이용하여 정삼각형 ABC의 넓이 $S = \dfrac{184041\sqrt{3}}{2}$를 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 사면체 OABC의 부피 $V = \dfrac{1}{3} S \cdot d = 13158931$를 계산하여 직각사면체 부피 공식과 일치함을 확인하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] $d = \dfrac{429}{\sqrt{3}} = 143\sqrt{3}$ | [5-2] $S' = \dfrac{184041}{2},\; S = \dfrac{184041\sqrt{3}}{2}$ | [5-3] $V = 13158931$

[1줄: 공식선언 (30%)] 점과 평면 사이의 거리 공식에서 $d = \dfrac{429}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = 143\sqrt{3}$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 정사영 넓이는 $S' = \dfrac{184041}{2}$이므로 $S = \sqrt{3}S' = \dfrac{184041\sqrt{3}}{2}$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 사면체 부피는 $V = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{184041\sqrt{3}}{2} \times 143\sqrt{3} = 13158931$로 정확히 일치한다.

평가 소문항	홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• 평면 $x+y+z=429$ 및 법선벡터 확인 +3점 / 원점 거리 $d = 143\sqrt{3}$ 산출 +3점
소문항 [5-2]	• 정사영 넓이 $S' = \dfrac{184041}{2}$ 계산 +3점 / $S = \dfrac{184041\sqrt{3}}{2}$ 유도 +4점
소문항 [5-3]	• 사면체 부피 대입 검증 +4점 / 부피 $V = 13158931$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 2022 개정 교육과정 기하(`12기하03-05`)에서 강화된 벡터를 이용한 평면의 방정식 $x + y + z = 429$과 정사영 넓이 공식을 결합한 핵심 문항입니다.

평가 소문항	홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• 역함수 대칭 \(x_1 + x_2 = 298\) 유도 +3점 / 중점 \(\mathrm{M}(149, 149)\) 도출 +3점
소문항 [1-2]	• 거리 공식 \(x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 298)\) 도출 +3점 / 좌표 \(\mathrm{P}(148, 150),\; \mathrm{Q}(150, 148)\) 산출 +4점
소문항 [1-3]	• 원점과 직선 사이 거리 \(h = \dfrac{298}{\sqrt{2}}\) 계산 +4점 / 삼각형 넓이 \(S = 298\) 산출 +3점

평가 소문항	홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 역수 등차수열 \(b_n = 6n + 144\) 유도 +3점 / 일반항 \(a_n = \dfrac{1}{6n + 144}\) 도출 +3점
소문항 [2-2]	• 초기 조건 \(a_1 = \dfrac{1}{150}\) 확인 +2점 / 귀납 가정 후 \(a_{k+1} = \dfrac{1}{6(k+1) + 144}\) 연역 +5점
소문항 [2-3]	• 망원급수 변형 \(\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{150} - \dfrac{1}{210}\right)\) +4점 / 합 \(\dfrac{10}{31500}\) 산출 +3점

평가 소문항	홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• \(f(0) = 147\) 산출 +2점 / 도함수 정의로 \(f'(x) = 6x^2 + 151\) 유도 +4점
소문항 [3-2]	• \(f(x) = 2x^3 + 151x + 147\) 결정 +4점 / 접선 \(y = 157x + 143\) 도출 +3점
소문항 [3-3]	• 미분계수 식 \(\dfrac{f'(2)}{4} = \dfrac{175}{4}\) 변형 +4점 / 극한값 산출 +3점

평가 소문항	홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• \(t_1 = 429\) 도출 +3점 / 속도 차 \(h'(429) = 0\) 확인 +3점
소문항 [4-2]	• \(h'(t) = 3(t - 143)(t - 429) = 0\) 극대 판정 +4점 / 최댓값 \(11696828\) 산출 +3점
소문항 [4-3]	• \(h''(t) = 6t - 1716 = 0 \implies t_2 = 286\) 도출 +3점 / 거리 \(5848414\) 계산 +4점

평가 소문항	홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• 원시함수 \(-2x^3 + 432x^2\) 적분 +3점 / 넓이 \(S = 2985984\) 도출 +3점
소문항 [5-2]	• 대칭축 \(k = \dfrac{144}{2}\) 도출 +3점 / 구간 \([0, 144/2]\) 적분값 \(\dfrac{2985984}{2}\) 확인 +4점
소문항 [5-3]	• 교점 \(x = \dfrac{144}{2}\) 산출 +3점 / 넓이 \(S_1 = \dfrac{2985984}{8}\) 도출 +4점

평가 소문항	홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• \(x + x^{-1} = 152\) 유도 +3점 / \(x^2 + x^{-2} = 23102\) 산출 +3점
소문항 [1-2]	• \(x^{3/2} + x^{-3/2} = 151\sqrt{154}\) 도출 +3점 / \(x^3 + x^{-3} = 3511352\) 계산 +4점
소문항 [1-3]	• 분자 \(3511354\) 완전제곱 변형 +4점 / 약분 결과 \(151\sqrt{154}\) 도출 +3점

평가 소문항	홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 코사인법칙 대입 \(a^2 = 49\times 143^2\) +3점 / \(a = 1001\) 도출 +3점
소문항 [2-2]	• 외접원 반지름 \(R = \dfrac{1001\sqrt{3}}{3}\) 산출 +3점 / 넓이 \(S = \dfrac{306735\sqrt{3}}{4}\) 계산 +4점
소문항 [2-3]	• 내접원 반지름 \(r = \dfrac{143\sqrt{3}}{2}\) 유도 +4점 / 곱 \(R\cdot r = \dfrac{143143}{2}\) 도출 +3점

평가 소문항	홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• 인수분해 꼴 설정 +3점 / 극한 대입으로 \(r = -3\) 도출 +3점
소문항 [3-2]	• 삼차식 전개 후 이차항 계수 \(-587\) 확인 +7점
소문항 [3-3]	• \(f(148) = 1172\) 산출 +4점 / 중근 성질로 \(f'(146) = 0\) 도출 +3점

평가 소문항	홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• 좌·우미분계수 \(\pm P(147)\) 정의식 서술 +4점 / \(P(147) = 0\) 확인 +2점
소문항 [4-2]	• \(x \lt 147\) 부호 분리 및 곱의 미분법 적용 +4점 / \(h'(x) = -3(x - 147)(x - 145)\) 유도 +3점
소문항 [4-3]	• 극점 \(x = 145\) 도출 +3점 / 함숫값 \(h(145) = -4\;(\text{극점 } 145)\) 산출 +4점

평가 소문항	홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• \(A = 447 - 2A \implies A = 149\) 도출 +3점 / \(f(x) = 3x^2 - 596x + 446\) 완성 +3점
소문항 [5-2]	• 대칭축 \(x = \dfrac{298}{3}\) 산출 +4점 / \(f(1) = -147\) 계산 +3점
소문항 [5-3]	• 기함수 소거 및 우함수 2배 공식 적용 +4점 / 정적분 값 \(894\) 도출 +3점

평가 소문항	홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• 전확률 \(P(B) = \dfrac{2}{142}\) 계산 +3점 / 사후확률 \(P(A_2\|B) = \dfrac{3}{4}\;(\text{분모 } 142)\) 도출 +3점
소문항 [1-2]	• \(\sqrt{n} = 568\) 계산 +4점 / 표준오차 \(\dfrac{3}{3550}\) 유도 +3점
소문항 [1-3]	• 신뢰구간 길이 공식 적용 +4점 / \(\dfrac{294}{88750}\) 도출 +3점

평가 소문항	홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 평균값 정리 선언 및 \(f'(c) = 3c^2 + 417 \ge 417\) 서술 +6점
소문항 [2-2]	• \(g'(2) = \dfrac{1}{417}\) 산출 +3점 / \(g'(420) = \dfrac{1}{420}\) 산출 +4점
소문항 [2-3]	• 접선 \(y = \dfrac{1}{420}x\) 유도 +4점 / 역수 합 \(837\) 계산 +3점

평가 소문항	홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• 변수 분리 후 곱의 미분법 적용 +3점 / \(F'(x) = 3x^2 - 858x\) 도출 +3점
소문항 [3-2]	• 극점 \(x = 0, 286\) 판정 +3점 / 극값의 차 \(11696828\) 산출 +4점
소문항 [3-3]	• \(F(143) = -5848414\) 계산 +4점 / \(F'(143) = -61347\) 도출 +3점

평가 소문항	홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• 준선 \(x = -141\) 명시 +2점 / 포물선 정의로 \(\overline{\mathrm{PF}} = 705\) 도출 +4점
소문항 [4-2]	• 접선 \(y = \dfrac{1}{2}x + 282\) 유도 +4점 / \(\mathrm{Q}(-564, 0)\) 및 \(\overline{\mathrm{FQ}} = 705\) 증명 +3점
소문항 [4-3]	• 밑변 \(705\) 및 높이 \(564\) 설정 +3점 / 넓이 \(S = 198810\) 산출 +4점

평가 소문항	홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• 평면 \(x+y+z=423\) 및 법선벡터 확인 +3점 / 원점 거리 \(d = 141\sqrt{3}\) 산출 +3점
소문항 [5-2]	• 정사영 넓이 \(S' = \dfrac{178929}{2}\) 계산 +3점 / \(S = \dfrac{178929\sqrt{3}}{2}\) 유도 +4점
소문항 [5-3]	• 사면체 부피 대입 검증 +4점 / 부피 \(V = 12614494\) 도출 +3점

평가 소문항	홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• 역함수 대칭 \(x_1 + x_2 = 304\) 유도 +3점 / 중점 \(\mathrm{M}(152, 152)\) 도출 +3점
소문항 [1-2]	• 거리 공식 \(x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 304)\) 도출 +3점 / 좌표 \(\mathrm{P}(151, 153),\; \mathrm{Q}(153, 151)\) 산출 +4점
소문항 [1-3]	• 원점과 직선 사이 거리 \(h = \dfrac{304}{\sqrt{2}}\) 계산 +4점 / 삼각형 넓이 \(S = 304\) 산출 +3점

평가 소문항	홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 코사인법칙 대입 \(a^2 = 49\times 145^2\) +3점 / \(a = 1015\) 도출 +3점
소문항 [2-2]	• 외접원 반지름 \(R = \dfrac{1015\sqrt{3}}{3}\) 산출 +3점 / 넓이 \(S = \dfrac{315375\sqrt{3}}{4}\) 계산 +4점
소문항 [2-3]	• 내접원 반지름 \(r = \dfrac{145\sqrt{3}}{2}\) 유도 +4점 / 곱 \(R\cdot r = \dfrac{147175}{2}\) 도출 +3점

평가 소문항	홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• \(t_1 = 438\) 도출 +3점 / 속도 차 \(h'(438) = 0\) 확인 +3점
소문항 [4-2]	• \(h'(t) = 3(t - 146)(t - 438) = 0\) 극대 판정 +4점 / 최댓값 \(12448544\) 산출 +3점
소문항 [4-3]	• \(h''(t) = 6t - 1752 = 0 \implies t_2 = 292\) 도출 +3점 / 거리 \(6224272\) 계산 +4점

평가 소문항	홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• 전확률 \(P(B) = \dfrac{2}{143}\) 계산 +3점 / 사후확률 \(P(A_2\|B) = \dfrac{3}{4}\;(\text{분모 } 143)\) 도출 +3점
소문항 [5-2]	• \(\sqrt{n} = 572\) 계산 +4점 / 표준오차 \(\dfrac{3}{3575}\) 유도 +3점
소문항 [5-3]	• 신뢰구간 길이 공식 적용 +4점 / \(\dfrac{294}{89375}\) 도출 +3점

평가 소문항	홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• 역수 등차수열 \(b_n = 5n + 149\) 유도 +3점 / 일반항 \(a_n = \dfrac{1}{5n + 149}\) 도출 +3점
소문항 [1-2]	• 초기 조건 \(a_1 = \dfrac{1}{154}\) 확인 +2점 / 귀납 가정 후 \(a_{k+1} = \dfrac{1}{5(k+1) + 149}\) 연역 +5점
소문항 [1-3]	• 망원급수 변형 \(\dfrac{1}{5}\left(\dfrac{1}{154} - \dfrac{1}{204}\right)\) +4점 / 합 \(\dfrac{10}{31416}\) 산출 +3점

평가 소문항	홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• 평균값 정리 선언 및 \(f'(c) = 3c^2 + 423 \ge 423\) 서술 +6점
소문항 [3-2]	• \(g'(2) = \dfrac{1}{423}\) 산출 +3점 / \(g'(426) = \dfrac{1}{426}\) 산출 +4점
소문항 [3-3]	• 접선 \(y = \dfrac{1}{426}x\) 유도 +4점 / 역수 합 \(849\) 계산 +3점

평가 소문항	홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• 원시함수 \(-2x^3 + 444x^2\) 적분 +3점 / 넓이 \(S = 3241792\) 도출 +3점
소문항 [4-2]	• 대칭축 \(k = \dfrac{148}{2}\) 도출 +3점 / 구간 \([0, 148/2]\) 적분값 \(\dfrac{3241792}{2}\) 확인 +4점
소문항 [4-3]	• 교점 \(x = \dfrac{148}{2}\) 산출 +3점 / 넓이 \(S_1 = \dfrac{3241792}{8}\) 도출 +4점

평가 소문항	홍익대학교(세종) 자연·공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• 평면 \(x+y+z=429\) 및 법선벡터 확인 +3점 / 원점 거리 \(d = 143\sqrt{3}\) 산출 +3점
소문항 [5-2]	• 정사영 넓이 \(S' = \dfrac{184041}{2}\) 계산 +3점 / \(S = \dfrac{184041\sqrt{3}}{2}\) 유도 +4점
소문항 [5-3]	• 사면체 부피 대입 검증 +4점 / 부피 \(V = 13158931\) 도출 +3점