[1-1] 수열의 상수성 증명 및 극한:
(i) \(n = 1\)일 때: \(a_1 = 3\) 성립.
(ii) \(n = k\)일 때 \(a_k = 3\)이라 가정하면:
\(a_{k+1} = \sqrt{2a_k + 3} = \sqrt{2(3) + 3} = \sqrt{9} = 3\).
따라서 \(n = k+1\)일 때도 성립한다.
수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n = 3\)이다.
따라서 극한값 \(\lim_{n\to\infty} a_n = 3\)이다.

[1-2] 양의 정수해의 개수 계산:
\(x, y, z \ge 1\)이므로 \(x' = x-1, y' = y-1, z' = z-1\) (\(x', y', z' \ge 0\) 정수)로 치환하면
\(x' + y' + z' = 9 - 3 = 6\).
음이 아닌 정수해의 개수는 서로 다른 3개에서 중복을 허락하여 6개를 택하는 중복조합의 수와 같다:
\({}_3\text{H}_6 = \binom{3+6-1}{6} = \binom{8}{6} = \binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28\).

[정답] [1-1] 증명 완료, 극한값 \(3\), [1-2] \(28\)개

[2-1] 지수부등식 증명:
\(g(x) = e^x - (1 + x)\)라 하자.
\(g'(x) = e^x - 1\).
• \(x < 0\)일 때: \(e^x < 1 \implies g'(x) < 0\) (감소)
• \(x = 0\)일 때: \(g'(0) = 0\)
• \(x > 0\)일 때: \(e^x > 1 \implies g'(x) > 0\) (증가)
따라서 \(g(x)\)는 \(x = 0\)에서 유일한 극솟값이자 최솟값을 갖는다.
최솟값 \(g(0) = e^0 - (1 + 0) = 1 - 1 = 0\).
모든 실수 \(x\)에 대하여 \(g(x) \ge g(0) = 0 \implies e^x \ge 1 + x\)이다. (증명 완료)

[2-2] \(f(x) = x^2 e^{-x}\)의 최댓값:
\(f'(x) = 2x e^{-x} + x^2(-e^{-x}) = (2x - x^2)e^{-x} = x(2 - x)e^{-x}\).
\(x \ge 0\)에서 \(e^{-x} > 0\)이므로 \(f'(x) = 0 \iff x = 0\) 또는 \(x = 2\).
• \(0 < x < 2\)에서 \(f'(x) > 0\) (증가)
• \(x > 2\)에서 \(f'(x) < 0\) (감소)
따라서 \(f(x)\)는 \(x = 2\)에서 유일한 극대이자 최댓값을 갖는다.
최댓값 \(f(2) = 2^2 e^{-2} = 4e^{-2} = \frac{4}{e^2}\).

[정답] [2-1] 증명 완료, [2-2] \(x = 2\)에서 최댓값 \(\frac{4}{e^2}\)

[3-1] 공통법선벡터 유도:
\(l_1\)의 방향벡터 \(\vec{u} = (2, 1, 2)\), 지나는 점 \(A(0, 1, 0)\).
\(l_2\)의 방향벡터 \(\vec{v} = (1, 2, -2)\), 지나는 점 \(B(3, 0, 1)\).
외적(또는 수직 조건):
\(\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = (1(-2) - 2(2), 2(1) - 2(-2), 2(2) - 1(1)) = (-2-4, 2+4, 4-1) = (-6, 6, 3)\).
간단한 정수비로 \(\vec{n}' = (-2, 2, 1)\).
크기: \(|\vec{n}'| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3\).
단위법선벡터: \(\vec{n}_0 = \left(-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right)\).

[3-2] 최단거리 계산:
두 점을 잇는 벡터: \(\vec{AB} = B - A = (3 - 0, 0 - 1, 1 - 0) = (3, -1, 1)\).
최단거리는 \(\vec{AB}\)의 \(\vec{n}_0\) 방향 정사영 길이이다:
\(d = |\vec{AB} \cdot \vec{n}_0| = \left| 3\left(-\frac{2}{3}\right) + (-1)\left(\frac{2}{3}\right) + 1\left(\frac{1}{3}\right) \right|\)
\(= \left| -2 - \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \right| = \left| -\frac{7}{3} \right| = \frac{7}{3}\).

[정답] [3-1] \(\left(-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right)\), [3-2] \(\frac{7}{3}\)