[1-1] 탄젠트 덧셈정리 적용:
\(\tan(\alpha_n - \beta_n) = \frac{\tan\alpha_n - \tan\beta_n}{1 + \tan\alpha_n \tan\beta_n} = \frac{(n+1) - (n-1)}{1 + (n+1)(n-1)} = \frac{2}{1 + (n^2 - 1)} = \frac{2}{n^2}\). (증명 완료)

[1-2] 망원급수 합 계산:
\(\tan\alpha_n = n+1, \tan\beta_n = n\)으로 두면
\(\tan(\alpha_n - \beta_n) = \frac{(n+1) - n}{1 + (n+1)n} = \frac{1}{n^2 + n + 1} = \tan\theta_n\).
따라서 \(\theta_n = \arctan(n+1) - \arctan(n)\).
부분합: \(S_k = \sum_{n=1}^k [\arctan(n+1) - \arctan(n)] = \arctan(k+1) - \arctan(1)\).
\(k \to \infty\)일 때 \(\lim_{k\to\infty} \arctan(k+1) = \frac{\pi}{2}\), \(\arctan(1) = \frac{\pi}{4}\).
따라서 \(\sum_{n=1}^\infty \theta_n = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}\)이다.

[정답] [1-1] 증명 완료, [1-2] \(\frac{\pi}{4}\)

[2-1] 역함수 미분계수:
\(f(1) = 1^3 + 3(1) + 2 = 6 \implies g(6) = 1\).
\(f'(x) = 3x^2 + 3 \implies f'(1) = 3(1)^2 + 3 = 6\).
역함수 미분법에 의해: \(g'(6) = \frac{1}{f'(g(6))} = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{6}\).

[2-2] 역함수 정적분 계산:
\(f(0) = 2 \implies g(2) = 0\), \(f(1) = 6 \implies g(6) = 1\).
역함수 정적분 공식:
\(\int_2^6 g(x)\,dx = [x g(x)]_2^6 - \int_0^1 f(y)\,dy\)
\(= [6 \cdot g(6) - 2 \cdot g(2)] - \int_0^1 (y^3 + 3y + 2)\,dy\)
\(= [6(1) - 2(0)] - \left[ \frac{y^4}{4} + \frac{3y^2}{2} + 2y \right]_0^1\)
\(= 6 - \left( \frac{1}{4} + \frac{3}{2} + 2 \right) = 6 - \frac{15}{4} = \frac{9}{4}\).

[정답] [2-1] \(g(6) = 1, g'(6) = \frac{1}{6}\), [2-2] \(\frac{9}{4}\)

[3-1] 초점에서 접선까지 거리의 곱 증명:
접선의 일반형: \(\frac{x_1}{a^2}x - \frac{y_1}{b^2}y - 1 = 0 \iff b^2 x_1 x - a^2 y_1 y - a^2 b^2 = 0\).
초점 \(F(c, 0)\)에서 접선까지의 거리: \(d_1 = \frac{|b^2 x_1 c - a^2 b^2|}{\sqrt{b^4 x_1^2 + a^4 y_1^2}}\).
초점 \(F'(-c, 0)\)에서 접선까지의 거리: \(d_2 = \frac{|-b^2 x_1 c - a^2 b^2|}{\sqrt{b^4 x_1^2 + a^4 y_1^2}} = \frac{|b^2 x_1 c + a^2 b^2|}{\sqrt{b^4 x_1^2 + a^4 y_1^2}}\).
거리의 곱: \(d_1 d_2 = \frac{|b^4 x_1^2 c^2 - a^4 b^4|}{b^4 x_1^2 + a^4 y_1^2} = \frac{b^4 |x_1^2 c^2 - a^4|}{b^4 x_1^2 + a^4 y_1^2}\).
쌍곡선 방정식에서 \(y_1^2 = b^2\left(\frac{x_1^2}{a^2} - 1\right)\), \(c^2 = a^2 + b^2\)을 대입하면:
분모 \(= b^4 x_1^2 + a^4 b^2\left(\frac{x_1^2}{a^2} - 1\right) = b^4 x_1^2 + a^2 b^2 x_1^2 - a^4 b^2 = b^2(a^2+b^2)x_1^2 - a^4 b^2 = b^2(c^2 x_1^2 - a^4)\).
분자 \(= b^4(c^2 x_1^2 - a^4)\).
따라서 \(d_1 d_2 = \frac{b^4(c^2 x_1^2 - a^4)}{b^2(c^2 x_1^2 - a^4)} = b^2\). (증명 완료)

[3-2] 수치 계산:
쌍곡선 \(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1\)에서 \(a^2 = 9, b^2 = 16\).
두 초점에서 임의의 접선에 내린 수선의 발 거리 곱은 \(b^2 = 16\)이다.

[정답] [3-1] 증명 완료 (\(d_1 d_2 = b^2\)), [3-2] \(16\)