[1-1] 평균과 표준편차 계산:
\(n = 720\), 1의 눈이 나올 확률 \(p = \frac{1}{6}\), \(q = 1 - p = \frac{5}{6}\).
\(X \sim B\left(720, \frac{1}{6}\right)\).
• 평균: \(E(X) = n p = 720 \times \frac{1}{6} = 120\).
• 분산: \(V(X) = n p q = 720 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = 120 \times \frac{5}{6} = 100 = 10^2\).
• 표준편차: \(\sigma(X) = \sqrt{100} = 10\).

[1-2] 정규분포 근사 및 확률 계산:
\(n\)이 충분히 크므로 \(X\)는 정규분포 \(N(120, 10^2)\)을 따른다.
표준화 변수 \(Z = \frac{X - 120}{10}\).
• \(X = 110 \implies Z = \frac{110 - 120}{10} = -1\)
• \(X = 140 \implies Z = \frac{140 - 120}{10} = 2\)
\(P(110 \le X \le 140) = P(-1 \le Z \le 2) = P(-1 \le Z \le 0) + P(0 \le Z \le 2)\)
\(= P(0 \le Z \le 1) + P(0 \le Z \le 2) = 0.3413 + 0.4772 = 0.8185\).

[정답] [1-1] 평균 \(120\), 표준편차 \(10\), [1-2] \(0.8185\)

[2-1] 음함수 1계 미분 및 접선:
\(x^2 y + y^3 = 2\)의 양변을 \(x\)에 대해 미분하면:
\(2xy + x^2 y' + 3y^2 y' = 0 \implies (x^2 + 3y^2)y' = -2xy \implies y' = -\frac{2xy}{x^2 + 3y^2}\).
점 \((1, 1)\) 대입: \(y'(1) = -\frac{2(1)(1)}{1^2 + 3(1)^2} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}\).
접선의 방정식: \(y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1) \implies x + 2y - 3 = 0\).

[2-2] 2계 미분계수 계산:
\((x^2 + 3y^2)y' + 2xy = 0\)의 양변을 \(x\)에 대해 다시 미분하면:
\((2x + 6y y')y' + (x^2 + 3y^2)y'' + 2y + 2x y' = 0\).
\(x = 1, y = 1, y' = -\frac{1}{2}\)을 대입:
\(\left(2(1) + 6(1)\left(-\frac{1}{2}\right)\right)\left(-\frac{1}{2}\right) + (1 + 3)y'' + 2(1) + 2(1)\left(-\frac{1}{2}\right) = 0\).
\((2 - 3)\left(-\frac{1}{2}\right) + 4y'' + 2 - 1 = 0\).
\((-1)\left(-\frac{1}{2}\right) + 4y'' + 1 = 0 \implies \frac{1}{2} + 4y'' + 1 = 0 \implies 4y'' + \frac{3}{2} = 0\).
따라서 \(y'' = -\frac{3}{8}\)이다.

[정답] [2-1] \(x + 2y - 3 = 0\), [2-2] \(y'' = -\frac{3}{8}\)

[3-1] 원 \(C\)의 중심 및 반지름:
원점 \(O(0,0,0)\)에서 평면 \(\alpha: 2x+y+2z-6=0\)까지의 거리 \(d\):
\(d = \frac{|0 + 0 + 0 - 6|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}} = \frac{6}{\sqrt{9}} = \frac{6}{3} = 2\).
구의 반지름 \(R = 4\)이므로 교선 원 \(C\)의 반지름 \(r\):
\(r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\).
평면 \(\alpha\)의 단위법선벡터 \(\vec{n}_0 = \left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)\)이므로
원 \(C\)의 중심 \(H = 2\left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right) = \left(\frac{4}{3}, \frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right)\)이다.

[3-2] 정사영 타원 \(E\)의 넓이:
원 \(C\)의 넓이 \(S_C = \pi r^2 = \pi (2\sqrt{3})^2 = 12\pi\).
평면 \(\alpha\)의 법선벡터 \(\vec{n}_1 = (2, 1, 2)\), \(xy\)평면의 법선벡터 \(\vec{n}_2 = (0, 0, 1)\).
두 평면이 이루는 각 \(\theta\)의 코사인 값:
\(\cos\theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|} = \frac{|2(0) + 1(0) + 2(1)|}{3 \cdot 1} = \frac{2}{3}\).
정사영 넓이 공식: \(S_E = S_C \cos\theta = 12\pi \cdot \frac{2}{3} = 8\pi\).

[정답] [3-1] 중심 \(\left(\frac{4}{3}, \frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right)\), 반지름 \(2\sqrt{3}\), [3-2] \(8\pi\)