[1-1] 접점 \(t\)의 3차 방정식 유도:
\(f(t) = t^3 - 3t\), \(f'(t) = 3t^2 - 3\).
접선의 방정식: \(y - (t^3 - 3t) = (3t^2 - 3)(x - t)\).
점 \(P(a, b)\)를 대입하면:
\(b - (t^3 - 3t) = (3t^2 - 3)(a - t) = 3at^2 - 3t^3 - 3a + 3t\).
\(b - t^3 + 3t = 3at^2 - 3t^3 - 3a + 3t\).
정리하면: \(2t^3 - 3at^2 + (3a + b) = 0\).

[1-2] 접선이 3개일 조건 \(k\)의 범위:
\(a = 0, b = k\)를 대입하면:
\(2t^3 + k = 0 \implies 2t^3 = -k\).
이는 실수 \(t\)에 대하여 항상 단 1개의 실근 \(t = \sqrt[3]{-k/2}\)만을 가진다.
따라서 \(y\)축 위의 점 \((0, k)\)에서는 변곡점을 지나는 축이므로 서로 다른 3개의 접선을 그을 수 없다. (접선의 개수가 3개인 \(k\)는 존재하지 않는다.)
(참고: \(y=x^3-3x\)의 변곡점은 \((0,0)\)이며 변곡접선은 \(y=-3x\)임)

[정답] [1-1] \(2t^3 - 3at^2 + (3a + b) = 0\), [1-2] 조건을 만족하는 \(k\)의 값은 존재하지 않음

[2-1] \(I_0, I_1\) 계산:
• \(I_0 = \int_0^{\pi/2} 1\,dx = \frac{\pi}{2}\).
• \(I_1 = \int_0^{\pi/2} \sin x\,dx = [-\cos x]_0^{\pi/2} = -\cos\frac{\pi}{2} - (-\cos 0) = 0 + 1 = 1\).

[2-2] 월리스(Wallis) 점화식 증명 및 \(I_4\) 계산:
\(I_n = \int_0^{\pi/2} \sin^{n-1}x \cdot \sin x\,dx\).
\(u = \sin^{n-1}x \implies u' = (n-1)\sin^{n-2}x \cos x\), \(v' = \sin x \implies v = -\cos x\).
부분적분법에 의해:
\(I_n = \left[ -\sin^{n-1}x \cos x \right]_0^{\pi/2} + (n-1)\int_0^{\pi/2} \sin^{n-2}x \cos^2 x\,dx\).
\(\left[ -\sin^{n-1}x \cos x \right]_0^{\pi/2} = 0 - 0 = 0\).
\(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)이므로
\(I_n = (n-1)\int_0^{\pi/2} \sin^{n-2}x (1 - \sin^2 x)\,dx = (n-1)I_{n-2} - (n-1)I_n\).
\(n I_n = (n-1)I_{n-2} \implies I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}\). (증명 완료)
\(I_4\) 계산: \(I_2 = \frac{1}{2}I_0 = \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{4}\).
\(I_4 = \frac{3}{4}I_2 = \frac{3}{4}\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{3\pi}{16}\).

[정답] [2-1] \(I_0 = \frac{\pi}{2}, I_1 = 1\), [2-2] 점화식 증명 완료, \(I_4 = \frac{3\pi}{16}\)

[3-1] 포물선의 정의에 의한 초점 거리:
포물선 \(y^2 = 4px\)의 준선의 방정식은 \(x = -p\)이다.
포물선의 정의에 의해 포물선 위의 점에서 초점까지의 거리는 준선까지의 수직 거리와 같다.
점 \(A(x_1, y_1)\)에서 준선 \(x = -p\)까지의 거리는 \(x_1 - (-p) = x_1 + p\). 따라서 \(\overline{AF} = x_1 + p\).
마찬가지로 점 \(B(x_2, y_2)\)에서 준선까지의 거리는 \(x_2 + p\). 따라서 \(\overline{BF} = x_2 + p\). (증명 완료)

[3-2] 조화평균 성질 증명:
초점 \(F(p, 0)\)을 지나고 기울기가 \(m\)인 직선: \(x - p = \frac{y}{m} \implies x = \frac{y}{m} + p\).
이를 포물선 \(y^2 = 4px\)에 대입:
\(y^2 = 4p\left(\frac{y}{m} + p\right) \implies y^2 - \frac{4p}{m}y - 4p^2 = 0\).
두 교점의 \(y\)좌표 \(y_1, y_2\)에 대하여 근과 계수의 관계: \(y_1 y_2 = -4p^2\).
\(x_1 = \frac{y_1^2}{4p}\), \(x_2 = \frac{y_2^2}{4p}\)이므로
\(\overline{AF} \cdot \overline{BF} = (x_1 + p)(x_2 + p) = x_1 x_2 + p(x_1 + x_2) + p^2\).
\(x_1 x_2 = \frac{y_1^2 y_2^2}{16p^2} = \frac{(-4p^2)^2}{16p^2} = \frac{16p^4}{16p^2} = p^2\).
따라서 \(\overline{AF} \cdot \overline{BF} = p^2 + p(x_1 + x_2) + p^2 = p(x_1 + x_2 + 2p) = p(\overline{AF} + \overline{BF})\).
양변을 \(p \cdot \overline{AF} \cdot \overline{BF}\)로 나누면:
\(\frac{1}{p} = \frac{\overline{AF} + \overline{BF}}{\overline{AF} \cdot \overline{BF}} = \frac{1}{\overline{AF}} + \frac{1}{\overline{BF}}\). (증명 완료)

[정답] 증명 완료 (\(\frac{1}{\overline{AF}} + \frac{1}{\overline{BF}} = \frac{1}{p}\))