[출처: 확률과 통계 조건부확률과 독립시행 (DB: KICE_2028) PDF p.2 탐구 6081 변형 / 미래엔 대수 Ⅲ-2. 수열의 귀납적 정의 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.16 탐구 6081 변형 | 성취기준: 12확통02-05, 12확통03-02, 12대수03-06]
[문제 1] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)
<가> 주머니 \(A\)에는 흰 공 \(3\)개와 검은 공 \(1\)개가 들어 있고, 주머니 \(B\)에는 흰 공 \(2\)개와 검은 공 \(2\)개가 들어 있다. \(1\)회 시행에서는 주머니 \(A\)에서 임의로 공 \(1\)개를 꺼내어 색을 확인하고 다시 넣는다.
<나> \(n\)회 시행(\(n \ge 1\))에서 꺼낸 공이 흰 공이면 \((n+1)\)회 시행에서는 주머니 \(A\)에서 임의로 공 \(1\)개를 꺼내어 확인 후 다시 넣고, \(n\)회 시행에서 꺼낸 공이 검은 공이면 \((n+1)\)회 시행에서는 주머니 \(B\)에서 임의로 공 \(1\)개를 꺼내어 확인 후 다시 넣는다. \(n\)회 시행에서 흰 공이 나올 확률을 \(p_n\)이라 하자.
<다> 총 \(3\)회의 시행 동안 흰 공이 나온 총 횟수를 이산확률변수 \(X\)라 하자.
1-1 조건부확률의 덧셈과 곱셈정리를 이용하여 \(p_{n+1}\)과 \(p_n\) 사이의 귀납적 관계식을 유도하고, 수열 \(\{p_n\}\)의 일반항을 구하시오. (15점)
1-2 \(3\)회 시행에서 흰 공이 나왔을 때, \(2\)회 시행에서도 흰 공이 나왔을 조건부확률을 구하시오. (15점)
1-3 확률변수 \(X\)가 가질 수 있는 값 \(0, 1, 2, 3\)에 대한 확률분포를 구하고, 기댓값 \(E(64X)\)를 계산하시오. (20점)
[출처: 비상교육 기하 Ⅲ-1. 공간도형과 평면의 방정식 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.34 탐구 6082 변형 / 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 도형의 넓이와 극값 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.24 탐구 6082 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05, 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-02-07]
[문제 2] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)
<가> 좌표공간에 구 \(S : x^2 + y^2 + (z - 3)^2 = 9\)와 세 점 \(A(3, 0, 0)\), \(B(0, 3, 0)\), \(C(0, 0, 6)\)을 지나는 평면 \(\alpha\)가 있다.
<나> 구 \(S\)의 중심 \(M(0, 0, 3)\)에서 평면 \(\alpha\)에 내린 수선의 발을 \(H\)라 하고, 평면 \(\alpha\)와 구 \(S\)가 만나서 생기는 원 \(C_0\) 위의 동점을 \(P\)라 하자.
<다> 원 \(C_0\)를 \(xy\)평면 위로 정사영한 도형의 넓이를 \(K_1\)이라 하고, 원점 \(O(0, 0, 0)\)와 원 \(C_0\)를 밑면으로 하는 직원뿔 또는 경사원뿔 \(O-C_0\)의 부피를 \(V\)라 하자.
2-1 법선벡터를 이용하여 평면 \(\alpha\)의 방정식을 구하고, 구 \(S\)의 중심 \(M(0, 0, 3)\)에서 평면 \(\alpha\)까지의 거리 \(\overline{MH}\)와 단면 원 \(C_0\)의 넓이를 구하시오. (15점)
2-2 평면 \(\alpha\)와 \(xy\)평면이 이루는 예각의 크기를 \(\theta\)라 할 때 \(\cos\theta\)를 구하고, 정사영 넓이 \(K_1\)과 원뿔 \(O-C_0\)의 부피 \(V\)를 각각 구하시오. (15점)
2-3 점 \(D(3, 3, 0)\)에서 단면 원 \(C_0\) 위의 동점 \(P\)에 이르는 거리 \(\overline{DP}\)의 최댓값과 최솟값을 삼수선의 정리를 이용하여 구하고, 두 값의 곱을 계산하시오. (20점)