사인법칙에 의해 \(\overline{BC} = 2R\sin\theta = 4\sin\theta\)이다. \(\overline{AB} = 3k, \overline{AC} = 2k\) (\(k > 0\))라 두면 코사인법칙에 의해 \(\overline{BC}^2 = 9k^2 + 4k^2 - 12k^2\cos\theta = k^2(13 - 12\cos\theta)\)이다.

따라서 \(k = \frac{4\sin\theta}{\sqrt{13 - 12\cos\theta}}\)이므로 \(\overline{AB} = \frac{12\sin\theta}{\sqrt{13 - 12\cos\theta}}\), \(\overline{AC} = \frac{8\sin\theta}{\sqrt{13 - 12\cos\theta}}\)이다.

삼각형 \(ABC\)의 넓이는 \(S(\theta) = \frac{1}{2}\overline{AB}\cdot\overline{AC}\sin\theta = 3k^2\sin\theta = \frac{48\sin^3\theta}{13 - 12\cos\theta}\)이다. \(\theta = \frac{\pi}{3}\)을 대입하면 \(\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\)이므로 \(S\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{48 \cdot (3\sqrt{3}/8)}{13 - 6} = \mathbf{\frac{18\sqrt{3}}{7}}\)이다.

삼각형 \(ABC\)의 둘레의 길이는 \(\overline{AB} + \overline{AC} + \overline{BC} = 5k + 4\sin\theta = 4\sin\theta\left(\frac{5}{\sqrt{13 - 12\cos\theta}} + 1\right)\)이다.

\(S(\theta) = \frac{1}{2}r(\theta)(\overline{AB} + \overline{AC} + \overline{BC})\)이므로 \(r(\theta) = \frac{2S(\theta)}{\overline{AB} + \overline{AC} + \overline{BC}} = \frac{24\sin^2\theta}{(13 - 12\cos\theta) + 5\sqrt{13 - 12\cos\theta}}\)이다.

\(\theta \to 0^+\)일 때 \(\frac{\sin\theta}{\theta} \to 1\)이고 \(\cos\theta \to 1\)이므로 \(13 - 12\cos\theta \to 1\)이다. 따라서 \(\lim_{\theta \to 0^+} \frac{r(\theta)}{\theta^2} = \frac{24 \cdot 1^2}{1 + 5\cdot 1} = \frac{24}{6} = \mathbf{4}\)이다.

각의 이등분선 성질에 의해 \(\overline{BD} : \overline{DC} = \overline{AB} : \overline{AC} = 3 : 2\)이므로 \(\overline{BD} = \frac{3}{5}\overline{BC} = \frac{12}{5}\sin\theta\)이다.

삼각형 \(ABC\)의 외접원의 반지름이 \(R = 2\)이므로 사인법칙에 의해 \(\sin B = \frac{\overline{AC}}{2R} = \frac{2k}{4} = \frac{k}{2}\)이다. 한편 삼각형 \(ABD\)에서 \(\angle BAD = \frac{\theta}{2}\)이고, 외접원의 반지름을 \(R_1\)이라 하면 사인법칙과 변의 길이 관계로부터 \(\overline{AD} = \frac{2\cdot 3k \cdot 2k \cos(\theta/2)}{5k} = \frac{12}{5}k\cos\frac{\theta}{2}\)이고 \(2R_1 = \frac{\overline{AD}}{\sin B} = \frac{(12/5)k\cos(\theta/2)}{k/2} = \frac{24}{5}\cos\frac{\theta}{2}\)이다.

따라서 \(R_1 = \frac{12}{5}\cos\frac{\theta}{2}\)이고 외접원의 넓이는 \(U(\theta) = \pi R_1^2 = \frac{144\pi}{25}\cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{72\pi}{25}(1 + \cos\theta)\)이다.

구하는 정적분은 \(I = \frac{72\pi}{25}\int_0^{\pi/3} (1 + \cos\theta)(13 - 12\cos\theta)\sin\theta\,d\theta\)이다. \(u = \cos\theta\)로 치환하면 \(du = -\sin\theta\,d\theta\)이므로 \(I = \frac{72\pi}{25}\int_{1/2}^1 (13 + u - 12u^2)\,du = \frac{72\pi}{25}\left[13u + \frac{1}{2}u^2 - 4u^3\right]_{1/2}^1 = \frac{72\pi}{25} \cdot \frac{31}{8} = \mathbf{\frac{279\pi}{25}}\)이다.

(i) \(n = 1\)일 때 \(a_1 = 5 > 2\)이므로 성립한다. (ii) \(n = k\)일 때 \(a_k > 2\)라 가정하면 \(a_{k+1} - 2 = \frac{3a_k + 2}{a_k + 2} - 2 = \frac{a_k - 2}{a_k + 2} > 0\)이므로 \(a_{k+1} > 2\)이다. 따라서 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n > 2\)이다.

또한 \(a_{n+1} + 1 = \frac{3a_n + 2}{a_n + 2} + 1 = \frac{4(a_n + 1)}{a_n + 2}\)이고 \(a_{n+1} - 2 = \frac{a_n - 2}{a_n + 2}\)이므로, 두 식을 나누면 \(\frac{a_{n+1} + 1}{a_{n+1} - 2} = 4 \cdot \frac{a_n + 1}{a_n - 2}\)이다.

\(\frac{a_1 + 1}{a_1 - 2} = \frac{6}{3} = 2\)이므로 등비수열의 성질에 의해 \(\frac{a_n + 1}{a_n - 2} = 2 \cdot 4^{n-1} = 2^{2n-1}\)이다. 로그의 성질을 적용하면 \(b_n = \log_2(2^{2n-1}) = \mathbf{2n - 1}\)이다.

\(b_n = 2n - 1\)이므로 \(c_k = \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\right)\)이다.

따라서 \(\sum_{k=1}^{15} c_k = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{15}\left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\right) = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{31}\right) = \mathbf{\frac{15}{31}}\)이다.

한편 \(\frac{a_n + 1}{a_n - 2} = 2^{2n-1}\)을 \(a_n\)에 대하여 풀면 \(a_n + 1 = 2^{2n-1} a_n - 2^{2n} \implies (2^{2n-1} - 1)a_n = 2^{2n} + 1\)이므로 \(a_n = \mathbf{2 + \frac{3}{2^{2n-1} - 1}}\)이다.

[문항 2-2]에서 \(a_n - 2 = \frac{3}{2^{2n-1} - 1}\)이지만, 만약 \(2^{2n-1}\) 스케일로 조정된 \(4^{n-1} (a_n - 2)\)가 아닌 \(2^n(a_n - 2) = \frac{3 \cdot 2^n}{2 \cdot 4^{n-1} - 1} = \frac{6}{2^n - 2^{-n}}\)이므로 \(n \to \infty\)일 때 \(2^n(a_n - 2) \to 0\)이며 \(\frac{n}{2^n} \to 0\)이다.

극한의 대소 관계(조임정리)에 의해 \(\lim_{n \to \infty} 2^n(a_n - 2) = 0\)이고 \(\lim_{n \to \infty}\left(2^n(a_n - 2) + \frac{n}{2^n}\right) = 0\)이므로 \(\lim_{n \to \infty} d_n = \mathbf{0}\)이다.

또한 \(a_n - 2 = \frac{3}{2^{2n-1} - 1}\)이고, \(\frac{a_{n+1} - 2}{a_n - 2} = \frac{1}{a_n + 2}\) 관계를 이용하거나 \(b_n\)의 정의에서 망원급수 변형을 위해 \(u_n = \frac{3}{4^{n-1}} = 3\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\)의 주항 합을 구하면, 특히 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{2^{2n-1}} = \frac{3/2}{1 - 1/4} = 2\)이다.