[출처: 비상교육 기하 Ⅰ-1. 이차곡선과 접선의 방정식 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.28 탐구 6061 변형 / 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 접선과 극대·극소 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.46 탐구 6061 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04, 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-03-05]
[문제 1] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)
<가> 좌표평면 위에 타원 \(E : \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{7} = 1\)이 있다. 타원 \(E\)의 두 초점 중 \(x\)좌표가 양수인 초점을 \(F_1\), 음수인 초점을 \(F_2\)라 하자. 또한 꼭짓점이 원점 \(O\)이고 초점이 \(F_1\)인 포물선을 \(P\)라 하자.
<나> 제\(1\)사분면에 있는 타원 \(E\) 위의 동점 \(A(x_0, y_0)\)에서의 접선을 \(\ell_1\)이라 하고, 접선 \(\ell_1\)이 \(x\)축, \(y\)축과 만나는 교점을 각각 \(M, N\)이라 하자. 원점 \(O\)와 두 점 \(M, N\)을 꼭짓점으로 하는 직각삼각형 \(OMN\)의 넓이를 \(S(x_0)\)라 한다.
<다> 포물선 \(P\)와 직선 \(x = 3\)으로 둘러싸인 도형의 내부 영역을 \(D\)라 할 때, 타원 \(E\)의 장축 위를 움직이는 점 \(Q(t, 0)\) (\(0 \le t \le 3\))을 지나고 \(y\)축에 평행한 직선이 영역 \(D\)와 만나서 생기는 선분의 길이를 \(L(t)\)라 하자.
1-1 타원 \(E\)의 초점 \(F_1\)의 좌표와 포물선 \(P\)의 방정식을 구하고, 제\(1\)사분면에서 타원 \(E\)와 포물선 \(P\)가 만나는 교점 \(C\)에 대하여 선분 \(CF_2\)의 길이를 타원과 포물선의 정의를 결합하여 논증하시오. (15점)
1-2 제\(1\)사분면 위의 점 \(A(x_0, y_0)\)이 타원 \(E\) 위를 움직일 때, 삼각형 \(OMN\)의 넓이 \(S(x_0)\)를 \(x_0\)에 대한 함수로 나타내고, 도함수를 이용하여 \(S(x_0)\)가 최솟값을 갖는 점 \(A\)의 좌표와 그때의 최솟값을 구하시오. (15점)
1-3 영역 \(D\)의 넓이를 정적분으로 구하고, 구간 \([0, 3]\)에서 정의된 함수 \(H(t) = \int_0^t x L(x) \, dx\)에 대하여 곡선 \(y = H(t)\) 위의 점 \((1, H(1))\)에서의 접선의 \(y\)절편을 구하시오. (20점)
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.20 탐구 6062 변형 / 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 평균값 정리와 극값 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.20 탐구 6062 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-02-06, 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅱ-03-01]
[문제 2] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)<가> 실수 전체의 집합에서 정의된 연속함수 \(f(x) = (x^2 - 2x)e^{-x}\)에 대하여, 실수 \(a\)와 양의 실수 \(k\)를 매개변수로 갖는 정적분 함수 \(G(x)\)를 다음과 같이 정의한다.
\[G(x) = \left| \int_a^x f(t)\,dt - k \right|\]
<나> 닫힌구간 \([x_1, x_2]\)에서 연속이고 열린구간 \((x_1, x_2)\)에서 미분가능한 함수 \(F(x)\)에 대하여 평균값 정리에 의하면 \(\frac{F(x_2) - F(x_1)}{x_2 - x_1} = F'(c)\)를 만족하는 \(c \in (x_1, x_2)\)가 존재한다.
<다> 음이 아닌 정수 \(n\)에 대하여 수열 \(\{I_n\}\)을 \(I_n = \int_0^2 x^n e^{-x}\,dx\)로 정의한다.
2-1 함수 \(F_0(x) = \int_0^x f(t)\,dt\)의 도함수와 이계도함수를 이용하여 \(F_0(x)\)의 극댓값과 극솟값을 구하고, 임의의 두 실수 \(x_1, x_2 \in [0, 2]\)에 대하여 부등식 \(|F_0(x_2) - F_0(x_1)| \le e^{-1} |x_2 - x_1|\)이 성립함을 평균값 정리로 증명하시오. (15점)
2-2 \(a = 0\)일 때, 함수 \(G(x) = \left| \int_0^x f(t)\,dt - k \right|\)가 실수 전체의 집합에서 미분가능하지 않은 실수 \(x\)의 개수가 정확히 \(1\)개가 되도록 하는 양의 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오. (15점)
2-3 부분적분법을 이용하여 \(n \ge 1\)일 때 \(I_n\)과 \(I_{n-1}\) 사이의 관계식을 유도하고, 이를 바탕으로 \(\sum_{n=1}^4 \frac{I_n}{n!} + \frac{35}{3}e^{-2}\)의 값을 구하시오. (20점)