삼각형 \(ABC\)의 평면 \(\beta\)로의 정사영을 \(A'B'C'\)이라 하고, \(h\)와 \(h'\)을 각각 삼각형 \(ABC\)와 \(A'B'C'\)의 높이라 하자.

\(\triangle ABC\)는 \(\overline{AB} = \overline{AC} = 1\)인 직각이등변삼각형이므로 높이 \(h = \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}\)이다.

선분 \(BC\)가 교선 \(\ell\)과 평행하므로 높이 선분은 교선 \(\ell\)에 수직이다. 따라서 정사영의 높이는 \(h' = h \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta\)이다.

밑변의 절반 길이는 교선 \(\ell\)과 평행하므로 정사영 후에도 \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)로 불변이다. 피타고라스 정리에 의해

답: \(\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{1+\cos^2\theta}\)

선분 \(PQ\)를 빗변으로 하고 다음 조건을 만족하는 평면 \(\alpha\) 위의 직각삼각형 \(PRQ\)를 생각하자:

∙ 직선 \(PR\)과 직선 \(\ell\)은 수직이다.   ∙ 직선 \(RQ\)와 직선 \(\ell\)은 평행이다.

이때 \(\angle Q = t\)라 하면 \(\overline{PQ} = 1\)이므로 \(\overline{PR} = \sin t, \overline{RQ} = \cos t\)이다.

삼각형 \(PQR\)의 평면 \(\beta\) 위로의 정사영을 \(P'Q'R'\)이라 하면 삼수선의 정리에 의해 \(\angle R' = 90^\circ\)인 직각삼각형이다. 따라서

답: \(\sqrt{\sin^2 t \cos^2\theta + \cos^2 t}\)

직선 \(RS\)가 직선 \(\ell\)과 이루는 각을 \(t\)라 하면, 정삼각형의 성질에 의해 직선 \(TS\)가 직선 \(\ell\)과 이루는 각은 \(\frac{\pi}{3} - t\)이고, 직선 \(RT\)가 직선 \(\ell\)과 이루는 각은 \(\frac{\pi}{3} + t\)이다.

[문항 1-2]의 공식을 적용하면 삼각형 \(R'S'T'\)의 각 변의 길이의 제곱은 다음과 같다:

삼각함수의 덧셈정리에 의해 \(\sin^2 t + \sin^2\left(\frac{\pi}{3}-t\right) + \sin^2\left(\frac{\pi}{3}+t\right) = \frac{3}{2}\), \(\cos^2 t + \cos^2\left(\frac{\pi}{3}-t\right) + \cos^2\left(\frac{\pi}{3}+t\right) = \frac{3}{2}\)이므로 세 식의 합은 다음과 같다:

\(\cos\theta = \frac{3}{\pi}\)를 대입하면 구하는 값은 다음과 같다:

답: \(\frac{27+3\pi^2}{2\pi^2}\)

꺼낸 카드에 적힌 수를 \(X\)라 하면, \(E(X) = \frac{1+2+3}{3} = 2\)이고, 모분산은 다음과 같다:

표본의 크기 \(n=54\)이므로 표본평균 \(\bar{X}\)의 평균과 분산은 \(E(\bar{X}) = 2\), \(V(\bar{X}) = \frac{V(X)}{54} = \frac{2/3}{54} = \frac{1}{81}\)이다.

확률변수 \(Y = -2\bar{X}\)의 평균과 분산은 다음과 같다:

\(n=54\)가 충분히 크므로 중심극한정리에 의해 \(\bar{X}\) 및 \(-2\bar{X}\)는 근사적으로 정규분포를 따른다.

\(Z = \frac{-2\bar{X} - (-4)}{\sqrt{4/81}} = \frac{-2\bar{X} + 4}{2/9}\)는 표준정규분포 \(N(0, 1)\)을 따르므로 구하는 확률은

답: 평균: \(-4\), 분산: \(\frac{4}{81}\), 확률: \(0.0668\)

\(f(x) = \frac{\ln x}{x}\)를 미분하면 \(f'(x) = \frac{1-\ln x}{x^2}\)이다. \(f'(e) = 0\)이고, \(0 \lt x \lt e\)에서 \(f'(x) > 0\), \(x > e\)에서 \(f'(x) < 0\)이다.

따라서 \(f(x)\)는 \((0, e)\)에서 엄격히 증가하고, \((e, \infty)\)에서 엄격히 감소하며, \(x=e\)에서 극댓값이자 최댓값 \(f(e) = \frac{1}{e}\)을 갖는다.

\(a^b = b^a\)의 양변에 자연로그를 취하고 정리하면 \(\frac{\ln a}{a} = \frac{\ln b}{b}\), 즉 \(f(a) = f(b)\)이다.

\(a \ne b\)이므로 증가·감소 구간에 의해 두 수 중 하나는 \(e\)보다 작고 다른 하나는 \(e\)보다 커야 한다. 일반성을 잃지 않고 \(a \lt e \lt b\)라 하자.

\(e \approx 2.718\)이므로 가능한 양의 정수 \(a\)는 \(1\) 또는 \(2\)이다.

∙ \(a = 1\)이면 \(f(1) = 0\)인데, 모든 \(b > e\)에 대해 \(f(b) > 0\)이므로 불가능하다.
∙ \(a = 2\)이면 \(f(2) = \frac{\ln 2}{2} = \frac{\ln 4}{4} = f(4)\)이므로 \(b = 4\)가 유일하게 성립한다.

대칭성에 의해 \(b < a\)인 경우도 가능하므로, 구하는 모든 양의 정수 순서쌍은 다음과 같다:

답: \((2, 4), (4, 2)\)

둘레의 길이가 \(1\)인 정 \(n\)각형의 한 변의 길이는 \(\frac{1}{n}\)이다. 외접원의 중심을 \(O\), 이웃한 두 꼭짓점을 \(A, B\), 외접원의 반지름을 \(r\)이라 하자.

\(\triangle OAB\)에서 중심각 \(\angle AOB = \frac{2\pi}{n}\)이므로 코사인법칙에 의해

\(\triangle OAB\)의 넓이는 \(\frac{1}{2}r^2 \sin\frac{2\pi}{n} = \frac{\sin\frac{2\pi}{n}}{4n^2(1-\cos\frac{2\pi}{n})}\)이므로 정 \(n\)각형의 넓이 \(f(n)\)은 다음과 같다:

\(n = 12\)를 대입하면 \(\frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}\)이므로:

극한값 \(\lim_{n \to \infty} f(n)\)은 삼각함수의 반각/배각 공식 및 극한을 이용하여 계산한다:

답: \(f(12) = \frac{2+\sqrt{3}}{48}, \quad \lim_{n \to \infty} f(n) = \frac{1}{4\pi}\)