\(\overline{AB}=2\)가 지름이므로 \(\overline{OA}=\overline{OB}=1\)이다. \(\angle ROB = \frac{\pi}{3}\)이므로 \(\angle AOR = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}\)이다.

\(\triangle AOR\)에서 코사인법칙에 의해

\(\overline{AB}\)가 지름이므로 \(\angle ARB = 90^\circ\)이고 \(\angle RAB = \frac{\pi}{6}\)이다. 직각삼각형 \(ARH\)에서 \(\overline{RH} = \overline{AR}\sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \overline{AH} = \overline{AR}\cos\frac{\pi}{6} = \frac{3}{2}\)이다.

직각삼각형 \(APH\)에서 \(\overline{AP} = \overline{AH}\cos\frac{\pi}{6} = \frac{3}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}\)이다. (\(\overline{PR} = \overline{AR} - \overline{AP} = \frac{\sqrt{3}}{4}\))

\(\triangle AOP\)에서 코사인법칙에 의해

\(\triangle ABP\)에서 코사인법칙에 의해

따라서 \(\overline{OP}^2 + \overline{BP}^2 = \frac{7}{16} + \frac{19}{16} = \frac{26}{16} = \mathbf{\frac{13}{8}}\)이다. 답: \(\frac{13}{8}\)

지름의 양 끝점이 \(A(-1, 0), B(1, 0)\)이 되고, 호 \(AB\)가 \(x\)축 윗부분에 오도록 반원을 좌표평면에 두자. \(\angle ROB = t\) (\(0 \le t \le \pi\))라 하면 \(R(\cos t, \sin t), H(\cos t, 0)\)이다.

\(0 \lt t \lt \pi\)일 때, 두 점 \(A(-1, 0), R(\cos t, \sin t)\)를 지나는 직선의 방정식은 \(y = \frac{\sin t}{\cos t + 1}(x + 1)\)이고, 점 \(H\)를 지나고 선분 \(AR\)에 수직인 직선의 방정식은 \(y = -\frac{\cos t + 1}{\sin t}(x - \cos t)\)이다.

점 \(P\)는 두 직선의 교점이므로 연립하여 풀면 점 \(P(x, y)\)의 매개변수 표현을 얻는다:

\((t=0\text{이면 } P=B(1, 0), t=\pi\text{이면 } P=A(-1, 0)\text{이다.})\)

\(\overline{OP} = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{\left(\frac{\cos^2 t + 2\cos t - 1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sin t(1+\cos t)}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{2}(\cos^3 t + \cos^2 t - \cos t + 1)}\)이다.

\(f(t) = \cos^3 t + \cos^2 t - \cos t + 1\)이라 하면, \(f'(t) = -\sin t(\cos t + 1)(3\cos t - 1)\)이다.

\(0 \le t \le \pi\)에서 \(-1 \le \cos t \le 1\)이므로, \(f(t)\)의 최솟값은 \(\cos\alpha = \frac{1}{3}\)인 \(t=\alpha\)일 때 발생하며, 최솟값은 \(f(\alpha) = \left(\frac{1}{3}\right)^3 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 - \frac{1}{3} + 1 = \frac{22}{27}\)이다.

따라서 \(\overline{OP}\)의 최솟값은 \(\sqrt{\frac{1}{2} \times \frac{22}{27}} = \sqrt{\frac{11}{27}} = \mathbf{\frac{\sqrt{33}}{9}}\)이다. 답: \(\frac{\sqrt{33}}{9}\)

[문항 1-2]의 \(x = \frac{1}{2}(\cos^2 t + 2\cos t - 1)\)로부터 \(2x + 2 = (\cos t + 1)^2 \implies \cos t = -1 + \sqrt{2+2x}\)이다.

\(y^2 = \frac{1}{4}\sin^2 t (1+\cos t)^2 = \frac{1}{4}(1-\cos t)(1+\cos t)^3 = \frac{1}{4}(2-\sqrt{2+2x})(2+2x)^{3/2} = \sqrt{2}(1+x)^{3/2} - (1+x)^2\)이다.

\(-1 \le x \le 1\)이므로 \(AB\)에 수직인 단면(정사각형, 한 변의 길이 \(y\))의 넓이는 \(y^2\)이며 입체도형의 부피는 다음과 같다:

답: \(\frac{8}{15}\)

\(t = \sin x\)로 치환하면 \(\frac{dt}{dx} = \cos x\)이고, \(x=0\)일 때 \(t=0\), \(x=\beta\)일 때 \(t=\sin\beta\)이므로

수열 \(\{a_n\}\)은 첫째항이 \(\sin^2\beta\)이고 공비가 \(\sin\beta\)인 등비수열이다. \(0 < \beta < \frac{\pi}{2}\)에서 \(0 < \sin\beta < 1\)이므로 등비급수는 수렴한다.

\(\sin\beta > 0\)이므로 \(\sin\beta = \frac{1}{3}\)이다. 따라서 \(\cos\beta = \sqrt{1 - (1/3)^2} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\)이므로

답: \(\frac{\sqrt{2}}{4}\)

\(X \sim N(m, \sigma^2)\)이므로 크기 \(n\)인 표본평균 \(\bar{X} \sim N(m, \frac{\sigma^2}{n})\)이다. 두 확률밀도함수는 모두 \(x=m\)에 대해 대칭이다.

조건 (가)에서 \(P(X \ge 8) + P(\bar{X} \ge 8) = 1\)이므로 평균 \(m = 8\)이다.

두 표준화 확률변수 \(Z_1 = \frac{X-8}{\sigma}, Z_2 = \frac{\bar{X}-8}{\sigma/\sqrt{n}}\)은 모두 \(N(0, 1)\)을 따르며 \(z=0\)에 대해 대칭이다. 조건 (나)에서 \(P(X \ge 12) + P(\bar{X} \ge 7.5) = 1\)이므로

\(m\)에 대한 신뢰도 \(95.44\%\)의 신뢰구간은 \(P(-2.0 \le Z \le 2.0) = 2 \times 0.4772 = 0.9544\)로부터 \(\bar{x} - 2\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le m \le \bar{x} + 2\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)이다. 조건 (다)에서 신뢰구간이 \(\bar{x}-1 \le m \le \bar{x}+1\)이므로

따라서 \(m + \sigma + n = 8 + 4 + 64 = \mathbf{76}\)이다. 답: \(76\)

윷짝을 \(2023\)번 던져 평평한 면이 나오는 횟수를 확률변수 \(Y\)라 하면, \(Y\)가 짝수일 확률은 \(\sum_{j=0}^{1011} {}_{2023}C_{2j} p^{2j} (1-p)^{2023-2j}\)이다.

이항정리를 이용하여 \([p + (1-p)]^{2023}\)와 \([(1-p) - p]^{2023}\)을 전개하면:

두 식을 더하면 홀수 번째 항(\(k\)가 홀수)이 소거되고 짝수 번째 항만 남는다:

따라서 평평한 면이 나온 횟수가 짝수일 확률은 다음과 같다:

답: \(\frac{1 + (1-2p)^{2023}}{2}\) (또는 \(\frac{1 - (2p-1)^{2023}}{2}\))