[출처: 대수 Ⅱ-1. 사인법칙과 코사인법칙 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.30 탐구 6041 변형 / 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 함수의 극대와 극소 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.32 탐구 6041 변형 | 성취기준: 12대수02-03, 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅱ-03-01]
[문제 1] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)
오른쪽 그림과 같이 길이가 \(2\)인 선분 \(AB\)를 지름으로 하는 반원이 있다. 점 \(O\)는 선분 \(AB\)의 중점이다. 호 \(AB\) 위의 한 점 \(R\)에서 선분 \(AB\)에 내린 수선의 발을 \(H\)라 하고, 점 \(H\)에서 선분 \(AR\)에 내린 수선의 발을 \(P\)라 하자.
1-1 \(\angle ROB = \frac{\pi}{3}\)일 때, \(\overline{OP}^2 + \overline{BP}^2\)의 값을 구하시오. (15점)
1-2 점 \(R\)가 \(A\)에서 \(B\)까지 호 \(AB\) 위를 움직일 때, 선분 \(OP\)의 길이의 최솟값을 구하시오. (20점)
1-3 점 \(R\)가 \(A\)에서 \(B\)까지 호 \(AB\) 위를 움직일 때, 점 \(P\)가 이루는 곡선과 선분 \(AB\)로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 선분 \(AB\)에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피를 구하시오. (15점)
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.12 탐구 6042 변형 / 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분의 계산 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.15 탐구 6042 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅱ-01-04, 12미적Ⅱ-03-01]
[문제 2] 다음 물음에 답하시오. (50점)
2-1 수열 \(\{a_n\}\)은 모든 자연수 \(n\)에 대하여
\[ \frac{a_n}{n+1} = \int_0^\beta \sin^n x \cos x \, dx \]
를 만족시킨다. \(\sum_{n=1}^\infty a_n = \frac{1}{6}\)일 때, \(\tan\beta\)의 값을 구하시오. \(\left(\text{단, } 0 < \beta < \frac{\pi}{2}\right)\) (20점)
2-2 평균이 \(m\), 표준편차가 \(\sigma\)인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 \(n\)인 표본을 임의추출할 때, 표본평균을 \(\bar{X}\)라 하자. 이 모집단의 확률변수를 \(X\)라 할 때, 두 확률변수 \(X, \bar{X}\)가 다음 세 조건을 만족시킨다. 이때, \(m + \sigma + n\)의 값을 구하시오. (단, \(Z\)가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, \(P(0 \le Z \le 1.5) = 0.4332, P(0 \le Z \le 2.0) = 0.4772, P(0 \le Z \le 2.5) = 0.4938\)로 계산한다.) (15점)
(가) \(P(X \ge 8) + P(\bar{X} \ge 8) = 1\)
(나) \(P(X \ge 12) + P(\bar{X} \ge 7.5) = 1\)
(다) 표본평균의 값이 \(\bar{x}\)일 때, \(m\)에 대한 신뢰도 \(95.44\%\)의 신뢰구간이 \(\bar{x}-1 \le m \le \bar{x}+1\)이다.
2-3 평평한 면과 둥근 면이 나올 확률이 각각 \(p, 1-p\)인 윷짝 한 개를 \(2023\)번 던졌을 때, 평평한 면이 나온 횟수가 짝수일 확률을 \(p\)에 대한 식으로 나타내시오. (단, \(0\)은 짝수이다.) (15점)