\(a_n = a r^{n-1}\) (\(-1 \lt r \lt 1\))이라 하면 \(|a_n| = |a||r|^{n-1}, a_{2n} = a r^{2n-1} = ar \times (r^2)^{n-1}\)이다. 따라서

(경우 1) \(a > 0, 0 \lt r \lt 1\): \(\frac{ar}{1-r^2} = \frac{a}{1-r}\frac{r}{1+r} = \frac{20r}{1+r} = -4 \implies 5r = -(1+r) \implies r = -\frac{1}{6} < 0\) (모순).

(경우 2) \(a > 0, -1 \lt r \lt 0\): \(\frac{ar}{1-r^2} = \frac{a}{1+r}\frac{r}{1-r} = \frac{20r}{1-r} = -4 \implies 5r = -(1-r) \implies r = -\frac{1}{4}\). 이때 \(a = 20(1+r) = 15\).

(경우 3) \(a < 0, 0 \lt r \lt 1\): \(\frac{ar}{1-r^2} = -\frac{20r}{1+r} = -4 \implies 5r = 1+r \implies r = \frac{1}{4}\). 이때 \(a = -20(1-r) = -15\).

(경우 4) \(a < 0, -1 \lt r \lt 0\): \(5r = 1-r \implies r = \frac{1}{6} > 0\) (모순).

따라서 구하는 급수의 합 \(l = \sum_{n=1}^\infty a_{4n-1} = \frac{a r^2}{1-r^4}\)에 대입하면:

\((a, r) = (15, -1/4) \implies l = \mathbf{\frac{16}{17}}\), \((a, r) = (-15, 1/4) \implies l = \mathbf{-\frac{16}{17}}\)이다. 답: \(\frac{16}{17}, -\frac{16}{17}\)

\(\int_0^\alpha |f(x)|dx = \frac{50}{3} > 0\)이므로 \(\alpha > 0\)이다. \(0 < \alpha < \beta\)이고 \(f(x) = x^2 + px + q\)라 두면 \(q = \alpha\beta > 0\)이다.

\(y = |f(x)|\) 위의 점 \((6, |f(6)|)\)에서의 접선의 방정식을 \(y = h(x)\)라 할 때, \(f(6) \le 0\)이어야만 접선의 \(y\)절편이 \(|f(0)| = q\)가 될 수 있다. 미분가능하므로 \(f(6) \ne 0 \implies f(6) < 0\)이다.

\(h(0) = 36 - q = q \implies q = 18\). 근과 계수의 관계에서 \(q = \alpha\beta = 18, p = -(\alpha+\beta)\)이다. \(\alpha < \beta\)이므로 \(0 < \alpha < 3\sqrt{2}\)이고 \(0 < \alpha < 6 < \beta\)이다.

\(\int_0^\alpha f(x)dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}px^2 + qx \right]_0^\alpha = \frac{50}{3}\)에 \(q=18, p=-(\alpha+\frac{18}{\alpha})\)를 대입하여 정리하면 \(\alpha^3 - 54\alpha + 100 = 0\)이다.

\((\alpha-2)(\alpha^2+2\alpha-50) = 0\)에서 범위에 맞는 해는 \(\alpha = 2\)이다. 따라서 \(\beta = 9, p = -11\)이므로 \(f(x) = x^2 - 11x + 18\)이다. 따라서 \(f(10) = 100 - 110 + 18 = \mathbf{8}\)이다. 답: \(8\)

\(P(x) = e^{-x}\cos x\)라 두면 \(P'(x) = -e^{-x}(\cos x + \sin x)\)이다. \(P'(x) = 0\)은 \(\tan x = -1\)일 때 성립한다.

\(x = \frac{3\pi}{4}\)에서 \(P(x)\)는 극솟값을 갖고 \(P(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-\frac{3\pi}{4}}\)이다. 따라서 \(g(x) = |P(x)|\)는 \(x = \frac{3\pi}{4}\)에서 첫 번째 극댓값 \(g(\frac{3\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-\frac{3\pi}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{\pi}{4}}e^{-\pi}\)를 갖는다. 조건에 의해 \(b_1 = g(\frac{3\pi}{4})\)이다.

일반적으로 \(g(x)\)의 \(n\)번째 극댓값은 \(x = \frac{4n-1}{4}\pi\)에서 나타나며, 수열 \(\{b_n\}\)은 첫째항이 \(b_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{\pi}{4}}e^{-\pi}\)이고 공비가 \(e^{-\pi}\)인 등비수열이다.

\(0 < e^{-\pi} < 1\)이므로 급수의 합은 다음과 같다:

답: \(\frac{e^{\pi/4}}{\sqrt{2}(e^\pi - 1)}\)

\(k\)는 \(\frac{1}{4}\)의 확률로 \(1, 2, 3, 4\) 중 하나의 값을 갖는다. 빨간 상자에서 \(4\)개의 공을 동시에 꺼낼 때 공 \(5\)의 개수 \(l\)의 확률분포는 \(P(L=l) = \frac{{}_4C_l \times {}_3C_{4-l}}{{}_7C_4}\)이다.

\(P(L=1) = \frac{4}{35}, P(L=2) = \frac{18}{35}, P(L=3) = \frac{12}{35}, P(L=4) = \frac{1}{35}\)이다.

확률변수 \(W = \frac{k}{l}\)의 확률분포는 다음과 같이 정리된다:

기댓값 계산: \(E(W) = \sum w P(W=w) = \frac{1}{140} \times \left( \frac{1}{4} + 4 + \frac{19}{2} + 8 + \frac{3}{4} + 35 + 16 + 27 + 44 + 12 + 16 \right) = \mathbf{\frac{69}{56}}\)이다. 답: \(\frac{69}{56}\)

\(k, l\)에 대하여 최단경로의 수 \(U = \frac{(k+l)!}{k! l!}\)의 값은 다음과 같다:

\(U \le 10\)을 만족하는 순서쌍 \((k, l)\)은 \((1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (4,1)\)의 10가지이다.

\(P(U \le 10) = \frac{1}{140} \times (4\times 1 + 18\times 2 + 12\times 3 + 1\times 4 + 4\times 2 + 18\times 2 + 12\times 2 + 4\times 3 + 18\times 1 + 4\times 4) = \frac{95}{140} = \mathbf{\frac{19}{28}}\)이다. 답: \(\frac{19}{28}\)

\(Y = -0.5X + 5\)이므로 평균 \(m = E(Y) = -0.5 E(X) + 5 = -0.5(10) + 5 = 0\),

표준편차 \(\sigma = \sigma(Y) = |-0.5|\sigma(X) = 0.5 \times 4 = 2\)이다.

1) 신뢰도 \(98.76\%\)의 신뢰구간: \(P(0 \le Z \le 2.5) = 0.4938\)에서 \(2 \times 0.4938 = 0.9876\)이므로 \(z = 2.5\)이다.

신뢰구간의 길이 \(b - a = 2 \times 2.5 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{5 \times 2}{\sqrt{n}} = \frac{10}{\sqrt{n}}\)이다. 조건 \(1 < b - a\)에서 \(1 < \frac{10}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} < 10 \implies \mathbf{n < 100}\)이다.

2) 신뢰도 \(86.64\%\)의 신뢰구간: \(P(0 \le Z \le 1.5) = 0.4332\)에서 \(2 \times 0.4332 = 0.8664\)이므로 \(z = 1.5\)이다.

신뢰구간의 길이 \(d - c = 2 \times 1.5 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{3 \times 2}{\sqrt{n}} = \frac{6}{\sqrt{n}}\)이다. 조건 \(d - c < \frac{6}{5}\)에서 \(\frac{6}{\sqrt{n}} < \frac{6}{5} \implies \sqrt{n} > 5 \implies \mathbf{n > 25}\)이다.

따라서 자연수 \(n\)의 범위는 \(26 \le n \le 99\)이므로, 최댓값은 \(99\), 최솟값은 \(26\)이다.

답: 최댓값 \(99\), 최솟값 \(26\)