\(A_n\)의 원소의 개수를 \(b_n\)이라 하자. \(b_1 = 1, b_2 = 2\)이고, \(n \ge 3\)일 때 \(A_n\)의 원소는 일의 자리를 제외한 자리에 \(0\)이 \(1\)개 이하인 경우이므로 숫자 \(1\)이 \(n-2\)번, \(n-1\)번, \(n\)번 나타나는 원소로 구분된다.

따라서 \(n \ge 3\)일 때 \(b_n = (n-2) + (n-1) + 1 = 2(n-1)\)이다.

\(10^5\)보다 작은 수 카드의 개수는 \(\sum_{k=1}^5 b_k = 1 + 2 + 4 + 6 + 8 = 21\)이다. 상자 안에 들어갈 수 있는 \(10^5\)보다 크고 \(10^9\)보다 작은 수 카드의 최대 개수는 \(\sum_{k=6}^9 b_k = 10 + 12 + 14 + 16 = 52\)이다.

(경우 1) 상자 안의 해당 카드 개수가 \(52\)보다 작은 경우: \(\frac{r-21}{r} = \frac{4}{7} \implies 3r = 147 \implies r = 49\). 하지만 조건 \(r > 60\)에 모순이다.

(경우 2) 상자 안의 해당 카드 개수가 \(52\)인 경우: \(\frac{52}{r} = \frac{4}{7} \implies r = 91\). 이는 \(r > 60\)을 만족한다. 따라서 \(r = 91\)이다.

\(\sum_{k=1}^n b_k = n^2 - n + 1 = 91\)을 만족하는 자연수 \(n\)은 \(10\)이다.

\(n \ge 3\)일 때 \(A_n\)의 원소 중 숫자 \(0\)이 \(2\)번 나타나는 원소는 \(n-2\)개, \(1\)번 나타나는 원소는 \(n-1\)개, \(0\)번 나타나는 원소는 \(1\)개이다.

\(P(X=0) = \frac{10}{91}\), \(P(X=1) = \frac{1}{91}\sum_{k=2}^{10}(k-1) = \frac{45}{91}\), \(P(X=2) = \frac{1}{91}\sum_{k=3}^{10}(k-2) = \frac{36}{91}\)이다.

\(E(X) = 0 \times \frac{10}{91} + 1 \times \frac{45}{91} + 2 \times \frac{36}{91} = \frac{117}{91} = \frac{9}{7}\),

\(E(X^2) = 0^2 \times \frac{10}{91} + 1^2 \times \frac{45}{91} + 2^2 \times \frac{36}{91} = \frac{189}{91} = \frac{27}{13}\).

따라서 \(V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2 = \frac{189}{91} - \frac{81}{49} = \frac{1890}{49 \times 91} = \mathbf{\frac{270}{637}}\)이다.

\(a_1 = 1, a_2 = 3\)이다. \(n \ge 3\)일 때 \(A_n\)의 원소는 숫자 \(1\)이 \(n-2\)번, \(n-1\)번, \(n\)번 나타나는 원소의 개수가 각각 \(n-2, n-1, 1\)개이므로

으로 나타낼 수 있다. \(n=2\)일 때도 \(a_2 = 2(2^2) - 5(2) + 5 = 3\)이므로 성립한다. 따라서

답: \(4789\)

곡선 \(y = f(x) = \frac{1}{x^2+1}\) 위의 점 \((s, f(s))\) (\(s \ne t\))에서의 접선 방정식은 \(y = -\frac{2s}{(s^2+1)^2}(x-s) + \frac{1}{s^2+1}\)이고 \(x\)절편은 \(\frac{1}{2}\left(3s + \frac{1}{s}\right)\)이다.

이 접선이 점 \(A(t, f(t))\)를 지나므로 대입하여 정리하면 \((s-t)(s^2 + 2ts - 1) = 0\)을 얻는다.

\(s \ne t\)이므로 \(s^2 + 2ts - 1 = 0 \implies s = -t \pm \sqrt{t^2+1}\)이다. 두 접선의 \(x\)절편은 각각 \(-t + 2\sqrt{t^2+1}\), \(-t - 2\sqrt{t^2+1}\)이다. 밑변의 길이는 \(4\sqrt{t^2+1}\)이고 높이는 \(f(t) = \frac{1}{t^2+1}\)이므로,

\(y = -3x + 10n\)을 \(x^2 + y^2 = 40n^4\)에 대입하여 정리하면 \(x^2 - 6nx + 10n^2 - 4n^4 = 0\)이다.

두 교점 \(P_n, Q_n\)의 \(x\)좌표는 \(x = 3n \pm n\sqrt{4n^2-1}\)이다.

\((2n^2-1)^2 < n^2(4n^2-1) < (2n^2)^2\)이므로 \(2n^2 - 1 < n\sqrt{4n^2-1} < 2n^2\)이다.

따라서 선분 \(P_n Q_n\) 위의 점 중 \(x\)좌표가 정수인 점의 개수 \(T_n\)은

이다. \(\sum_{k=1}^n a_k = T_n + 1 = 4n^2\)이므로 \(a_1 = 4\)이고, \(n \ge 2\)일 때 \(a_n = 4n^2 - 4(n-1)^2 = 8n - 4\)이다. 따라서 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n = 8n - 4\)이다.

\(\frac{a_k + 4}{16n} = \frac{(8k-4)+4}{16n} = \frac{k}{2n}\)이다. \(g''\)가 닫힌구간 \([0, 1/2]\)에서 연속이므로

\(g'(t) = -\frac{2t}{(t^2+1)^{3/2}}\)가 \(g''(t)\)의 부정적분이므로

답: \(-\frac{16\sqrt{5}}{25}\)