[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그의 성질 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.20 탐구 6021 변형 / 확률과 통계 이산확률변수의 기댓값과 분산 (DB: KICE_2028) PDF p.5 탐구 6021 변형 | 성취기준: 12대수01-04, 12대수03-03, 12확통03-02]
[문제 1] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)
각 자릿수가 \(0\) 또는 \(1\)이고, 일의 자리를 제외한 각 자리에 나타나는 \(0\)의 개수의 합이 \(1\) 이하인 모든 자연수의 집합을 \(A\)라 하자. 또한 자연수 \(n\)에 대하여 집합
\[A_n = \{x \mid x \in A \text{ 이고 } n-1 \le \log_{10} x < n\}\]
이라 하자. 예를 들어, \(11101110\), \(11111110\)은 집합 \(A_8\)의 원소이고 \(11111001\)은 집합 \(A_8\)의 원소가 아니다.
\(60\)보다 큰 자연수 \(r\)에 대하여, 집합 \(A\)의 원소를 작은 수부터 크기순으로 나열하여 첫 번째부터 \(r\)번째까지의 숫자를 크기와 모양이 같은 카드에 한 개씩 적어 상자에 넣었다. 이 상자에서 임의로 한 장의 그 카드에 적힌 숫자가 \(10^5\)보다 크고 \(10^9\)보다 작은 수일 확률이 \(\frac{4}{7}\)이다. 이 상자에서 임의로 한 장의 카드를 뽑아 그 카드에 적힌 숫자에 나타나는 \(0\)의 개수를 확률변수 \(X\)라 하자.
1-1 \(r\)의 값을 구하시오. (15점)
1-2 \(V(X)\)의 값을 구하시오. (20점)
1-3 집합 \(A_n\)의 원소에 나타나는 숫자 \(1\)의 총 개수를 \(a_n\)이라 하자. 예를 들어, \(A_2 = \{10, 11\}\)이므로 \(a_2 = 3\)이다. 이때 \(\sum_{k=1}^{20} a_k\)의 값을 구하시오. (15점)
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 접선의 방정식 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.24 탐구 6022 변형 / 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 6022 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅱ-03-01]
[문제 2] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)
<가> 함수 \(f(x) = \frac{1}{x^2+1}\)과 \(-\frac{1}{\sqrt{3}} \lt t \lt \frac{1}{\sqrt{3}}\)인 실수 \(t\)에 대하여 점 \(A(t, f(t))\)가 있다. 점 \(A\)가 아닌 곡선 \(y=f(x)\) 위의 서로 다른 두 점 \(B, C\)에 대하여 점 \(B\)에서의 접선과 점 \(C\)에서의 접선이 모두 점 \(A\)를 지날 때, 직선 \(AB\), 직선 \(AC\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 \(g(t)\)라 하자.
<나> 자연수 \(n\)에 대하여 원 \(x^2+y^2 = 40n^4\)과 직선 \(y = -3x + 10n\)이 만나는 서로 다른 두 점을 \(P_n, Q_n\)이라 하자. 선분 \(P_n Q_n\) 위의 점 중 \(x\)좌표가 정수인 점의 개수를 \(T_n\)이라 하자.
<다> 수열 \(\{a_n\}\)은 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(\sum_{k=1}^n a_k = T_n + 1\)을 만족시킨다.
2-1 \(g(t)\)를 \(t\)에 대한 식으로 나타내시오. (20점)
2-2 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항을 구하시오. (20점)
2-3 \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n g''\left(\frac{a_k+4}{16n}\right)\)의 값을 구하시오. (10점)