삼각형 \(ABC\)의 세 변의 길이를 각각 \(\overline{BC} = a\), \(\overline{AC} = b = 3\), \(\overline{AB} = c = 5\), \(\angle A\)의 크기를 \(\theta\)라 하자.
삼각형 \(ABC\)의 넓이 \(S = \frac{1}{2}bc\sin\theta = \sqrt{26}\)이므로 \(\sin\theta = \frac{2S}{bc} = \frac{2\sqrt{26}}{3 \times 5} = \frac{2\sqrt{26}}{15}\)이다.
\(\angle A\)가 예각이므로 \(\cos\theta = \sqrt{1 - \sin^2\theta} = \sqrt{1 - \frac{104}{225}} = \sqrt{\frac{121}{225}} = \frac{11}{15}\)이다.
코사인법칙에 의해 \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\theta = 9 + 25 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \frac{11}{15} = 34 - 22 = 12 \implies a = 2\sqrt{3}\)이다.
삼각형의 내접원의 반지름을 \(r\)이라 하면 \(S = \frac{1}{2}(a+b+c)r\)이므로
\(r = \frac{2S}{a+b+c} = \frac{2\sqrt{26}}{2\sqrt{3} + 3 + 5} = \frac{2\sqrt{26}}{8 + 2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{26}}{4 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{26}(4 - \sqrt{3})}{16 - 3} = \frac{4\sqrt{26} - \sqrt{78}}{13}\)이다.
[답] \(\frac{4\sqrt{26} - \sqrt{78}}{13}\)

\(a_n\)은 (전체 함수의 개수) \(-\) (\(f(a)\)가 짝수이면서 \(f(b)\)가 홀수인 함수의 개수)이다.
전체 함수의 개수는 \(n^3\)이며, 곱의 법칙에 의해 제외할 함수의 개수는 (짝수 개수) \(\times\) (홀수 개수) \(\times n\)이다.
- \(n = 2k-1\) (홀수)일 때: \(a_{2k-1} = (2k-1)^3 - (k-1)k(2k-1) = 6k^3 - 9k^2 + 5k - 1\)
- \(n = 2k\) (짝수)일 때: \(a_{2k} = (2k)^3 - k^2(2k) = 6k^3\)
두 항의 합은 \(a_{2k-1} + a_{2k} = 12k^3 - 9k^2 + 5k - 1\)이다.
\(S_1 = a_1 = 1\)이고, 자연수 거듭제곱 합 공식을 적용하면:
\(S_9 = \sum_{k=1}^5 (a_{2k-1} + a_{2k}) - a_{10} = \sum_{k=1}^5 (12k^3 - 9k^2 + 5k - 1) - 6 \times 5^3 = 2700 - 495 + 75 - 5 - 750 = 1525\)
\(S_{12} = \sum_{k=1}^6 (12k^3 - 9k^2 + 5k - 1) = 5292 - 819 + 105 - 6 = 4572\)
따라서 \(\frac{S_9 - S_1}{S_{12}} = \frac{1525 - 1}{4572} = \frac{1524}{4572} = \frac{1}{3}\)이다.
[답] \(\frac{1}{3}\)

\(f(x) = x^3 - 3x + 2\), \(c = 4\sin\frac{(2n-1)\pi}{6}\)라 하고, \(g(c) = \int_{1/2}^2 |x^3 - 3x + 2 - c| dx\)라 하자.
\(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)\)이므로 구간 \([1/2, 2]\)에서 최솟값은 \(f(1) = 0\), 최댓값은 \(f(2) = 4\)이다.
자연수 \(n\)에 대하여 \(c\)가 가질 수 있는 값은 \(-4, -2, 2, 4\)의 4개뿐이다.
- \(c = -4, -2, 4\)일 때: 정적분을 계산하면 각각 \(g(-4) = \frac{471}{64} > 4\), \(g(-2) = \frac{279}{64} > 4\), \(g(4) = \frac{297}{64} > 4\).
- \(c = 2\)일 때: \(f(\sqrt{3}) = 2\)이므로 구간을 나누어 계산하면 \(g(2) = \frac{137}{64} < 4\) (\(4 = \frac{256}{64}\))이 성립한다.
따라서 \(g(c) < 4\)를 만족하는 경우는 \(c = 2\)뿐이며, 이는 \(n = 6k-5\) 또는 \(n = 6k-3\)인 경우이다.
\(2025 = 6 \times 338 - 3\)이므로, \(2026\)보다 작은 자연수 \(n\)의 개수는 \(2 \times 338 = 676\)개이다.
[답] \(676\)

함수 \(F(x) = \int_0^x f(t) dt\)라 하자. \(s(t) = e^t - \cos t\)라 두면 열린구간 \((0, 2\pi)\)에서 \(s(t) \ge 0\)이고 \(s'(t) = e^t + \sin t > 0\)이므로 \((s(t))^{2026}\)은 단조 증가한다.
\((0, \pi)\)에서 \((s(t+\pi))^{2026} > (s(t))^{2026}\)이고 \(\sin(t+\pi) = -\sin t\)이므로
\(F(2\pi) = \int_0^{2\pi} f(t) dt = \int_0^\pi [(s(t+\pi))^{2026} - (s(t))^{2026}]\sin t dt > 0 = F(0)\)이다.
\(x < 0\)일 때 \(F(x) = \int_0^x f(t) dt = \int_0^{-x} \{-f(-s)\} ds = \int_0^{-x} f(s) ds = F(-x)\)이므로 \(F(x)\)는 우함수이다.
\(h(x) = \int_a^x f(t) dt = F(x) - F(a)\)이고 \(h(a) = 0\)이다.
함수 \(g(x) = |h(x)|\)가 실수 전체에서 미분가능하려면 곡선 \(y = F(x)\)와 직선 \(y = F(a)\)의 모든 교점에서 \(F'(x) = f(x) = 0\)이 성립해야 한다.
함수 \(y = F(x)\)의 그래프 개형에 의해 접선의 기울기가 \(0\)이면서 극값이 일치하여 꺾임점 없이 부드럽게 접하는 \(a\)의 값은 \(-2\pi, -\pi, \pi, 2\pi\)이다.
[답] \(a = -2\pi, -\pi, \pi, 2\pi\)

연립방정식 \(y = a(x-1)\), \(x^2 + y^2 = 1\)을 풀면 교점의 좌표는 \(P(1, 0)\), \(Q\left(\frac{a^2-1}{a^2+1}, -\frac{2a}{a^2+1}\right)\)이다.
선분 \(\overline{PQ}\)의 길이는 \(\overline{PQ} = \frac{2}{\sqrt{a^2+1}}\)이고, 점 \(P\)와 직선 \(L': y = a(x-1) + k\) 사이의 거리는 \(d = \frac{k}{\sqrt{a^2+1}}\)이다.
직사각형 \(PBCQ\)의 넓이는 \(d \times \overline{PQ} = \frac{2k}{a^2+1}\)이다.
또한 두 점 \(R, S\)의 \(x\)좌표의 차를 \(d_x = \frac{2\sqrt{1+a^2-(a-k)^2}}{1+a^2}\)라 하면, \(\overline{RS} = d_x \sqrt{1+a^2} = \frac{2\sqrt{1+a^2-(a-k)^2}}{\sqrt{1+a^2}}\)이다.
직사각형 \(ARSD\)의 넓이는 \(d \times \overline{RS} = k \cdot \frac{2\sqrt{1+a^2-(a-k)^2}}{1+a^2}\)이다.
둘러싸인 영역의 넓이 \(S(k)\)는 직사각형 \(PBCQ\)를 포함하고 직사각형 \(ARSD\)의 내부에 존재하므로
\(\frac{2k}{a^2+1} \le S(k) \le k \cdot \frac{2\sqrt{1+a^2-(a-k)^2}}{1+a^2} \implies \frac{2}{a^2+1} \le \frac{S(k)}{k} \le \frac{2\sqrt{1+a^2-(a-k)^2}}{1+a^2}\)이다.
조임정리에 의해 \(k \to 0^+\)일 때 극한값을 취하면 \(\lim_{k \to 0^+} \frac{S(k)}{k} = \frac{2}{1+a^2}\)이다.
[답] \(\frac{2}{1+a^2}\)

\(h(t) = f(g(t))\)의 양변을 미분하면 \(h'(t) = f'(g(t))g'(t)\), \(h''(t) = f''(g(t))\{g'(t)\}^2 + f'(g(t))g''(t)\)이다.  ··· ㉠
조건 (2)에서 \(t=1\)일 때 점 \(P\)의 속력 \(\sqrt{1+\{g'(t)\}^2}\)이 최대이므로 \(\{g'(t)\}^2\)도 최대이다. 따라서 \(2g'(1)g''(1) = 0\).
속력이 \(\sqrt{2}\)이므로 \(\sqrt{1+\{g'(1)\}^2} = \sqrt{2} \implies g'(1) = \pm 1\).
조건 (3), (4)에서 \(f'(g(1))g'(1) = h'(1) = \frac{9}{4} > 0\)이고 \(f'(x) > 0\)이므로 \(g'(1) = 1, g''(1) = 0\)이다.
㉠에서 \(f'(g(1)) = \frac{9}{4}\), \(f''(g(1)) = h''(1) = -2\)이다.  ··· ㉡
조건 (1)에 의해 \(g(1/4) = 0, g''(1/4) = 1\). 따라서 \(f(0) = f(g(1/4)) = h(1/4) = 0\).  ··· ㉢
또한 \(g(t) \ge 0 = g(1/4)\)이므로 최솟값 조건에서 \(g'(1/4) = 0\).
㉠에 대입하면 \(f'(0) = f'(g(1/4)) = \frac{h''(1/4)}{g''(1/4)} = \frac{4}{1} = 4\).  ··· ㉣
㉢, ㉣에서 삼차함수는 \(f(x) = x^3 + ax^2 + 4x\) (\(a\)는 실수)이다.
\(g(1) = b \ge 0\)이라 하면 ㉡에서 \(3b^2 + 2ab + 4 = \frac{9}{4} \implies 3b^2 + 2ab + \frac{7}{4} = 0\), \(6b + 2a = -2 \implies 3b + a = -1\).
연립하면 \(a = -\frac{5}{2}, b = \frac{1}{2} \ge 0\). 따라서 \(f(x) = x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 4x\)이다.
그러므로 \(f(3) = 3^3 - \frac{5}{2}(3^2) + 4(3) = 27 - \frac{45}{2} + 12 = 39 - \frac{45}{2} = \frac{33}{2}\)이다.
[답] \(\frac{33}{2}\)