[출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.28 탐구 6011 변형 / 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.26 탐구 6011 변형 | 성취기준: 12대수02-03, 12대수03-03, 12미적Ⅰ-03-05]
[문제 1] 다음 물음에 답하시오. (50점)
삼각함수의 성질(사인법칙, 코사인법칙), 경우의 수의 곱의 법칙 및 수열의 합, 다항함수의 정적분 개념을 바탕으로 논리적으로 논증하시오.
1-1 \(\overline{AB} = 5\), \(\overline{AC} = 3\)이고 넓이가 \(\sqrt{26}\)인 삼각형 \(ABC\)가 있다. \(\angle A\)가 예각일 때 삼각형 \(ABC\)의 내접원의 반지름의 길이를 구하시오. (15점)
1-2 자연수 \(n\)에 대하여 집합 \(X = \{a, b, c\}\)에서 집합 \(Y = \{y \mid y\text{는 } n\text{ 이하의 자연수}\}\)로의 함수 \(f\) 중에서 다음 조건을 만족시키는 것의 개수를 \(a_n\)이라 하자.
\(f(a)\)는 홀수 또는 \(f(b)\)는 짝수이다.
\(S_n = \sum_{k=1}^n a_k\)라 할 때 \(\frac{S_9 - S_1}{S_{12}}\)의 값을 구하시오. (15점)
1-3 \(\int_{1/2}^2 \left| (x+2)(x-1)^2 - 4\sin\frac{(2n-1)\pi}{6} \right| dx < 4\)를 만족시키고 \(2026\)보다 작은 자연수 \(n\)의 개수를 구하시오. (20점)
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분과 미분의 관계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.12 탐구 6012 변형 / 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 접선의 방정식과 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.22 탐구 6012 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-01-02]
[문제 2] 다음 물음에 답하시오. (50점)
초월함수와 삼각함수의 대칭성 및 정적분으로 정의된 함수의 미분가능성, 원과 접선의 위치 관계 및 극한의 조임정리(샌드위치 정리), 속도·가속도와 합성함수의 이계도함수 성질을 종합적으로 활용하시오.
2-1 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.
(1) \(f(x) = \begin{cases} -(e^x - \cos x)^{2026}\sin x & (0 \le x \le 2\pi) \\ x - 2\pi & (x > 2\pi) \end{cases}\)
(2) \(x < 0\)일 때 \(f(x) = -f(-x)\)
함수 \(g(x) = \left| \int_a^x f(t) dt \right|\)가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 실수 \(a\)의 값을 모두 구하시오. (15점)
2-2 원 \(x^2 + y^2 = 1\)과 직선 \(y = a(x-1)\) (\(a > 1\))이 서로 다른 두 점 \(P, Q\)에서 만나고, 원 \(x^2 + y^2 = 1\)과 직선 \(y = a(x-1) + k\) (\(k\)는 양의 실수)가 서로 다른 두 점 \(R, S\)에서 만난다. 두 선분 \(PQ, RS\)와 길이가 \(\pi\)보다 작은 두 호 \(PR, QS\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(S(k)\)라 하자. 극한값 \(\lim_{k \to 0^+} \frac{S(k)}{k}\)를 구하시오. (단, 점 \(P\)의 \(x\)좌표는 점 \(Q\)의 \(x\)좌표보다 크고, 점 \(R\)의 \(x\)좌표는 점 \(S\)의 \(x\)좌표보다 크다.) (15점)
2-3 모든 실수 \(t\)에 대하여 함수 \(g(t)\)가 \(g(t) \ge 0\)이고 이계도함수를 갖는다. 좌표평면 위를 움직이는 점 \(P\)의 시각 \(t\) (\(0 \le t \le 4\))에서의 위치를 \((t, g(t))\)라 하자. 점 \(P\), 함수 \(f(x)\)와 함수 \(h(t) = f(g(t))\) (\(0 \le t \le 4\))는 다음 조건을 만족시킨다.
(1) \(t = \frac{1}{4}\)일 때 점 \(P\)는 \(x\)축 위에 있고 가속도는 \((0, 1)\)이다.
(2) \(t = 1\)일 때 점 \(P\)의 속력이 최대가 되고, 이때 속력은 \(\sqrt{2}\)이다.
(3) 함수 \(f(x)\)는 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수이고, \(x \ge 0\)인 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f'(x) > 0\)이다.
(4) \(h\left(\frac{1}{4}\right) = 0\), \(h'(1) = \frac{9}{4}\), \(h''\left(\frac{1}{4}\right) = 4\), \(h''(1) = -2\)
\(f(3)\)의 값을 구하시오. (20점)