[출처: 확률과 통계 중복조합과 모비율의 추정 (DB: KICE_2028) PDF p.4 탐구 6101 변형 / 미래엔 대수 Ⅲ-1. 수열의 합 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.15 탐구 6101 변형 | 성취기준: 12확통01-02, 12확통03-04, 12확통03-06, 12대수03-03]
[문제 1] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)
<가> 방정식 \(x + y + z + w = 10\)을 만족시키는 음이 아닌 네 정수 \(x, y, z, w\)의 모든 순서쌍 \((x, y, z, w)\) 중에서 임의로 한 개를 선택한다. 선택된 순서쌍이 부등식 \((x - y)(z - w) \ne 0\)과 \(x \ge 2\)를 동시에 만족시키는 사건을 \(E\)라 하자.
<나> \(2022\) 개정 교육과정 확률과 통계의 모비율 추정에 의하면, 모비율이 \(p\)인 모집단에서 크기가 \(n\)인 표본을 임의추출하여 구한 표본비율을 \(\hat{p}\)이라 할 때, \(n\)이 충분히 크면 \(\hat{p}\)은 근사적으로 정규분포 \(N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right)\)를 따른다.
<다> 어느 반도체 공장에서 생산되는 웨이퍼 중 우량품의 비율을 알아보기 위해 크기가 \(n = 400\)인 표본을 임의추출하였더니 표본비율이 \(\hat{p} = 0.8\)이었다. (단, 표준정규분포를 따르는 확률변수 \(Z\)에 대하여 \(P(|Z| \le 1.96) = 0.95\), \(P(|Z| \le 2.58) = 0.99\)로 계산한다.)
1-1 중복조합을 이용하여 방정식 \(x + y + z + w = 10\)의 음이 아닌 정수해의 총개수와 \(x \ge 2\)를 만족하는 해의 개수를 각각 구하시오. (15점)
1-2 포함·배제의 원리(여사건)를 이용하여 제시문 <가>에서 사건 \(E\)가 일어날 확률 \(P(E)\)를 기약분수로 구하시오. (15점)
1-3 제시문 <나>, <다>를 바탕으로 모비율 \(p\)에 대한 신뢰도 \(95\%\)의 신뢰구간 \([a, b]\)를 구하고, 동일한 표본비율 \(\hat{p} = 0.8\)에서 신뢰도 \(99\%\)의 신뢰구간의 길이가 \(0.0516\) 이하가 되도록 하는 표본의 크기 \(n\)의 최솟값을 구하시오. (20점)
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 연속함수의 성질 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.30 탐구 6102 변형 / 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 극대·극소 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.50 탐구 6102 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-03-05]
[문제 2] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)
<가> 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)와 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(g(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.
(1) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(-x) = -f(x)\)이고, 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((1, f(1))\)에서의 미분계수는 \(f'(1) = 0\)이다.
(2) \(g(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & (x < 1) \\ 2x - 1 & (x \ge 1) \end{cases}\)는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.
<나> 합성함수 \(h(x) = (f \circ g)(x) = f(g(x))\)의 극댓값과 극솟값의 위치를 조사하고, 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = x\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S\)라 하자.
2-1 제시문 <가>의 조건으로부터 삼차함수 \(f(x)\)의 식과 상수 \(a, b\)의 값을 각각 확정하시오. (15점)
2-2 합성함수 \(h(x) = f(g(x))\)의 도함수 \(h'(x)\)를 구하고, \(h(x)\)가 극값을 갖는 모든 \(x\)의 값과 그때의 극댓값·극솟값을 구하시오. (15점)
2-3 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = x\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구하고, 정적분 \(\int_{-1}^2 h(x)\,dx\)의 값을 계산하시오. (20점)