\(f(1) = e^0 + 1 = 2\)이고 \(f'(x) = e^{x-1}\)이므로 \(f'(1) = 1\)이다. 역함수 \(g(x)\)도 점 \((2, 1)\)이 아닌 \((1, 2)\) 대칭점, 잠깐: \(f(1) = 2\)가 아니라 \(y = x\) 위의 점을 확인하기 위해 \(f(x) - x = e^{x-1} + 1 - x\)를 살피면 \(x = 1\)일 때 \(f(1) = 2\)이다. 만약 \(f(x) = e^{x-1}\)이면 \(f(1) = 1\)이다. 제시문의 \(f(x) = e^{x-1} + 1\)에서는 \(f'(x) = e^{x-1}\)이므로 기울기가 \(1\)인 접선은 \(x = 1\)에서 \(y = x + 1\)이고, \(g(x) = \ln(x-1) + 1\)의 기울기 \(1\)인 접선은 \(x = 2\)에서 \(y = x - 1\)이다.

또한 \(h(x) = f(x) - x = e^{x-1} + 1 - x\)라 하면 \(h'(x) = e^{x-1} - 1\)이다. \(x > 1\)에서 평균값 정리에 의해 \(\frac{e^{x-1} - 1}{x - 1} = e^{c-1} > 1\) (\(1 < c < x\))이므로 \(e^{x-1} > x\), 즉 \(f(x) = e^{x-1} + 1 > x + 1 > x\)가 성립한다. 역함수 대칭성에 의해 \(x > 1\)에서 \(g(x) = \ln(x-1) + 1 < x - 1 < x\)이므로 \(g(x) < x < f(x)\)가 모든 \(x > 1\)에서 성립한다.

직선 \(x + y = e + 2\)와 \(y = f(x) = e^{x-1} + 1\)을 연립하면 \(e^{x-1} + x - 1 = e\)이다. 좌변은 순증가함수이고 \(x = 2\)일 때 \(e^1 + 1 = e + 1\), \(x = 1\)일 때 \(1 + 0 = 1\)이며, 특히 직선이 점 \(P(2, e+1)\)을 지나는 경우(\(k = e + 3\)) \(P(2, e+1)\)이고 \(y = x\) 대칭점 \(Q(e+1, 2)\)이다.

점 \(P\)에서의 접선 기울기는 \(m_1 = f'(2) = e\)이고, 대칭점 \(Q\)에서의 접선 기울기는 역함수 미분법에 의해 \(m_2 = \frac{1}{e}\)이다.

따라서 두 접선이 이루는 예각 \(\alpha\)에 대하여 삼각함수 덧셈정리를 적용하면 \(\tan\alpha = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right| = \frac{e - 1/e}{1 + 1} = \mathbf{\frac{e^2 - 1}{2e}}\)이다.

두 곡선 \(y = f(x) = e^{x-1} + 1\)과 \(y = g(x) = \ln(x-1) + 1\)은 직선 \(y = x\)에 대칭이며, \(x = 1\)일 때 \(f(1) = 2\) (점 \(A_0(1, 2)\))와 \(g(2) = 1\) (점 \(B_0(2, 1)\))은 선분 \(x + y = 3\)으로 연결되고, 상단 직선 \(x + y = e + 3\)은 \(P(2, e+1)\)과 \(Q(e+1, 2)\)를 잇는다.

직선 \(y = x\) 위쪽 절반 영역의 넓이는 \(\int_1^2 (f(x) - x)\,dx\)와 직각이등변삼각형 영역의 조합으로 계산된다: \(\int_1^2 (e^{x-1} + 1)\,dx = \left[e^{x-1} + x\right]_1^2 = (e + 2) - 2 = e\)이다.

대칭성을 이용하여 전체 둘러싸인 넓이 \(A\)를 정적분으로 정리하면 \(A = 2\int_1^2 (e^{x-1} + 1 - x)\,dx + \frac{(e)^2 - 1}{2} = 2\left(e - \frac{1}{2}\right) + \frac{e^2 - 1}{2} = \mathbf{\frac{e^2 + 4e - 3}{2}}\)이다.

위치 성분을 \(t\)에 대하여 미분하면 \(x'(t) = e^t - e^{-t}\), \(y'(t) = 2 - e^t - e^{-t}\)이므로 속도벡터는 \(\vec{v}(t) = (e^t - e^{-t}, 2 - e^t - e^{-t})\)이다.

속력의 제곱은 \(|\vec{v}(t)|^2 = (e^t - e^{-t})^2 + (2 - (e^t + e^{-t}))^2 = (e^{2t} - 2 + e^{-2t}) + 4 - 4(e^t + e^{-t}) + (e^{2t} + 2 + e^{-2t}) = 2(e^{2t} + e^{-2t}) - 4(e^t + e^{-t}) + 4\)이다.

특히 \(u = e^t + e^{-t}\)라 하면 \(e^{2t} + e^{-2t} = u^2 - 2\)이므로 \(|\vec{v}(t)|^2 = 2(u^2 - 2) - 4u + 4 = 2u(u - 2)\)이다. 또한 첫 번째 성분을 \(x(t) = 2\sqrt{2}t\), \(y(t) = e^t + e^{-t}\) 표준 쌍곡선 현수선 결합으로 환산하거나, 주어진 식에서 \(t = 0\)부터 \(t = \ln 3\)까지 \(u(0) = 2, u(\ln 3) = \frac{10}{3}\)을 적분하면 곡선 길이 공식 \(L = \int_0^{\ln 3} |\vec{v}(t)|\,dt\)가 확정된다.

가속도벡터는 \(\vec{a}(t) = (x''(t), y''(t)) = (e^t + e^{-t}, -e^t + e^{-t})\)이다.

내적 \(\vec{v}(t)\cdot\vec{a}(t) = \frac{1}{2}\frac{d}{dt}|\vec{v}(t)|^2 = (e^t - e^{-t})(e^t + e^{-t}) + (2 - e^t - e^{-t})(-e^t + e^{-t}) = 2(e^t - e^{-t})(e^t + e^{-t} - 1)\)이다.

\(t \ge 0\)에서 \(e^t + e^{-t} \ge 2 > 1\)이므로 \(\vec{v}(t)\cdot\vec{a}(t) = 0\)이 되는 시각은 \(e^t - e^{-t} = 0\), 즉 \(t_0 = \mathbf{0}\)이다. 이때 \(\vec{v}(0) = (0, 0)\) 극한 접선 방향과 가속도 \(\vec{a}(0) = (2, 0)\)으로부터 \(|\vec{v}(0)| = \mathbf{0}\)이다.

매개변수 미분법에 의해 접선의 기울기는 \(m(t) = \frac{dy}{dx} = \frac{y'(t)}{x'(t)}\)이다.

따라서 피적분함수는 \(m(t) x'(t) = \frac{y'(t)}{x'(t)} x'(t) = y'(t)\)이며, 구하는 정적분 \(\int_0^{\ln 3} m(t)x'(t)\,dt = \int_0^{\ln 3} y'(t)\,dt\)는 시각 \(t = 0\)부터 \(t = \ln 3\)까지 점 \(P\)의 \(y\)좌표의 위치 변화량 \(y(\ln 3) - y(0)\)을 의미한다.

\(y(0) = 0 - 1 + 1 = 0\)이고 \(y(\ln 3) = 2\ln 3 - 3 + \frac{1}{3} = 2\ln 3 - \frac{8}{3}\)이므로, 구하는 정적분의 값은 \(\mathbf{2\ln 3 - \frac{8}{3}}\)이다.