[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수의 그래프 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.18 탐구 6091 변형 / 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 접선과 평균값 정리 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.48 탐구 6091 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06, 12미적Ⅰ-03-05]
[문제 1] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)
<가> 좌표평면 위에 지수함수 \(f(x) = e^{x-1} + 1\)과 그 역함수 \(g(x) = \ln(x - 1) + 1\) (\(x > 1\))이 있다.
<나> 기울기가 \(-1\)인 직선 \(\ell_k : y = -x + k\) (\(k > 2\))가 두 곡선 \(y = f(x)\), \(y = g(x)\)와 만나는 교점을 각각 \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\)라 하자.
<다> 두 곡선 \(y = f(x)\), \(y = g(x)\) 및 직선 \(x + y = e + 2\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(A\)라 하자.
1-1 두 곡선 \(y = f(x)\)와 \(y = g(x)\)의 공통접선의 방정식을 구하고, \(x \ne 1\)인 모든 실수 \(x\) (\(x > 1\))에 대하여 부등식 \(g(x) < x < f(x)\)가 성립함을 평균값 정리로 논증하시오. (15점)
1-2 직선 \(x + y = e + 2\)와 두 곡선 \(y = f(x), y = g(x)\)의 교점 \(P, Q\)의 좌표를 구하고, 점 \(P\)에서의 \(y = f(x)\)의 접선과 점 \(Q\)에서의 \(y = g(x)\)의 접선이 이루는 예각 \(\alpha\)에 대하여 \(\tan\alpha\)의 값을 구하시오. (15점)
1-3 역함수의 대칭성을 이용하여 제시문 <다>의 도형의 넓이 \(A\)를 정적분으로 계산하시오. (20점)
[출처: 비상교육 기하 Ⅱ-2. 평면운동과 위치벡터 (DB: GEOM_Ch02) PDF p.44 탐구 6092 변형 / 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 속도와 거리 및 넓이 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.46 탐구 6092 변형 | 성취기준: 12기하02-03, 12미적Ⅰ-03-06, 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅱ-03-01]
[문제 2] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)<가> 좌표평면 위를 움직이는 점 \(P\)의 시각 \(t\) (\(0 \le t \le \ln 3\))에서의 위치 \((x(t), y(t))\)가 다음과 같이 주어져 있다.
\[x(t) = e^t + e^{-t}, \quad y(t) = 2t - e^t + e^{-t}\]
<나> 시각 \(t\)에서 점 \(P\)의 속도벡터를 \(\vec{v}(t)\), 가속도벡터를 \(\vec{a}(t)\)라 하고, 시각 \(t = 0\)부터 \(t = \ln 3\)까지 점 \(P\)가 실제로 움직인 거리(곡선의 길이)를 \(L\)이라 하자.
<다> 시각 \(t\)에서 속도벡터 \(\vec{v}(t)\)와 가속도벡터 \(\vec{a}(t)\)가 서로 수직이 되는 시각을 \(t_0\)라 하자.
2-1 시각 \(t\)에서 점 \(P\)의 속도벡터 \(\vec{v}(t)\)와 속력 \(|\vec{v}(t)|\)를 구하고, 시각 \(t = 0\)부터 \(t = \ln 3\)까지 점 \(P\)가 움직인 거리 \(L\)을 정적분으로 계산하시오. (15점)
2-2 속도벡터 \(\vec{v}(t)\)와 가속도벡터 \(\vec{a}(t)\)의 내적 \(\vec{v}(t)\cdot\vec{a}(t)\)를 구하고, 두 벡터가 서로 수직이 되는 시각 \(t_0\)와 그때의 속력 \(|\vec{v}(t_0)|\)를 구하시오. (15점)
2-3 점 \(P\)가 그리는 곡선 위에서 시각 \(t \in [0, \ln 3]\)에 대응하는 접선의 기울기를 \(m(t)\)라 할 때, 정적분 \(\int_0^{\ln 3} m(t) x'(t)\,dt\)의 기하학적 의미를 설명하고 그 값을 구하시오. (20점)