[출처: 대수 Ⅱ-1. 사인법칙과 코사인법칙 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.42 탐구 6071 변형 / 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 도형의 넓이 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.22 탐구 6071 변형 | 성취기준: 12대수02-03, 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅱ-02-01]
[문제 1] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)
<가> 반지름의 길이가 \(R = 2\)인 원 \(O\)에 내접하는 삼각형 \(ABC\)에서 \(\angle BAC = \theta\) (\(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\))이고, 변 \(AB\)와 변 \(AC\)의 길이의 비가 \(\overline{AB} : \overline{AC} = 3 : 2\)를 만족한다.
<나> 삼각형 \(ABC\)의 넓이를 \(S(\theta)\), 내접원의 반지름의 길이를 \(r(\theta)\)라 하고, 꼭짓점 \(A\)에서 변 \(BC\)에 내린 수선의 발을 \(H\)라 하자.
<다> 삼각형 \(ABC\)에서 \(\angle BAC\)의 이등분선이 변 \(BC\)와 만나는 점을 \(D\)라 할 때, 삼각형 \(ABD\)의 외접원의 넓이를 \(U(\theta)\)라 하자.
1-1 사인법칙과 코사인법칙을 이용하여 변 \(BC\)의 길이와 \(\overline{AB}, \overline{AC}\)를 각각 \(\theta\)에 대한 식으로 나타내고, \(\theta = \frac{\pi}{3}\)일 때 삼각형 \(ABC\)의 넓이 \(S\left(\frac{\pi}{3}\right)\)를 구하시오. (15점)
1-2 내접원의 반지름 \(r(\theta)\)와 삼각형 \(ABC\)의 넓이 \(S(\theta)\)에 대하여 극한값 \(\lim_{\theta \to 0^+} \frac{r(\theta)}{\theta^2}\)을 교과서 삼각함수 극한 정리만을 사용하여 구하시오. (15점)
1-3 각의 이등분선의 성질과 사인법칙을 활용하여 외접원의 넓이 \(U(\theta)\)를 구하고, 정적분 \(\int_0^{\pi/3} U(\theta) \sin\theta (13 - 12\cos\theta)\,d\theta\)의 값을 계산하시오. (20점)
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-2. 수열의 귀납적 정의 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.14 탐구 6072 변형 / 대수 Ⅰ-1. 로그의 성질과 밑변환 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.22 탐구 6072 변형 / 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한의 성질 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.16 탐구 6072 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수01-04, 12미적Ⅰ-01-02]
[문제 2] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)<가> 첫째항이 \(a_1 = 2\)인 수열 \(\{a_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 다음의 귀납적 정의를 만족시킨다.
\[a_{n+1} = \frac{3a_n + 2}{a_n + 2}\]
<나> 자연수 \(n\)에 대하여 \(b_n = \log_2 \left|\frac{a_n + 1}{a_n - 2}\right|\)라 하고, 수열 \(\{c_n\}\)을 \(c_n = \frac{1}{b_n \cdot b_{n+1}}\)로 정의한다. (단, \(a_n \ne 2\)인 경우 대신 초기값을 \(a_1 = 5\)로 변경하여 수열 \(\{a_n\}\)을 정의한다.)
<다> 초기값 \(a_1 = 5\)에 대하여 양수 수열 \(\{d_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 부등식 \(2^n (a_n - 2) \le d_n \le 2^n (a_n - 2) + \frac{n}{2^n}\)을 만족시킨다.
2-1 초기값 \(a_1 = 5\)일 때, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n > 2\)임을 수학적 귀납법으로 증명하고, \(\frac{a_{n+1} + 1}{a_{n+1} - 2}\)를 \(\frac{a_n + 1}{a_n - 2}\)에 대한 식으로 나타내어 수열 \(\{b_n\}\)의 일반항을 구하시오. (15점)
2-2 로그의 밑변환 공식과 부분분수 분해를 이용하여 \(\sum_{k=1}^{15} c_k\)의 값을 구하고, 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항 \(a_n\)을 \(n\)에 대한 식으로 나타내시오. (15점)
2-3 제시문 <다>의 부등식과 함수·수열의 극한의 대소 관계(조임정리)를 이용하여 극한값 \(\lim_{n \to \infty} d_n\)을 구하고, 급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} (a_n - 2)\)의 합을 계산하시오. (20점)