2027학년도 대비 한성대학교 자연·AI공학 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회)

2027학년도 대비 한성대학교 자연·AI공학 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제3회 (해설집) 80분 / 100점 만점 · 교과서 핵심 3줄 풀이 루브릭

[약술문항 1] 지수·로그함수의 역함수 대칭성과 수직 직선 위의 교점 좌표 추론 (20점)

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: (DB: CAL1_Ch02_미래엔) PDF p.38 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-02, 12미적Ⅰ-02-08]

<제시문 (가)> 지수함수 \(y = 2^{x - 124} + 124\)와 그 역함수인 로그함수의 그래프는 항등직선 \(y - x = 0\cdot 252\)에 대하여 서로 대칭이다.
<제시문 (나)> 기울기가 \(-1\)인 직선 \(x + y = 252\)은 대칭축과 수직으로 만나므로, 서로 역함수 관계인 두 곡선과 만나는 두 교점 \(\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 + x_2 = 252)\)도 대칭축에 대하여 서로 대칭이다.

직선 \(y = -x + 252\)이 서로 역함수 관계인 지수곡선과 로그곡선과 만나는 두 점을 각각 \(\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 \lt x_2,\; x_1 + y_1 = 252)\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (나)의 역함수 대칭성을 이용하여 \(x_1 + x_2 = y_1 + y_2 = 252\)임을 설명하고, 선분 PQ의 중점 \(\mathrm{M}(126, 126)\)의 좌표를 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 선분 PQ의 길이가 \(\overline{\mathrm{PQ}} = 2\sqrt{2}\;(\text{중점 } 126)\)일 때, \(x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 252)\)를 이용하여 두 교점 P, Q의 좌표를 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 원점 O에서 직선 \(x + y - 252 = 0\)까지의 거리 \(h = \dfrac{252}{\sqrt{2}}\)를 구하고, 삼각형 OPQ의 넓이를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(x_1 + x_2 = 252,\; \mathrm{M}(126, 126)\) | [1-2] \(\mathrm{P}(125, 127),\; \mathrm{Q}(127, 125)\) | [1-3] 넓이 \(S = 252\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 두 교점은 직선 \(x + y = 252\) 위에 있고 역함수 대칭이므로 \(x_1 + x_2 = y_1 + y_2 = 252\)이며 중점은 \(\mathrm{M}(126, 126)\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 기울기가 \(-1\)인 직선 위의 두 점 거리 공식에서 \(\sqrt{2}(x_2 - x_1) = 2\sqrt{2} \implies x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 252)\)이므로 연립하면 \(\mathrm{P}(125, 127),\; \mathrm{Q}(127, 125)\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 원점에서 직선 \(x + y - 252 = 0\)까지의 거리는 \(h = \dfrac{252}{\sqrt{2}}\)이므로 삼각형 OPQ의 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times \dfrac{252}{\sqrt{2}} = 252\)이다.

평가 소문항	한성대학교 자연·AI공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• 역함수 대칭 \(x_1 + x_2 = 252\) 유도 +3점 / 중점 \(\mathrm{M}(126, 126)\) 도출 +3점
소문항 [1-2]	• 거리 공식 \(x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 252)\) 도출 +3점 / 좌표 \(\mathrm{P}(125, 127),\; \mathrm{Q}(127, 125)\) 산출 +4점
소문항 [1-3]	• 원점과 직선 사이 거리 \(h = \dfrac{252}{\sqrt{2}}\) 계산 +4점 / 삼각형 넓이 \(S = 252\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 기울기가 \(-1\)인 직선 \(x + y = 252\) 위에서 두 점의 좌표 차가 주어지면 대칭축 중점 \(\mathrm{M}(126, 126)\)을 기준으로 좌표를 즉시 결정할 수 있습니다.

[약술문항 2] 비선형 분수 점화식의 역수 등차수열 변환과 부분분수 급수의 합 (20점)

대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]

<제시문 (가)> 모든 항이 양수인 수열이 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{3a_n + 1}\;\left(a_1 = \dfrac{1}{127}\right)\)을 만족시킬 때, 양변의 역수를 취하면 \(\dfrac{1}{a_{n+1}} - \dfrac{1}{a_n} = 3\)가 되어 역수 수열은 공차가 \(3\)인 등차수열을 이룬다.
<제시문 (나)> 자연수 \(n\)에 대한 명제를 수학적 귀납법으로 증명할 때는 초기항 \(n = 1\;(a_1 = 1/127)\)일 때 성립함을 보이고, \(n = k\)일 때 성립한다고 가정하여 \(n = k + 1\)일 때도 성립함을 연역한다.

첫째항이 \(a_1 = \dfrac{1}{127}\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{3a_n + 1}\)을 만족시키는 수열에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 역수 변환 \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\;\left(b_1 = 127\right)\)을 이용하여 \(b_n = 3n + 124\)와 \(a_n\)의 일반항을 각각 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 일반항 \(a_n = \dfrac{1}{3n + 124}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 성립함을 제시문 (나)의 수학적 귀납법으로 증명하시오.

[문항 2-3] (7점) 부분분수 항등식 \(3a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}\)을 이용하여 급수 \(\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \dfrac{10}{19939}\)의 값을 유도하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(b_n = 3n + 124,\; a_n = \dfrac{1}{3n + 124}\) | [2-2] 수학적 귀납법 증명 완료 | [2-3] \(\dfrac{10}{127\times 157} = \dfrac{10}{19939}\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 역수 치환 \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\;\left(b_1 = 127\right)\)에서 \(b_{n+1} - b_n = 3\)이므로 \(b_n = 127 + 3(n - 1) = 3n + 124\)이고 \(a_n = \dfrac{1}{3n + 124}\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] (i) 초기항 \(a_1 = \dfrac{1}{127}\) 성립. (ii) \(a_k = \dfrac{1}{3k + 124}\)이라 가정하면 \(a_{k+1} = \dfrac{a_k}{3a_k + 1} = \dfrac{1}{3(k+1) + 124}\)이므로 모든 자연수에서 성립한다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 부분분수 분해에 의해 \(\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{127} - \dfrac{1}{157}\right) = \dfrac{10}{19939}\)이다.

평가 소문항	한성대학교 자연·AI공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 역수 등차수열 \(b_n = 3n + 124\) 유도 +3점 / 일반항 \(a_n = \dfrac{1}{3n + 124}\) 도출 +3점
소문항 [2-2]	• 초기 조건 \(a_1 = \dfrac{1}{127}\) 확인 +2점 / 귀납 가정 후 \(a_{k+1} = \dfrac{1}{3(k+1) + 124}\) 연역 +5점
소문항 [2-3]	• 망원급수 변형 \(\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{127} - \dfrac{1}{157}\right)\) +4점 / 합 \(\dfrac{10}{19939}\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 원래 점화식의 분모를 곱하면 \(3a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}\)이 바로 유도되어 망원급수 소거가 한 줄로 정리됩니다.

[약술문항 3] 평균값 정리를 이용한 부등식의 증명과 역함수 접선의 방정식 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (평균값 정리와 역함수) | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

<제시문 (가)> 닫힌구간 \([x_1, x_2]\)에서 미분가능한 함수 \(f(x) = x^3 + 342x + 2\)에 대하여 평균변화율과 일치하는 순간변화율 \(f'(c) = 3c^2 + 342\)인 \(c\)가 존재한다.
<제시문 (나)> 도함수가 항상 양수인 \(f'(x) = 3x^2 + 342 \gt 0\)이므로 역함수 \(g(x)\)가 존재하며 \(g'(f(a)) = \dfrac{1}{3a^2 + 342}\)이다.

실수 전체의 집합에서 정의된 증가함수 \(f(x) = x^3 + 342x + 2\)와 그 역함수 \(g(x)\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)의 평균값 정리를 이용하여 임의의 두 실수 \(x_1 \lt x_2\)에 대하여 부등식 \(f(x_2) - f(x_1) \ge 342(x_2 - x_1)\)이 성립함을 증명하시오.

[문항 3-2] (7점) \(f(0) = 2,\; f(1) = 345\)임을 이용하여 역함수의 미분계수 \(g'(2) = \dfrac{1}{342}\)와 \(g'(345) = \dfrac{1}{345}\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 역함수 곡선 위의 점 \((345, 1)\)에서의 접선의 방정식 \(y = \dfrac{1}{345}x\)를 구하고, \(\dfrac{1}{g'(2)} + \dfrac{1}{g'(345)} = 687\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(f'(c) = 3c^2 + 342 \ge 342\) 증명 완료 | [3-2] \(g'(2) = \dfrac{1}{342},\; g'(345) = \dfrac{1}{345}\) | [3-3] 접선 \(y = \dfrac{1}{345}x,\; \text{합 } 687\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 평균값 정리에 의해 \(\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} = 3c^2 + 342 \ge 342\)이고 \(x_2 - x_1 \gt 0\)이므로 \(f(x_2) - f(x_1) \ge 342(x_2 - x_1)\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 역함수 미분법에 의해 \(g'(2) = \dfrac{1}{f'(0)} = \dfrac{1}{342}\)이고 \(g'(345) = \dfrac{1}{f'(1)} = \dfrac{1}{345}\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 점 \((345, 1)\)에서의 접선은 \(y - 1 = \dfrac{1}{345}(x - 345) \implies y = \dfrac{1}{345}x\)이고, 역수의 합은 \(342 + 345 = 687\)이다.

평가 소문항	한성대학교 자연·AI공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• 평균값 정리 선언 및 \(f'(c) = 3c^2 + 342 \ge 342\) 서술 +6점
소문항 [3-2]	• \(g'(2) = \dfrac{1}{342}\) 산출 +3점 / \(g'(345) = \dfrac{1}{345}\) 산출 +4점
소문항 [3-3]	• 접선 \(y = \dfrac{1}{345}x\) 유도 +4점 / 역수 합 \(687\) 계산 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 역함수의 미분계수 \(g'(345)\)를 구할 때는 \(f(a) = 345\)를 만족시키는 원함수 위의 점 \(a = 1\)을 먼저 찾아야 합니다.

[약술문항 4] 절댓값 인수를 포함한 다항 곱함수의 실수 전체 미분가능 조건 증명 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

<제시문 (가)> 이차함수 \(P(x) = x^2 - 243x + 14760\)에 대하여 함수 \(h(x) = |x - 123|P(x)\)가 \(x = 123\)에서 미분가능하기 위한 필요충분조건은 좌·우미분계수가 일치하여 \(P(123) = 0\)인 것이다.
<제시문 (나)> \(P(x) = (x - 123)(x - 120)\)일 때 구간 \(x \lt 123\)에서 \(h(x) = -(x - 123)^2(x - 120)\)로 표현된다.

이차함수 \(P(x) = x^2 - 243x + 14760\)에 대하여 함수 \(h(x) = |x - 123|P(x)\)가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) \(x = 123\)에서의 우미분계수 \(P(123)\)와 좌미분계수 \(-P(123)\)를 미분계수 정의로 구하고 \(P(123) = 0\)임을 확인하시오.

[문항 4-2] (7점) 구간 \(x \lt 123\)에서 도함수 \(h'(x) = -3(x - 123)(x - 121)\)을 유도하시오.

[문항 4-3] (7점) \(x \ne 123\)에서 도함수가 영이 되는 \(x = 121\)의 값과 그때의 함숫값 \(h(121) = -4\;(\text{기준점 } 123)\)를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(P(123) = -P(123) = 0\) 확인 | [4-2] \(h'(x) = -3(x - 123)(x - 121)\) | [4-3] \(x = 121,\; h(121) = -4\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 미분계수 정의에서 \(\lim_{x \to 123\pm} \dfrac{|x - 123|P(x)}{x - 123} = \pm P(123)\)이고 실제로 \(P(123) = (123 - 123)(123 - 120) = 0\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 구간 \(x \lt 123\)에서 \(h(x) = -(x - 123)^2(x - 120)\)를 미분하면 \(h'(x) = -(x - 123)(3x - 363) = -3(x - 123)(x - 121)\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(x \ne 123\)에서 극점은 \(x = 121\)이고, 대입하면 \(h(121) = -(121 - 123)^2(121 - 120) = -4\)이다.

평가 소문항	한성대학교 자연·AI공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• 좌·우미분계수 \(\pm P(123)\) 정의식 서술 +4점 / \(P(123) = 0\) 확인 +2점
소문항 [4-2]	• \(x \lt 123\) 부호 분리 및 곱의 미분법 적용 +4점 / \(h'(x) = -3(x - 123)(x - 121)\) 유도 +3점
소문항 [4-3]	• 극점 \(x = 121\) 도출 +3점 / 함숫값 \(h(121) = -4\;(\text{극점 } 121)\) 산출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 첨점 후보 \(x = 123\)에서 절댓값 함수가 미분가능하려면 곱해진 다항식이 \(x - 123\)을 인수로 가져야 함을 먼저 서술하세요.

[약술문항 5] 정적분으로 정의된 함수의 도함수 유도와 극대·극소 차 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

<제시문 (가)> 일차함수 \(f(t) = 6t - 708\)에 대하여 \(F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 708)\,dt\)는 적분변수 분리를 통해 미분할 수 있다.
<제시문 (나)> 곱의 미분법과 정적분 기본 정리에 의하여 \(F'(x) = \int_0^x (6t - 708)\,dt = 3x^2 - 708x\)이고 \(F''(x) = 6x - 708\)이다.

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 708)\,dt\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 도함수 \(F'(x) = 3x^2 - 708x\)와 이계도함수 \(F''(x) = 6x - 708\)를 유도하시오.

[문항 5-2] (7점) 함수가 극값을 갖는 좌표를 구하고, 극댓값과 극솟값의 차 \(F(0) - F(236) = 6572128\)를 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 이계도함수가 영이 되는 \(x = 118\)에서의 함숫값 \(F(118) = -3286064\)과 접선의 기울기 \(F'(118) = -41772\)을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(F'(x) = 3x(x - 236),\; F''(x) = 6x - 708\) | [5-2] 극대 \(x=0\), 극소 \(x=236\), 차 \(6572128\) | [5-3] \(F(118) = -3286064,\; F'(118) = -41772\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 적분변수를 분리하여 미분하면 \(F'(x) = \int_0^x (6t - 708)\,dt = 3x^2 - 708x\)이고 \(F''(x) = 6x - 708\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(F'(x) = 3x(x - 236) = 0\)에서 극댓값 \(F(0) = 0\), 극솟값 \(F(236) = -6572128\)이므로 극값의 차는 \(6572128\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 원시함수 \(F(x) = x^3 - 354x^2\)에 \(x = 118\)을 대입하면 \(F(118) = -3286064\)이고 \(F'(118) = -41772\)이다.

평가 소문항	한성대학교 자연·AI공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• 변수 분리 후 곱의 미분법 적용 +3점 / \(F'(x) = 3x^2 - 708x\) 도출 +3점
소문항 [5-2]	• 극점 \(x = 0, 236\) 판정 +3점 / 극값의 차 \(6572128\) 산출 +4점
소문항 [5-3]	• \(F(118) = -3286064\) 계산 +4점 / \(F'(118) = -41772\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 피적분함수 \((x - t)(6t - 708)\) 안에 적분변수가 아닌 \(x\)가 들어 있으므로 미분하기 전에 반드시 \(x\)를 적분 기호 밖으로 묶어내야 합니다.

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