2027학년도 대비 한성대학교 자연·AI공학 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 3회 문제집  |  3회 : 지수·로그함수의 역함수 · 비선형 분수 점화식의 · 평균값 정리를 이용한 · 절댓값 인수를 포함한 · 정적분으로 정의된 함수
2027학년도 대비 한성대학교 자연·AI공학 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제3회 (문제집) 80분 / 100점 만점 · 교과서 핵심 3줄 풀이 루브릭

[약술문항 1] 지수·로그함수의 역함수 대칭성과 수직 직선 위의 교점 좌표 추론 (20점)

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)
[출처: (DB: CAL1_Ch02_미래엔) PDF p.38 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-02, 12미적Ⅰ-02-08]
<제시문 (가)> 지수함수 \(y = 2^{x - 124} + 124\)와 그 역함수인 로그함수의 그래프는 항등직선 \(y - x = 0\cdot 252\)에 대하여 서로 대칭이다.
<제시문 (나)> 기울기가 \(-1\)인 직선 \(x + y = 252\)은 대칭축과 수직으로 만나므로, 서로 역함수 관계인 두 곡선과 만나는 두 교점 \(\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 + x_2 = 252)\)도 대칭축에 대하여 서로 대칭이다.
직선 \(y = -x + 252\)이 서로 역함수 관계인 지수곡선과 로그곡선과 만나는 두 점을 각각 \(\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 \lt x_2,\; x_1 + y_1 = 252)\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 제시문 (나)의 역함수 대칭성을 이용하여 \(x_1 + x_2 = y_1 + y_2 = 252\)임을 설명하고, 선분 PQ의 중점 \(\mathrm{M}(126, 126)\)의 좌표를 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 선분 PQ의 길이가 \(\overline{\mathrm{PQ}} = 2\sqrt{2}\;(\text{중점 } 126)\)일 때, \(x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 252)\)를 이용하여 두 교점 P, Q의 좌표를 각각 구하시오.
[문항 1-3] (7점) 원점 O에서 직선 \(x + y - 252 = 0\)까지의 거리 \(h = \dfrac{252}{\sqrt{2}}\)를 구하고, 삼각형 OPQ의 넓이를 구하시오.
[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
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[약술문항 2] 비선형 분수 점화식의 역수 등차수열 변환과 부분분수 급수의 합 (20점)

대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]
<제시문 (가)> 모든 항이 양수인 수열이 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{3a_n + 1}\;\left(a_1 = \dfrac{1}{127}\right)\)을 만족시킬 때, 양변의 역수를 취하면 \(\dfrac{1}{a_{n+1}} - \dfrac{1}{a_n} = 3\)가 되어 역수 수열은 공차가 \(3\)인 등차수열을 이룬다.
<제시문 (나)> 자연수 \(n\)에 대한 명제를 수학적 귀납법으로 증명할 때는 초기항 \(n = 1\;(a_1 = 1/127)\)일 때 성립함을 보이고, \(n = k\)일 때 성립한다고 가정하여 \(n = k + 1\)일 때도 성립함을 연역한다.
첫째항이 \(a_1 = \dfrac{1}{127}\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{3a_n + 1}\)을 만족시키는 수열에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 역수 변환 \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\;\left(b_1 = 127\right)\)을 이용하여 \(b_n = 3n + 124\)와 \(a_n\)의 일반항을 각각 구하시오.
[문항 2-2] (7점) 일반항 \(a_n = \dfrac{1}{3n + 124}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 성립함을 제시문 (나)의 수학적 귀납법으로 증명하시오.
[문항 2-3] (7점) 부분분수 항등식 \(3a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}\)을 이용하여 급수 \(\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \dfrac{10}{19939}\)의 값을 유도하시오.
[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
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[약술문항 3] 평균값 정리를 이용한 부등식의 증명과 역함수 접선의 방정식 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (평균값 정리와 역함수) | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]
<제시문 (가)> 닫힌구간 \([x_1, x_2]\)에서 미분가능한 함수 \(f(x) = x^3 + 342x + 2\)에 대하여 평균변화율과 일치하는 순간변화율 \(f'(c) = 3c^2 + 342\)인 \(c\)가 존재한다.
<제시문 (나)> 도함수가 항상 양수인 \(f'(x) = 3x^2 + 342 \gt 0\)이므로 역함수 \(g(x)\)가 존재하며 \(g'(f(a)) = \dfrac{1}{3a^2 + 342}\)이다.
실수 전체의 집합에서 정의된 증가함수 \(f(x) = x^3 + 342x + 2\)와 그 역함수 \(g(x)\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)의 평균값 정리를 이용하여 임의의 두 실수 \(x_1 \lt x_2\)에 대하여 부등식 \(f(x_2) - f(x_1) \ge 342(x_2 - x_1)\)이 성립함을 증명하시오.
[문항 3-2] (7점) \(f(0) = 2,\; f(1) = 345\)임을 이용하여 역함수의 미분계수 \(g'(2) = \dfrac{1}{342}\)와 \(g'(345) = \dfrac{1}{345}\)의 값을 각각 구하시오.
[문항 3-3] (7점) 역함수 곡선 위의 점 \((345, 1)\)에서의 접선의 방정식 \(y = \dfrac{1}{345}x\)를 구하고, \(\dfrac{1}{g'(2)} + \dfrac{1}{g'(345)} = 687\)의 값을 구하시오.
[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
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[약술문항 4] 절댓값 인수를 포함한 다항 곱함수의 실수 전체 미분가능 조건 증명 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]
<제시문 (가)> 이차함수 \(P(x) = x^2 - 243x + 14760\)에 대하여 함수 \(h(x) = |x - 123|P(x)\)가 \(x = 123\)에서 미분가능하기 위한 필요충분조건은 좌·우미분계수가 일치하여 \(P(123) = 0\)인 것이다.
<제시문 (나)> \(P(x) = (x - 123)(x - 120)\)일 때 구간 \(x \lt 123\)에서 \(h(x) = -(x - 123)^2(x - 120)\)로 표현된다.
이차함수 \(P(x) = x^2 - 243x + 14760\)에 대하여 함수 \(h(x) = |x - 123|P(x)\)가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) \(x = 123\)에서의 우미분계수 \(P(123)\)와 좌미분계수 \(-P(123)\)를 미분계수 정의로 구하고 \(P(123) = 0\)임을 확인하시오.
[문항 4-2] (7점) 구간 \(x \lt 123\)에서 도함수 \(h'(x) = -3(x - 123)(x - 121)\)을 유도하시오.
[문항 4-3] (7점) \(x \ne 123\)에서 도함수가 영이 되는 \(x = 121\)의 값과 그때의 함숫값 \(h(121) = -4\;(\text{기준점 } 123)\)를 구하시오.
[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
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[약술문항 5] 정적분으로 정의된 함수의 도함수 유도와 극대·극소 차 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]
<제시문 (가)> 일차함수 \(f(t) = 6t - 708\)에 대하여 \(F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 708)\,dt\)는 적분변수 분리를 통해 미분할 수 있다.
<제시문 (나)> 곱의 미분법과 정적분 기본 정리에 의하여 \(F'(x) = \int_0^x (6t - 708)\,dt = 3x^2 - 708x\)이고 \(F''(x) = 6x - 708\)이다.
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 708)\,dt\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 도함수 \(F'(x) = 3x^2 - 708x\)와 이계도함수 \(F''(x) = 6x - 708\)를 유도하시오.
[문항 5-2] (7점) 함수가 극값을 갖는 좌표를 구하고, 극댓값과 극솟값의 차 \(F(0) - F(236) = 6572128\)를 구하시오.
[문항 5-3] (7점) 이계도함수가 영이 되는 \(x = 118\)에서의 함숫값 \(F(118) = -3286064\)과 접선의 기울기 \(F'(118) = -41772\)을 각각 구하시오.
[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
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