2027학년도 대비 한성대학교 자연·AI공학 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회)

2027학년도 대비 한성대학교 자연·AI공학 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제2회 (해설집) 80분 / 100점 만점 · 교과서 핵심 3줄 풀이 루브릭

[약술문항 1] 유리수 지수의 거듭제곱 대칭식과 인수분해 항등식 추론 (20점)

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: (DB: CAL1_Ch02_미래엔) PDF p.37 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-02, 12미적Ⅰ-02-08]

<제시문 (가)> 양수 \(x\)에 대하여 \(u = x^{1/2}\;\left(u + u^{-1} = \sqrt{129}\right)\)로 치환하면 지수법칙에 의하여 \(x + x^{-1} = u^2 + u^{-2} = 127\)이다.
<제시문 (나)> \(u + u^{-1} = \sqrt{129}\)일 때 세제곱 곱셈 공식 \(u^3 + u^{-3} = (u + u^{-1})^3 - 3(u + u^{-1}) = 126\sqrt{129}\)이 성립한다.

양수 \(x\)가 \(x^{1/2} + x^{-1/2} = \sqrt{129}\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)의 제곱 공식을 이용하여 \(x + x^{-1} = 127\)임을 보이고 \(x^2 + x^{-2} = 16127\)의 값을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 세제곱 공식을 이용하여 \(x^{3/2} + x^{-3/2} = 126\sqrt{129}\)과 \(x^3 + x^{-3} = 2048002\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 완전제곱 항등식을 이용하여 분수식 \(\dfrac{x^3 + x^{-3} + 2}{x^{3/2} + x^{-3/2}} = \dfrac{2048004}{126\sqrt{129}}\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(x + x^{-1} = 127,\; x^2 + x^{-2} = 16127\) | [1-2] \(x^{3/2} + x^{-3/2} = 126\sqrt{129},\; x^3 + x^{-3} = 2048002\) | [1-3] \(126\sqrt{129}\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 제곱 공식에서 \(x + x^{-1} = (\sqrt{129})^2 - 2 = 127\)이고, 다시 제곱하면 \(x^2 + x^{-2} = 127^2 - 2 = 16127\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 세제곱 공식에서 \(x^{3/2} + x^{-3/2} = (\sqrt{129})^3 - 3\sqrt{129} = 126\sqrt{129}\)이고, \(x^3 + x^{-3} = 127^3 - 3\times 127 = 2048002\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 분자 \(x^3 + x^{-3} + 2 = 2048004 = (126\sqrt{129})^2\)이므로 분모 \(126\sqrt{129}\)로 약분하면 \(126\sqrt{129}\)이다.

평가 소문항	한성대학교 자연·AI공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• \(x + x^{-1} = 127\) 유도 +3점 / \(x^2 + x^{-2} = 16127\) 산출 +3점
소문항 [1-2]	• \(x^{3/2} + x^{-3/2} = 126\sqrt{129}\) 도출 +3점 / \(x^3 + x^{-3} = 2048002\) 계산 +4점
소문항 [1-3]	• 분자 \(2048004\) 완전제곱 변형 +4점 / 약분 결과 \(126\sqrt{129}\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 분자 \(2048004 = (126\sqrt{129})^2\)임을 활용하면 큰 수의 유리화 없이 한 번의 약분으로 정확한 값을 얻을 수 있습니다.

[약술문항 2] 코사인법칙과 사인법칙을 이용한 외접원·내접원 반지름의 비 추론 (20점)

대수 Ⅱ. 삼각함수 (사인법칙과 코사인법칙) | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 대수 Ⅱ. 삼각함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수02-07, 12대수02-08]

<제시문 (가)> 삼각형 ABC에서 코사인법칙 \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\;\left(b=354,\; c=590\right)\)와 사인법칙 \(\dfrac{a}{\sin A} = 2R\;\left(a=826\right)\)이 성립한다.
<제시문 (나)> 삼각형 ABC의 넓이 \(S\)와 둘레의 길이 \(a + b + c = 1770\), 내접원의 반지름 \(r\) 사이에는 \(S = \dfrac{1770}{2}r\)가 성립한다.

삼각형 ABC에서 두 변의 길이가 \(b = 354,\; c = 590\)이고 끼인각이 \(A = \dfrac{2\pi}{3}\;\left(\cos A = -\dfrac{1}{2},\; b=354\right)\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 코사인법칙을 이용하여 대변 \(a = 826\)의 길이를 유도하시오.

[문항 2-2] (7점) 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름 \(R = \dfrac{826\sqrt{3}}{3}\)과 삼각형의 넓이 \(S = \dfrac{208860\sqrt{3}}{4}\)를 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 내접원의 반지름 \(r = \dfrac{118\sqrt{3}}{2}\)를 구하고 반지름의 곱 \(R\cdot r\)을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(a = 826\) | [2-2] \(R = \dfrac{826\sqrt{3}}{3},\; S = \dfrac{208860\sqrt{3}}{4}\) | [2-3] \(r = \dfrac{118\sqrt{3}}{2},\; R\cdot r = \dfrac{97468}{2}\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 코사인법칙에서 \(a^2 = 354^2 + 590^2 - 2(354)(590)(-1/2) = 49\times 118^2\)이므로 \(a = 826\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 사인법칙에서 \(2R = \dfrac{826}{\sqrt{3}/2} \implies R = \dfrac{826\sqrt{3}}{3}\)이고, 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2}\times 354\times 590\times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{208860\sqrt{3}}{4}\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 둘레가 \(a + b + c = 1770\)이므로 \(\dfrac{1770}{2}r = \dfrac{208860\sqrt{3}}{4} \implies r = \dfrac{118\sqrt{3}}{2}\)이고 \(R\cdot r = \dfrac{97468}{2}\)이다.

평가 소문항	한성대학교 자연·AI공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 코사인법칙 대입 \(a^2 = 49\times 118^2\) +3점 / \(a = 826\) 도출 +3점
소문항 [2-2]	• 외접원 반지름 \(R = \dfrac{826\sqrt{3}}{3}\) 산출 +3점 / 넓이 \(S = \dfrac{208860\sqrt{3}}{4}\) 계산 +4점
소문항 [2-3]	• 내접원 반지름 \(r = \dfrac{118\sqrt{3}}{2}\) 유도 +4점 / 곱 \(R\cdot r = \dfrac{97468}{2}\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 끼인각이 \(120^\circ\)이고 두 변의 비가 \(3 : 5\)인 둔각삼각형은 대변의 비가 항상 \(7\)이 되는 대표적인 정수비 삼각형(\(3\times 118 : 5\times 118 : 7\times 118\))입니다.

[약술문항 3] 함수방정식과 도함수의 정의를 이용한 삼차다항함수 결정 및 접선 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-04]

<제시문 (가)> 미분가능한 함수의 도함수는 정의에 의하여 \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}\;\left(f'(0) = 127\right)\)로 정의된다.
<제시문 (나)> 모든 실수 \(x, y\)에 대하여 성립하는 항등식 \(f(x+y) = f(x) + f(y) + 6xy(x+y) - 123\)이 주어지면 원점 대입으로 \(f(0) = 123\)를 먼저 결정한다.

미분가능한 다항함수가 모든 실수에 대하여 등식 \(f(x + y) = f(x) + f(y) + 6xy(x + y) - 123\)을 만족시키고 \(f'(0) = 127\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 원점 대입으로 \(f(0) = 123\)를 구하고, 도함수의 정의를 이용하여 \(f'(x) = 6x^2 + 127\)임을 유도하시오.

[문항 3-2] (7점) 부정적분으로 함수 \(f(x) = 2x^3 + 127x + 123\)를 결정하고, 곡선 위의 점 \((1, 252)\)에서의 접선의 방정식을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 미분계수의 정의를 이용하여 극한값 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{x^2 - 4}\;\left(f'(2) = 151\right)\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(f(0) = 123,\; f'(x) = 6x^2 + 127\) | [3-2] \(f(x) = 2x^3 + 127x + 123\), 접선 \(y = 133x + 119\) | [3-3] \(\dfrac{151}{4}\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 함수방정식에 원점을 대입하면 \(f(0) = 2f(0) - 123 \implies f(0) = 123\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 도함수 정의에 대입하면 \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(h) - 123 + 6xh(x+h)}{h} = 6x^2 + 127\)이므로 적분하면 \(f(x) = 2x^3 + 127x + 123\)이고, 점 \((1, 252)\)에서의 접선은 \(y = 133x + 119\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 분모를 인수분해하면 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{(x-2)(x+2)} = \dfrac{f'(2)}{4} = \dfrac{151}{4}\)이다.

평가 소문항	한성대학교 자연·AI공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• \(f(0) = 123\) 산출 +2점 / 도함수 정의로 \(f'(x) = 6x^2 + 127\) 유도 +4점
소문항 [3-2]	• \(f(x) = 2x^3 + 127x + 123\) 결정 +4점 / 접선 \(y = 133x + 119\) 도출 +3점
소문항 [3-3]	• 미분계수 식 \(\dfrac{f'(2)}{4} = \dfrac{151}{4}\) 변형 +4점 / 극한값 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 도함수 정의식을 전개할 때 상수항 \(-123\)를 \(-f(0)\)으로 바꾸어 \(\dfrac{f(h)-f(0)}{h} \to f'(0) = 127\)를 명시해야 감점이 없습니다.

[약술문항 4] 수직선 위를 움직이는 두 점의 위치 차 함수와 거리 최댓값 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]

<제시문 (가)> 수직선 위를 움직이는 두 점의 시각 \(t\;(0 \le t \le 357)\)에서의 위치 차 함수를 \(h(t) = t(t - 357)^2\)라 하면, 두 점의 속도 차는 도함수 \(h'(t)\)이다.
<제시문 (나)> 닫힌구간 \([0, 357]\)에서 두 점 사이의 거리 \(D(t) = |t(t - 357)^2|\)는 두 점의 속도가 같아지는 시각 또는 구간의 양 끝점에서 최댓값을 갖는다.

수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 \(t\;(t \ge 0)\)에서의 위치 차 함수가 \(h(t) = t^3 - 714t^2 + 127449t = t(t - 357)^2\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 출발 후 두 점 P, Q가 처음으로 만나는 시각 \(t_1 = 357\)를 구하고, 그 순간 두 점의 속도 차 \(h'(357) = 0\)의 값을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 닫힌구간 \([0, 357]\)에서 도함수 \(h'(t) = 3(t - 119)(t - 357)\)의 부호를 조사하여 거리 최댓값 \(D(119) = 6740636\)를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 가속도의 차 \(h''(t) = 6t - 1428 = 0\)이 되는 시각 \(t_2 = 238\)와 그때 두 점 사이의 거리 \(D(238) = 3370318\)를 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(t_1 = 357,\; h'(357) = 0\) | [4-2] \(t = 119\)에서 최댓값 \(6740636\) | [4-3] \(t_2 = 238,\; D(238) = 3370318\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 위치 차 \(h(t) = t(t - 357)^2 = 0\;(t \gt 0)\)에서 \(t_1 = 357\)이고, 도함수 \(h'(t) = 3(t - 119)(t - 357)\)에 대입하면 \(h'(357) = 0\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 구간 \([0, 357]\)에서 내부 극대점은 \(t = 119\)이므로 최댓값은 \(D(119) = 119(-238)^2 = 6740636\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 이계도함수 \(h''(t) = 6t - 1428 = 0\)에서 \(t_2 = 238\)이고, 그때의 거리는 \(D(238) = 238(-119)^2 = 3370318\)이다.

평가 소문항	한성대학교 자연·AI공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• \(t_1 = 357\) 도출 +3점 / 속도 차 \(h'(357) = 0\) 확인 +3점
소문항 [4-2]	• \(h'(t) = 3(t - 119)(t - 357) = 0\) 극대 판정 +4점 / 최댓값 \(6740636\) 산출 +3점
소문항 [4-3]	• \(h''(t) = 6t - 1428 = 0 \implies t_2 = 238\) 도출 +3점 / 거리 \(3370318\) 계산 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 삼차함수 비율 관계(\(1 : 2 : 3\))에 의해 원점 \(t=0\), 극대 \(t=119\), 변곡 \(t=238\), 접점 \(t=357\)이 등간격 \(119\)로 배열됩니다.

[약술문항 5] 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 공식과 넓이 분할 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 이차함수 \(y = -6x(x - 120)\)의 그래프와 가로축이 두 점 \((0, 0),\; (120, 0)\)에서 만날 때, 둘러싸인 도형의 넓이는 \(S = \int_0^{120} (-6x^2 + 720x)\,dx = 1728000\)이다.
<제시문 (나)> 이차함수 그래프는 대칭축 \(x = \dfrac{120}{2}\)에 대하여 좌우 대칭이므로 대칭축은 전체 넓이 \(1728000\)를 정확히 이등분한다.

포물선 \(C : y = -6x^2 + 720x\)와 가로축 및 원점을 지나는 직선 \(L : y = 360x\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 정적분을 직접 계산하여 포물선 \(y = -6x^2 + 720x\)와 가로축으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S = 1728000\)를 유도하시오.

[문항 5-2] (7점) 직선 \(x = k\)가 넓이 \(S = 1728000\)를 이등분하는 상수 \(k = \dfrac{120}{2}\)를 구하고, \(\int_0^{120/2} (-6x^2 + 720x)\,dx = \dfrac{1728000}{2}\)임을 확인하시오.

[문항 5-3] (7점) 포물선 \(y = -6x^2 + 720x\)와 직선 \(y = 360x\)의 교점의 좌표를 구하고, 두 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S_1 = \dfrac{1728000}{8}\)을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(S = 1728000\) | [5-2] \(k = \dfrac{120}{2},\; \text{정적분 } \dfrac{1728000}{2}\) | [5-3] 교점 \(x = 0, \dfrac{120}{2}\), 넓이 \(S_1 = \dfrac{1728000}{8}\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 정적분을 계산하면 \(S = \left[-2x^3 + 360x^2\right]_0^{120} = -2(120)^3 + 3(120)^3 = 1728000\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 포물선의 대칭축 \(x = \dfrac{120}{2}\)에 의해 \(k = \dfrac{120}{2}\)이고, 실제로 \(\left[-2x^3 + 360x^2\right]_0^{120/2} = -\dfrac{1728000}{4} + \dfrac{3\times 1728000}{4} = \dfrac{1728000}{2}\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 연립방정식 \(-6x^2 + 720x = 360x \implies 6x\left(x - \dfrac{120}{2}\right) = 0\)이므로 교점은 \(x = 0, \dfrac{120}{2}\)이고 넓이는 \(S_1 = \int_0^{120/2} (-6x^2 + 360x)\,dx = \dfrac{1728000}{8}\)이다.

평가 소문항	한성대학교 자연·AI공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• 원시함수 \(-2x^3 + 360x^2\) 적분 +3점 / 넓이 \(S = 1728000\) 도출 +3점
소문항 [5-2]	• 대칭축 \(k = \dfrac{120}{2}\) 도출 +3점 / 구간 \([0, 120/2]\) 적분값 \(\dfrac{1728000}{2}\) 확인 +4점
소문항 [5-3]	• 교점 \(x = \dfrac{120}{2}\) 산출 +3점 / 넓이 \(S_1 = \dfrac{1728000}{8}\) 도출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 이차항 계수가 \(-6\)이고 두 교점의 차가 \(\beta - \alpha = \dfrac{120}{2}\)일 때 둘러싸인 넓이는 항상 \((\beta - \alpha)^3 = \dfrac{1728000}{8}\)이 됩니다.

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