2027학년도 대비 한성대학교 자연·AI공학 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 2회 문제집  |  2회 : 유리수 지수의 거듭제곱 · 코사인법칙과 사인법칙을 · 함수방정식과 도함수의 · 수직선 위를 움직이는 · 포물선과 직선으로 둘러
2027학년도 대비 한성대학교 자연·AI공학 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제2회 (문제집) 80분 / 100점 만점 · 교과서 핵심 3줄 풀이 루브릭

[약술문항 1] 유리수 지수의 거듭제곱 대칭식과 인수분해 항등식 추론 (20점)

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)
[출처: (DB: CAL1_Ch02_미래엔) PDF p.37 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-02, 12미적Ⅰ-02-08]
<제시문 (가)> 양수 \(x\)에 대하여 \(u = x^{1/2}\;\left(u + u^{-1} = \sqrt{129}\right)\)로 치환하면 지수법칙에 의하여 \(x + x^{-1} = u^2 + u^{-2} = 127\)이다.
<제시문 (나)> \(u + u^{-1} = \sqrt{129}\)일 때 세제곱 곱셈 공식 \(u^3 + u^{-3} = (u + u^{-1})^3 - 3(u + u^{-1}) = 126\sqrt{129}\)이 성립한다.
양수 \(x\)가 \(x^{1/2} + x^{-1/2} = \sqrt{129}\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)의 제곱 공식을 이용하여 \(x + x^{-1} = 127\)임을 보이고 \(x^2 + x^{-2} = 16127\)의 값을 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 세제곱 공식을 이용하여 \(x^{3/2} + x^{-3/2} = 126\sqrt{129}\)과 \(x^3 + x^{-3} = 2048002\)의 값을 각각 구하시오.
[문항 1-3] (7점) 완전제곱 항등식을 이용하여 분수식 \(\dfrac{x^3 + x^{-3} + 2}{x^{3/2} + x^{-3/2}} = \dfrac{2048004}{126\sqrt{129}}\)의 값을 구하시오.
[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
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[약술문항 2] 코사인법칙과 사인법칙을 이용한 외접원·내접원 반지름의 비 추론 (20점)

대수 Ⅱ. 삼각함수 (사인법칙과 코사인법칙) | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 대수 Ⅱ. 삼각함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수02-07, 12대수02-08]
<제시문 (가)> 삼각형 ABC에서 코사인법칙 \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\;\left(b=354,\; c=590\right)\)와 사인법칙 \(\dfrac{a}{\sin A} = 2R\;\left(a=826\right)\)이 성립한다.
<제시문 (나)> 삼각형 ABC의 넓이 \(S\)와 둘레의 길이 \(a + b + c = 1770\), 내접원의 반지름 \(r\) 사이에는 \(S = \dfrac{1770}{2}r\)가 성립한다.
삼각형 ABC에서 두 변의 길이가 \(b = 354,\; c = 590\)이고 끼인각이 \(A = \dfrac{2\pi}{3}\;\left(\cos A = -\dfrac{1}{2},\; b=354\right)\)일 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 코사인법칙을 이용하여 대변 \(a = 826\)의 길이를 유도하시오.
[문항 2-2] (7점) 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름 \(R = \dfrac{826\sqrt{3}}{3}\)과 삼각형의 넓이 \(S = \dfrac{208860\sqrt{3}}{4}\)를 각각 구하시오.
[문항 2-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 내접원의 반지름 \(r = \dfrac{118\sqrt{3}}{2}\)를 구하고 반지름의 곱 \(R\cdot r\)을 구하시오.
[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
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[약술문항 3] 함수방정식과 도함수의 정의를 이용한 삼차다항함수 결정 및 접선 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-04]
<제시문 (가)> 미분가능한 함수의 도함수는 정의에 의하여 \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}\;\left(f'(0) = 127\right)\)로 정의된다.
<제시문 (나)> 모든 실수 \(x, y\)에 대하여 성립하는 항등식 \(f(x+y) = f(x) + f(y) + 6xy(x+y) - 123\)이 주어지면 원점 대입으로 \(f(0) = 123\)를 먼저 결정한다.
미분가능한 다항함수가 모든 실수에 대하여 등식 \(f(x + y) = f(x) + f(y) + 6xy(x + y) - 123\)을 만족시키고 \(f'(0) = 127\)일 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 원점 대입으로 \(f(0) = 123\)를 구하고, 도함수의 정의를 이용하여 \(f'(x) = 6x^2 + 127\)임을 유도하시오.
[문항 3-2] (7점) 부정적분으로 함수 \(f(x) = 2x^3 + 127x + 123\)를 결정하고, 곡선 위의 점 \((1, 252)\)에서의 접선의 방정식을 구하시오.
[문항 3-3] (7점) 미분계수의 정의를 이용하여 극한값 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{x^2 - 4}\;\left(f'(2) = 151\right)\)의 값을 구하시오.
[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
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[약술문항 4] 수직선 위를 움직이는 두 점의 위치 차 함수와 거리 최댓값 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]
<제시문 (가)> 수직선 위를 움직이는 두 점의 시각 \(t\;(0 \le t \le 357)\)에서의 위치 차 함수를 \(h(t) = t(t - 357)^2\)라 하면, 두 점의 속도 차는 도함수 \(h'(t)\)이다.
<제시문 (나)> 닫힌구간 \([0, 357]\)에서 두 점 사이의 거리 \(D(t) = |t(t - 357)^2|\)는 두 점의 속도가 같아지는 시각 또는 구간의 양 끝점에서 최댓값을 갖는다.
수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 \(t\;(t \ge 0)\)에서의 위치 차 함수가 \(h(t) = t^3 - 714t^2 + 127449t = t(t - 357)^2\)일 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 출발 후 두 점 P, Q가 처음으로 만나는 시각 \(t_1 = 357\)를 구하고, 그 순간 두 점의 속도 차 \(h'(357) = 0\)의 값을 구하시오.
[문항 4-2] (7점) 닫힌구간 \([0, 357]\)에서 도함수 \(h'(t) = 3(t - 119)(t - 357)\)의 부호를 조사하여 거리 최댓값 \(D(119) = 6740636\)를 구하시오.
[문항 4-3] (7점) 가속도의 차 \(h''(t) = 6t - 1428 = 0\)이 되는 시각 \(t_2 = 238\)와 그때 두 점 사이의 거리 \(D(238) = 3370318\)를 각각 구하시오.
[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
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[약술문항 5] 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 공식과 넓이 분할 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
<제시문 (가)> 이차함수 \(y = -6x(x - 120)\)의 그래프와 가로축이 두 점 \((0, 0),\; (120, 0)\)에서 만날 때, 둘러싸인 도형의 넓이는 \(S = \int_0^{120} (-6x^2 + 720x)\,dx = 1728000\)이다.
<제시문 (나)> 이차함수 그래프는 대칭축 \(x = \dfrac{120}{2}\)에 대하여 좌우 대칭이므로 대칭축은 전체 넓이 \(1728000\)를 정확히 이등분한다.
포물선 \(C : y = -6x^2 + 720x\)와 가로축 및 원점을 지나는 직선 \(L : y = 360x\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 정적분을 직접 계산하여 포물선 \(y = -6x^2 + 720x\)와 가로축으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S = 1728000\)를 유도하시오.
[문항 5-2] (7점) 직선 \(x = k\)가 넓이 \(S = 1728000\)를 이등분하는 상수 \(k = \dfrac{120}{2}\)를 구하고, \(\int_0^{120/2} (-6x^2 + 720x)\,dx = \dfrac{1728000}{2}\)임을 확인하시오.
[문항 5-3] (7점) 포물선 \(y = -6x^2 + 720x\)와 직선 \(y = 360x\)의 교점의 좌표를 구하고, 두 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S_1 = \dfrac{1728000}{8}\)을 구하시오.
[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
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