2027학년도 대비 한성대학교 자연·AI공학 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회)

2027학년도 대비 한성대학교 자연·AI공학 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제1회 (해설집) 80분 / 100점 만점 · 교과서 핵심 3줄 풀이 루브릭

[약술문항 1] 지수·로그함수의 역함수 대칭성과 수직 직선 위의 교점 좌표 추론 (20점)

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: (DB: CAL1_Ch02_미래엔) PDF p.36 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-02, 12미적Ⅰ-02-08]

<제시문 (가)> 지수함수 \(y = 2^{x - 122} + 122\)와 그 역함수인 로그함수의 그래프는 항등직선 \(y - x = 0\cdot 248\)에 대하여 서로 대칭이다.
<제시문 (나)> 기울기가 \(-1\)인 직선 \(x + y = 248\)은 대칭축과 수직으로 만나므로, 서로 역함수 관계인 두 곡선과 만나는 두 교점 \(\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 + x_2 = 248)\)도 대칭축에 대하여 서로 대칭이다.

직선 \(y = -x + 248\)이 서로 역함수 관계인 지수곡선과 로그곡선과 만나는 두 점을 각각 \(\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 \lt x_2,\; x_1 + y_1 = 248)\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (나)의 역함수 대칭성을 이용하여 \(x_1 + x_2 = y_1 + y_2 = 248\)임을 설명하고, 선분 PQ의 중점 \(\mathrm{M}(124, 124)\)의 좌표를 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 선분 PQ의 길이가 \(\overline{\mathrm{PQ}} = 2\sqrt{2}\;(\text{중점 } 124)\)일 때, \(x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 248)\)를 이용하여 두 교점 P, Q의 좌표를 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 원점 O에서 직선 \(x + y - 248 = 0\)까지의 거리 \(h = \dfrac{248}{\sqrt{2}}\)를 구하고, 삼각형 OPQ의 넓이를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(x_1 + x_2 = 248,\; \mathrm{M}(124, 124)\) | [1-2] \(\mathrm{P}(123, 125),\; \mathrm{Q}(125, 123)\) | [1-3] 넓이 \(S = 248\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 두 교점은 직선 \(x + y = 248\) 위에 있고 역함수 대칭이므로 \(x_1 + x_2 = y_1 + y_2 = 248\)이며 중점은 \(\mathrm{M}(124, 124)\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 기울기가 \(-1\)인 직선 위의 두 점 거리 공식에서 \(\sqrt{2}(x_2 - x_1) = 2\sqrt{2} \implies x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 248)\)이므로 연립하면 \(\mathrm{P}(123, 125),\; \mathrm{Q}(125, 123)\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 원점에서 직선 \(x + y - 248 = 0\)까지의 거리는 \(h = \dfrac{248}{\sqrt{2}}\)이므로 삼각형 OPQ의 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times \dfrac{248}{\sqrt{2}} = 248\)이다.

평가 소문항	한성대학교 자연·AI공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• 역함수 대칭 \(x_1 + x_2 = 248\) 유도 +3점 / 중점 \(\mathrm{M}(124, 124)\) 도출 +3점
소문항 [1-2]	• 거리 공식 \(x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 248)\) 도출 +3점 / 좌표 \(\mathrm{P}(123, 125),\; \mathrm{Q}(125, 123)\) 산출 +4점
소문항 [1-3]	• 원점과 직선 사이 거리 \(h = \dfrac{248}{\sqrt{2}}\) 계산 +4점 / 삼각형 넓이 \(S = 248\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 기울기가 \(-1\)인 직선 \(x + y = 248\) 위에서 두 점의 좌표 차가 주어지면 대칭축 중점 \(\mathrm{M}(124, 124)\)을 기준으로 좌표를 즉시 결정할 수 있습니다.

[약술문항 2] 유리수 지수의 거듭제곱 대칭식과 인수분해 항등식 추론 (20점)

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

<제시문 (가)> 양수 \(x\)에 대하여 \(u = x^{1/2}\;\left(u + u^{-1} = \sqrt{128}\right)\)로 치환하면 지수법칙에 의하여 \(x + x^{-1} = u^2 + u^{-2} = 126\)이다.
<제시문 (나)> \(u + u^{-1} = \sqrt{128}\)일 때 세제곱 곱셈 공식 \(u^3 + u^{-3} = (u + u^{-1})^3 - 3(u + u^{-1}) = 125\sqrt{128}\)이 성립한다.

양수 \(x\)가 \(x^{1/2} + x^{-1/2} = \sqrt{128}\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 제곱 공식을 이용하여 \(x + x^{-1} = 126\)임을 보이고 \(x^2 + x^{-2} = 15874\)의 값을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 세제곱 공식을 이용하여 \(x^{3/2} + x^{-3/2} = 125\sqrt{128}\)과 \(x^3 + x^{-3} = 1999998\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 완전제곱 항등식을 이용하여 분수식 \(\dfrac{x^3 + x^{-3} + 2}{x^{3/2} + x^{-3/2}} = \dfrac{2000000}{125\sqrt{128}}\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(x + x^{-1} = 126,\; x^2 + x^{-2} = 15874\) | [2-2] \(x^{3/2} + x^{-3/2} = 125\sqrt{128},\; x^3 + x^{-3} = 1999998\) | [2-3] \(125\sqrt{128}\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 제곱 공식에서 \(x + x^{-1} = (\sqrt{128})^2 - 2 = 126\)이고, 다시 제곱하면 \(x^2 + x^{-2} = 126^2 - 2 = 15874\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 세제곱 공식에서 \(x^{3/2} + x^{-3/2} = (\sqrt{128})^3 - 3\sqrt{128} = 125\sqrt{128}\)이고, \(x^3 + x^{-3} = 126^3 - 3\times 126 = 1999998\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 분자 \(x^3 + x^{-3} + 2 = 2000000 = (125\sqrt{128})^2\)이므로 분모 \(125\sqrt{128}\)로 약분하면 \(125\sqrt{128}\)이다.

평가 소문항	한성대학교 자연·AI공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• \(x + x^{-1} = 126\) 유도 +3점 / \(x^2 + x^{-2} = 15874\) 산출 +3점
소문항 [2-2]	• \(x^{3/2} + x^{-3/2} = 125\sqrt{128}\) 도출 +3점 / \(x^3 + x^{-3} = 1999998\) 계산 +4점
소문항 [2-3]	• 분자 \(2000000\) 완전제곱 변형 +4점 / 약분 결과 \(125\sqrt{128}\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 분자 \(2000000 = (125\sqrt{128})^2\)임을 활용하면 큰 수의 유리화 없이 한 번의 약분으로 정확한 값을 얻을 수 있습니다.

[약술문항 3] 무한대 극한과 영인자 약분 극한을 동시에 만족시키는 삼차함수의 유일성 (20점)

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> 다항함수가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 3x^3}{x^2} = -843\)을 만족시키면 최고차항 계수가 \(3\)인 삼차함수이다.
<제시문 (나)> \(\lim_{x \to 120} \dfrac{f(x)}{(x - 120)^2} = 237\)이 수렴하면 인수정리에 의해 \(f(x) = (x - 120)^2(3x + r)\) 꼴로 인수분해된다.

삼차다항함수가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 3x^3}{x^2} = -843\)과 \(\lim_{x \to 120} \dfrac{f(x)}{(x - 120)^2} = 237\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 \(f(x) = (x - 120)^2(3x + r)\)로 놓고 상수 \(r = -123\)을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 구한 함수 \(f(x) = (x - 120)^2(3x + -123)\)이 무한대 극한 조건 \(-843\)을 만족시킴을 전개하여 검증하시오.

[문항 3-3] (7점) 함숫값 \(f(122) = 972\)의 값과 \(x = 120\)에서의 미분계수 \(f'(120) = 0\)의 값을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(r = -123\) | [3-2] 이차항 계수 \(-843\) 일치 검증 완료 | [3-3] \(f(122) = 972,\; f'(120) = 0\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 제시문 (나)의 극한식에 대입하면 \(\lim_{x \to 120} (3x + r) = 360 + r = 237\)이므로 \(r = -123\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 전개하면 \(f(x) = (x^2 - 240x + 14400)(3x + -123) = 3x^3 + (-843)x^2 + \cdots\)이므로 이차항 계수 \(-843\)이 정확히 성립한다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(x = 122\)를 대입하면 \(f(122) = 4(366 + -123) = 972\)이고, \((x - 120)^2\)을 인수로 가지므로 \(f'(120) = 0\)이다.

평가 소문항	한성대학교 자연·AI공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• 인수분해 꼴 설정 +3점 / 극한 대입으로 \(r = -123\) 도출 +3점
소문항 [3-2]	• 삼차식 전개 후 이차항 계수 \(-843\) 확인 +7점
소문항 [3-3]	• \(f(122) = 972\) 산출 +4점 / 중근 성질로 \(f'(120) = 0\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 분모에 \((x - 120)^2\)이 있을 때 극한이 수렴하려면 분자는 \(x = 120\)을 반드시 중근 이상으로 가져야 합니다.

[약술문항 4] 절댓값 인수를 포함한 다항 곱함수의 실수 전체 미분가능 조건 증명 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

<제시문 (가)> 이차함수 \(P(x) = x^2 - 239x + 14278\)에 대하여 함수 \(h(x) = |x - 121|P(x)\)가 \(x = 121\)에서 미분가능하기 위한 필요충분조건은 좌·우미분계수가 일치하여 \(P(121) = 0\)인 것이다.
<제시문 (나)> \(P(x) = (x - 121)(x - 118)\)일 때 구간 \(x \lt 121\)에서 \(h(x) = -(x - 121)^2(x - 118)\)로 표현된다.

이차함수 \(P(x) = x^2 - 239x + 14278\)에 대하여 함수 \(h(x) = |x - 121|P(x)\)가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) \(x = 121\)에서의 우미분계수 \(P(121)\)와 좌미분계수 \(-P(121)\)를 미분계수 정의로 구하고 \(P(121) = 0\)임을 확인하시오.

[문항 4-2] (7점) 구간 \(x \lt 121\)에서 도함수 \(h'(x) = -3(x - 121)(x - 119)\)을 유도하시오.

[문항 4-3] (7점) \(x \ne 121\)에서 도함수가 영이 되는 \(x = 119\)의 값과 그때의 함숫값 \(h(119) = -4\;(\text{기준점 } 121)\)를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(P(121) = -P(121) = 0\) 확인 | [4-2] \(h'(x) = -3(x - 121)(x - 119)\) | [4-3] \(x = 119,\; h(119) = -4\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 미분계수 정의에서 \(\lim_{x \to 121\pm} \dfrac{|x - 121|P(x)}{x - 121} = \pm P(121)\)이고 실제로 \(P(121) = (121 - 121)(121 - 118) = 0\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 구간 \(x \lt 121\)에서 \(h(x) = -(x - 121)^2(x - 118)\)를 미분하면 \(h'(x) = -(x - 121)(3x - 357) = -3(x - 121)(x - 119)\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(x \ne 121\)에서 극점은 \(x = 119\)이고, 대입하면 \(h(119) = -(119 - 121)^2(119 - 118) = -4\)이다.

평가 소문항	한성대학교 자연·AI공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• 좌·우미분계수 \(\pm P(121)\) 정의식 서술 +4점 / \(P(121) = 0\) 확인 +2점
소문항 [4-2]	• \(x \lt 121\) 부호 분리 및 곱의 미분법 적용 +4점 / \(h'(x) = -3(x - 121)(x - 119)\) 유도 +3점
소문항 [4-3]	• 극점 \(x = 119\) 도출 +3점 / 함숫값 \(h(119) = -4\;(\text{극점 } 119)\) 산출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 첨점 후보 \(x = 121\)에서 절댓값 함수가 미분가능하려면 곱해진 다항식이 \(x - 121\)을 인수로 가져야 함을 먼저 서술하세요.

[약술문항 5] 상수 구간 정적분을 포함한 프레드홀름 항등식의 치환 해법 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

<제시문 (가)> 상수 구간 정적분 \(A = \int_0^1 f(t)\,dt\;\left(c = 368\right)\)는 적분변수와 무관한 상수이므로, 등식 \(f(x) = 3x^2 - 4Ax + 368\)을 양변 \([0, 1]\)에서 다시 적분하면 \(A = 123\)에 대한 일차방정식을 얻는다.
<제시문 (나)> 대칭 구간 \([-1, 1]\)에서 기함수의 정적분은 소거되고 우함수의 정적분은 \(2\int_0^1 (3x^2 + 368)\,dx = 738\)이다.

연속함수가 모든 실수에 대하여 등식 \(f(x) = 3x^2 - 4x\int_0^1 f(t)\,dt + 368\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 정적분을 상수 \(A\)로 치환하고 \(A = \int_0^1 (3t^2 - 4At + 368)\,dt\)를 풀어 상수 \(A = 123\)과 함수 \(f(x)\)를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 함수 \(f(x) = 3x^2 - 492x + 368\)이 극솟값을 갖는 좌표 \(x = \dfrac{246}{3}\)와 함숫값 \(f(1) = -121\)을 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 제시문 (나)의 우·기함수 대칭성을 이용하여 \(\int_{-1}^{1} (3x^2 - 492x + 368)\,dx = 738\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(A = 123,\; f(x) = 3x^2 - 492x + 368\) | [5-2] \(x = \dfrac{246}{3},\; f(1) = -121\) | [5-3] \(738\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 정적분 정의식에 대입하면 \(A = \left[t^3 - 2At^2 + 368t\right]_0^1 = 369 - 2A \implies 3A = 369\)이므로 \(A = 123\)이고 \(f(x) = 3x^2 - 492x + 368\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 도함수 \(f'(x) = 6x - 492 = 0\)에서 극소점은 \(x = \dfrac{246}{3}\)이고, \(f(1) = 3 - 492 + 368 = -121\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 기함수 항 \(-492x\)는 소거되므로 \(\int_{-1}^{1} (3x^2 - 492x + 368)\,dx = 2(1 + 368) = 738\)이다.

평가 소문항	한성대학교 자연·AI공학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• \(A = 369 - 2A \implies A = 123\) 도출 +3점 / \(f(x) = 3x^2 - 492x + 368\) 완성 +3점
소문항 [5-2]	• 대칭축 \(x = \dfrac{246}{3}\) 산출 +4점 / \(f(1) = -121\) 계산 +3점
소문항 [5-3]	• 기함수 소거 및 우함수 2배 공식 적용 +4점 / 정적분 값 \(738\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 적분 구간이 상수인 정적분은 함수가 아니라 상수 \(A = 123\)이므로 미분하지 않고 상수로 치환해야 합니다.

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