2027학년도 대비 한신대학교 약술형 논술 모의고사 5회 (해설집)

2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 5회 (모범해설 및 2열 채점기준표) 수리 영역 10문항 (80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음)

[문항 1] 유리수 지수의 곱셈 공식 변형과 대칭식의 값

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.14 문제 6 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03]

양수 \(a\)가 \(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = 3\)을 만족시킬 때, 지수법칙과 곱셈 공식을 이용하여 다음을 구하시오. (단, \(a \gt 0\))

[1-1] (5점) \(a + a^{-1}\)의 값과 \(a^2 + a^{-2}\)의 값을 각각 구하시오.

[1-2] (5점) \(a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}}\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [1-1] \(a + a^{-1} = 7,\; a^2 + a^{-2} = 47\) | [1-2] \(18\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 곱셈 공식 변형 \(x^2 + x^{-2} = (x + x^{-1})^2 - 2\)와 \(x^3 + x^{-3} = (x + x^{-1})^3 - 3(x + x^{-1})\)을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a + a^{-1} = \left(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}}\right)^2 - 2 = 9 - 2 = 7\)이고, \(a^2 + a^{-2} = 7^2 - 2 = 47\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} = \left(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}}\right)^3 - 3\left(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}}\right) = 27 - 9 = 18\)이다.

배점 단계	한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (5점)	• \(a + a^{-1} = 7\) 산출 +2점 / \(a^2 + a^{-2} = 47\) 산출 +3점
소문항 [1-2] (5점)	• 세제곱 곱셈 공식 변형 적용 +3점 / \(18\) 도출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: \(a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{-\frac{1}{2}} = a^0 = 1\)이므로 제곱할 때 가운데 항 \(2\)를 빼는 것을 잊지 마세요.

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[문항 2] 지수함수의 점근선과 역함수의 함숫값

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.15 개념/본문 변형 | 성취기준: 12대수01-06]

실수 전체의 집합에서 정의된 지수함수 \(f(x) = 2^{x-1} + 3\)과 그 역함수 \(y = f^{-1}(x)\)에 대하여 다음을 구하시오.

[2-1] (5점) 함수 \(y = f(x)\)의 그래프의 점근선의 방정식과 \(f(3)\)의 값을 구하시오.

[2-2] (5점) 역함수의 성질을 이용하여 \(f^{-1}(7) + f^{-1}(11)\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [2-1] 점근선 \(y = 3,\; f(3) = 7\) | [2-2] \(7\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 모든 실수 \(x\)에서 \(2^{x-1} \gt 0\)이므로 치역은 \(\{y \mid y \gt 3\}\)이고, 역함수의 성질 \(f^{-1}(k) = \alpha \iff f(\alpha) = k\)임을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 점근선의 방정식은 \(y = 3\)이고, \(f(3) = 2^2 + 3 = 7\)이므로 \(f^{-1}(7) = 3\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(f(k) = 2^{k-1} + 3 = 11\)에서 \(2^{k-1} = 8 = 2^3 \implies k = 4\)이므로 \(f^{-1}(7) + f^{-1}(11) = 3 + 4 = 7\)이다.

배점 단계	한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (5점)	• 점근선 \(y = 3\) 명시 +2점 / \(f(3) = 7\) 산출 +3점
소문항 [2-2] (5점)	• \(f^{-1}(7) = 3\) 및 \(f^{-1}(11) = 4\) 도출 +3점 / 합 \(7\) 산출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 역함수의 식을 직접 구하지 않고 \(f(k) = 11\)을 만족하는 \(k\)를 찾으면 계산이 훨씬 간결합니다.

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[문항 3] 삼각함수의 주기성과 대칭성을 이용한 각의 변환

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.24 문제 7 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

삼각함수의 주기성과 각의 변환 공식을 이용하여 다음을 구하시오.

[3-1] (5점) \(\sin\dfrac{7\pi}{6}\)와 \(\cos\dfrac{5\pi}{3}\)의 값을 각각 구하시오.

[3-2] (5점) \(\tan\dfrac{5\pi}{4}\)의 값을 구하고, \(\sin\dfrac{7\pi}{6} + \cos\dfrac{5\pi}{3} + \tan\dfrac{5\pi}{4}\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [3-1] \(\sin\dfrac{7\pi}{6} = -\dfrac{1}{2},\; \cos\dfrac{5\pi}{3} = \dfrac{1}{2}\) | [3-2] \(\tan\dfrac{5\pi}{4} = 1\), 합 \(= 1\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 각의 변환 공식 \(\sin(\pi + \theta) = -\sin\theta\), \(\cos(2\pi - \theta) = \cos\theta\), \(\tan(\pi + \theta) = \tan\theta\)를 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\sin\dfrac{7\pi}{6} = \sin\left(\pi + \dfrac{\pi}{6}\right) = -\sin\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{1}{2}\)이고, \(\cos\dfrac{5\pi}{3} = \cos\left(2\pi - \dfrac{\pi}{3}\right) = \cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(\tan\dfrac{5\pi}{4} = \tan\left(\pi + \dfrac{\pi}{4}\right) = \tan\dfrac{\pi}{4} = 1\)이므로 세 값의 합은 \(-\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} + 1 = 1\)이다.

배점 단계	한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (5점)	• \(\sin\dfrac{7\pi}{6} = -\dfrac{1}{2}\) 산출 +3점 / \(\cos\dfrac{5\pi}{3} = \dfrac{1}{2}\) 산출 +2점
소문항 [3-2] (5점)	• \(\tan\dfrac{5\pi}{4} = 1\) 산출 +3점 / 세 값의 합 \(1\) 도출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 각 동경이 속한 사분면(제\(3\)사분면, 제\(4\)사분면)에서 삼각함수의 부호를 먼저 확인하세요.

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[문항 4] 코사인법칙과 사인법칙을 이용한 삼각형의 변과 외접원 반지름

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.34 문제 5 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = c = 6\), \(\overline{\mathrm{AC}} = b = 4\), \(A = \dfrac{\pi}{3}\)일 때, 코사인법칙과 사인법칙을 이용하여 다음을 구하시오.

[4-1] (5점) 코사인법칙을 이용하여 변 \(\overline{\mathrm{BC}} = a\)의 길이를 구하시오.

[4-2] (5점) 사인법칙을 이용하여 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 외접원의 반지름의 길이 \(R\)를 구하시오.

🎯 정답 : [4-1] \(a = 2\sqrt{7}\) | [4-2] \(R = \dfrac{2\sqrt{21}}{3}\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 코사인법칙 \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\)와 사인법칙 \(2R = \dfrac{a}{\sin A}\)를 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a^2 = 16 + 36 - 2 \times 4 \times 6 \times \cos\dfrac{\pi}{3} = 52 - 24 = 28\)이고 \(a \gt 0\)이므로 \(a = 2\sqrt{7}\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(2R = \dfrac{2\sqrt{7}}{\sin\frac{\pi}{3}} = \dfrac{2\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{4\sqrt{21}}{3}\)이므로 \(R = \dfrac{2\sqrt{21}}{3}\)이다.

배점 단계	한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (5점)	• 코사인법칙으로 \(a^2 = 28\) 산출 +3점 / \(a = 2\sqrt{7}\) 도출 +2점
소문항 [4-2] (5점)	• 사인법칙 \(2R = \dfrac{a}{\sin A}\) 대입 +2점 / 분모 유리화로 \(R = \dfrac{2\sqrt{21}}{3}\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 사인법칙에서 구한 값은 \(R\)가 아니라 지름 \(2R\)이므로 마지막에 \(2\)로 나누는 과정을 잊지 마세요.

2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 5회 (모범해설 및 2열 채점기준표) 수리 영역 10문항 (80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음)

[문항 5] 수열의 귀납적 정의와 보조수열을 이용한 항의 계산

대수 Ⅲ. 수열 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.11 수학적 귀납법 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = 4\)이고, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 귀납적 정의 \(a_{n+1} = 3a_n - 4\)를 만족시킬 때, 다음을 구하시오.

[5-1] (5점) \(a_2,\; a_3,\; a_4\)의 값을 차례대로 구하시오.

[5-2] (5점) \(b_n = a_n - 2\)로 놓을 때 \(b_{n+1} = 3b_n\)이 성립함을 이용하여 \(a_6\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [5-1] \(a_2 = 8,\; a_3 = 20,\; a_4 = 56\) | [5-2] \(a_6 = 488\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 귀납적 정의 \(a_{n+1} - 2 = 3(a_n - 2)\)로부터 수열 \(\{b_n\}\)이 첫째항 \(b_1 = a_1 - 2 = 2\), 공비 \(3\)인 등비수열임을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a_2 = 3(4) - 4 = 8\), \(a_3 = 3(8) - 4 = 20\), \(a_4 = 3(20) - 4 = 56\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(b_n = 2 \cdot 3^{n-1}\)이므로 \(a_n = 2 \cdot 3^{n-1} + 2\)이고, \(a_6 = 2 \cdot 3^5 + 2 = 486 + 2 = 488\)이다.

배점 단계	한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (5점)	• \(n = 1, 2, 3\) 순차 대입으로 \(a_2=8,\; a_3=20,\; a_4=56\) 산출 +5점
소문항 [5-2] (5점)	• \(a_n = 2\cdot 3^{n-1} + 2\) 유도 +3점 / \(a_6 = 488\) 산출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: \(a_4 = 56\)에서 \(a_5 = 164,\; a_6 = 488\)을 직접 계산하여 등비수열 공식 결과와 검산해 보세요.

2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 5회 (모범해설 및 2열 채점기준표) 수리 영역 10문항 (80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음)

[문항 6] 분수함수가 한 점에서 연속이 되기 위한 미정계수 결정

미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.20 개념/본문 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-03]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 + ax - 6}{x - 2} & (x \ne 2) \\ b & (x = 2) \end{cases}\)가 \(x = 2\)에서 연속일 때, 두 상수 \(a, b\)에 대하여 다음을 구하시오.

[6-1] (5점) 극한값 \(\lim_{x \to 2} f(x)\)가 존재함을 이용하여 상수 \(a\)의 값을 구하시오.

[6-2] (5점) 연속의 정의 \(\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)\)를 이용하여 상수 \(b\)의 값과 \(a + b\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [6-1] \(a = 1\) | [6-2] \(b = 5,\; a + b = 6\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 함수 \(f(x)\)가 \(x = 2\)에서 연속일 필요충분조건은 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 + ax - 6}{x - 2} = b\)이고, 분모가 \(0\)으로 갈 때 분자도 \(0\)으로 수렴함을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x = 2\)를 분자에 대입하면 \(4 + 2a - 6 = 0\)이므로 \(a = 1\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(b = \lim_{x \to 2} \dfrac{(x - 2)(x + 3)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 3) = 5\)이므로 \(a + b = 1 + 5 = 6\)이다.

배점 단계	한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [6-1] (5점)	• 분자의 극한 \(4 + 2a - 6 = 0\) 수립 +2점 / \(a = 1\) 도출 +3점
소문항 [6-2] (5점)	• 약분 후 극한값 \(b = 5\) 산출 +3점 / \(a + b = 6\) 도출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 연속의 정의 \(\lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = b\)를 답안에 명시하면 채점 기준을 완벽히 충족합니다.

2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 5회 (모범해설 및 2열 채점기준표) 수리 영역 10문항 (80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음)

[문항 7] 접선의 방정식과 미분계수 정의를 이용한 극한값

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.22 개념/본문 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05]

미분가능한 다항함수 \(f(x)\)의 그래프 위의 점 \((2, 3)\)에서의 접선의 기울기가 \(5\)일 때, 다음을 구하시오.

[7-1] (5점) \(f(2)\)와 \(f'(2)\)의 값을 각각 구하고, 점 \((2, 3)\)에서의 접선의 방정식을 구하시오.

[7-2] (5점) 극한 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 f(2) - 4f(x)}{x - 2}\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [7-1] \(f(2) = 3,\; f'(2) = 5\), 접선 \(y = 5x - 7\) | [7-2] \(-8\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 곡선 위의 점 \((2, 3)\)에서의 접선의 방정식 \(y - f(2) = f'(2)(x - 2)\)와 미분계수의 정의 \(f'(2) = \lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{x - 2}\)를 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(2) = 3,\; f'(2) = 5\)이므로 접선의 방정식은 \(y - 3 = 5(x - 2)\), 즉 \(y = 5x - 7\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(\lim_{x \to 2} \dfrac{(x^2 - 4)f(2) - 4\{f(x) - f(2)\}}{x - 2} = 4f(2) - 4f'(2) = 12 - 20 = -8\)이다.

배점 단계	한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [7-1] (5점)	• \(f(2)=3,\; f'(2)=5\) 명시 +2점 / 접선 \(y = 5x - 7\) 도출 +3점
소문항 [7-2] (5점)	• 분자에 \(-4f(2) + 4f(2)\)를 더하고 빼서 변형 +3점 / 극한값 \(-8\) 산출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 분자를 \((x^2 - 4)f(2) - 4(f(x) - f(2))\)로 분리하여 미분계수의 정의 꼴로 만드는 과정을 반드시 서술하세요.

2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 5회 (모범해설 및 2열 채점기준표) 수리 영역 10문항 (80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음)

[문항 8] 사차함수의 도함수 인수분해와 극댓값·극솟값

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.37 문제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

사차함수 \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 2\)에 대하여 다음을 구하시오.

[8-1] (5점) 도함수 \(f'(x)\)를 인수분해하여 방정식 \(f'(x) = 0\)의 세 실근을 모두 구하시오.

[8-2] (5점) 함수 \(f(x)\)의 극댓값 \(M\)과 극솟값 \(m\)을 각각 구하시오.

🎯 정답 : [8-1] \(x = 0,\; 1,\; 2\) | [8-2] 극댓값 \(M = 3\), 극솟값 \(m = 2\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 도함수 \(f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x\)의 부호 변화를 통해 사차함수의 극대와 극소를 판정함을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f'(x) = 4x(x - 1)(x - 2) = 0\)이므로 세 실근은 \(x = 0,\; 1,\; 2\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(x = 1\)에서 극대이므로 극댓값은 \(M = f(1) = 1 - 4 + 4 + 2 = 3\)이고, \(x = 0, 2\)에서 극소이므로 극솟값은 \(m = f(0) = f(2) = 2\)이다.

배점 단계	한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [8-1] (5점)	• \(f'(x) = 4x(x-1)(x-2)\) 인수분해 +3점 / 실근 \(x = 0, 1, 2\) 도출 +2점
소문항 [8-2] (5점)	• 극댓값 \(f(1) = 3\) 산출 +3점 / 극솟값 \(f(0) = f(2) = 2\) 산출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 각 근의 좌우에서 \(f'(x)\)의 부호가 \((-) \to (+) \to (-) \to (+)\)로 바뀜을 언급하면 감점이 없습니다.

2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 5회 (모범해설 및 2열 채점기준표) 수리 영역 10문항 (80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음)

[문항 9] 도함수와 극솟값 조건을 이용한 삼차함수의 부정적분

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.5 문제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-02-07]

삼차함수 \(f(x)\)의 도함수가 \(f'(x) = 3x^2 - 6x\)이고, 함수 \(f(x)\)의 극솟값이 \(-2\)일 때, 다음을 구하시오.

[9-1] (5점) 함수 \(f(x)\)가 극소를 갖는 \(x\)의 값을 구하고, 부정적분을 이용하여 \(f(x)\)를 구하시오.

[9-2] (5점) 함수 \(f(x)\)의 극댓값과 \(f(3)\)의 값의 합을 구하시오.

🎯 정답 : [9-1] \(x = 2\)에서 극소, \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\) | [9-2] \(4\)

[1줄: 공식선언 (30%)] \(f'(x) = 3x(x - 2) = 0\)에서 부호 변화로 극소 위치를 찾고, 부정적분 \(f(x) = \int (3x^2 - 6x)\,dx = x^3 - 3x^2 + C\)를 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x = 2\)에서 극소이므로 \(f(2) = 8 - 12 + C = -2 \implies C = 2\)가 되어 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(x = 0\)에서 극대이므로 극댓값은 \(f(0) = 2\)이고, \(f(3) = 27 - 27 + 2 = 2\)이므로 두 값의 합은 \(2 + 2 = 4\)이다.

배점 단계	한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [9-1] (5점)	• \(x = 2\)에서 극소 판정 +2점 / 적분상수 \(C = 2\)로 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\) 완성 +3점
소문항 [9-2] (5점)	• 극댓값 \(f(0) = 2\) 및 \(f(3) = 2\) 산출 +3점 / 합 \(4\) 도출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: \(f'(x) = 3x(x-2)\)에서 \(x = 0\)은 극대, \(x = 2\)는 극소이므로 극솟값 조건을 \(f(2) = -2\)에 대입해야 합니다.

2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 5회 (모범해설 및 2열 채점기준표) 수리 영역 10문항 (80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음)

[문항 10] 대칭구간의 정적분과 구간 결합 정적분의 계산

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.19 중단원 마무리 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

정적분의 성질을 이용하여 다음 두 정적분의 값을 각각 구하시오.

[10-1] (5점) 정적분 \(I_1 = \int_{-2}^{2} (x^3 + 3x^2 - 5x + 4)\,dx\)의 값을 구하시오.

[10-2] (5점) 정적분 \(I_2 = \int_{0}^{1} (3x^2 + 2x)\,dx + \int_{1}^{3} (3x^2 + 2x)\,dx\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [10-1] \(I_1 = 32\) | [10-2] \(I_2 = 36\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 대칭구간에서 기함수의 정적분 소거 성질과 구간 결합 성질 \(\int_{a}^{c} g(x)\,dx + \int_{c}^{b} g(x)\,dx = \int_{a}^{b} g(x)\,dx\)를 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(I_1 = 2\int_{0}^{2} (3x^2 + 4)\,dx = 2\left[x^3 + 4x\right]_{0}^{2} = 2(8 + 8) = 32\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(I_2 = \int_{0}^{3} (3x^2 + 2x)\,dx = \left[x^3 + x^2\right]_{0}^{3} = 27 + 9 = 36\)이다.

배점 단계	한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [10-1] (5점)	• 홀수차 항 \(x^3, -5x\) 소거 후 \(2\int_{0}^{2} (3x^2+4)\,dx\) 정리 +3점 / \(I_1 = 32\) 산출 +2점
소문항 [10-2] (5점)	• 구간 \([0,1]\)과 \([1,3]\)을 \([0,3]\)으로 결합 +2점 / \(I_2 = 36\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 피적분함수가 같고 위끝·아래끝이 \(1\)로 이어지므로 하나의 정적분 \(\int_{0}^{3}\)으로 합쳐 계산하세요.