[1줄: 공식선언 (30%)] \(a = 3^3,\; b = 2^4\)을 대입하여 유리수 지수법칙 \((p^m)^r = p^{mr}\)을 적용함을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(X = (3^3)^{\frac{2}{3}} (2^4)^{-\frac{1}{4}} = 9 \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{9}{2}\)이고, \(Y = (3^3)^{-\frac{1}{3}} (2^4)^{\frac{3}{4}} = \dfrac{1}{3} \times 8 = \dfrac{8}{3}\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(2XY = 2 \times \dfrac{9}{2} \times \dfrac{8}{3} = 24\)이고 \(\dfrac{X}{Y} = \dfrac{27}{16}\)이므로 \(2XY + \dfrac{X}{Y} = 24 + \dfrac{27}{16} = \dfrac{411}{16}\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 밑이 \(2 \gt 1\)일 때 부등호 방향이 유지되고, 밑이 \(\dfrac{1}{5} \in (0, 1)\)일 때 부등호 방향이 반대로 바뀜을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(2^{x^2 - 3x} \le 2^4\)에서 \(x^2 - 3x - 4 = (x+1)(x-4) \le 0\)이므로 \(-1 \le x \le 4\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(\left(\dfrac{1}{5}\right)^{x-2} \lt \left(\dfrac{1}{5}\right)^{2x-6}\)에서 \(x - 2 \gt 2x - 6 \implies x \lt 4\)이므로 공통해 \(-1 \le x \lt 4\)의 정수 \(-1, 0, 1, 2, 3\)의 합은 \(5\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 진수 조건 \(x - 1 \gt 0,\; x - 3 \gt 0\)과 밑이 \(2 \gt 1\)인 로그함수의 증가 성질을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 진수 조건에서 \(x \gt 3\)이고, \(\log_2\{(x-1)(x-3)\} \le \log_2 8\)에서 \(x^2 - 4x - 5 = (x+1)(x-5) \le 0 \implies -1 \le x \le 5\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 진수 조건과 연립하면 \(3 \lt x \le 5\)이므로 만족시키는 정수 \(x = 4, 5\)의 합은 \(9\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] \(a \gt 0,\; b \gt 0\)일 때 \(f(x) = a\sin(bx) + c\)의 주기는 \(\dfrac{2\pi}{b}\), 최댓값은 \(a + c\), 최솟값은 \(-a + c\)임을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\dfrac{2\pi}{b} = \pi\)에서 \(b = 2\)이고, \(a + c = 5,\; -a + c = -1\)을 연립하면 \(a = 3,\; c = 2\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(f\left(\dfrac{\pi}{12}\right) = 3\sin\dfrac{\pi}{6} + 2 = 3 \times \dfrac{1}{2} + 2 = \dfrac{7}{2}\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 등차수열의 일반항 \(a_n = a_1 + (n-1)d\)와 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합 \(S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}\)를 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a_7 - a_3 = 4d = 16\)에서 \(d = 4\)이고, \(a_1 = a_3 - 2d = 11 - 8 = 3\)이므로 \(a_n = 4n - 1\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(a_{10} = 39\)이므로 \(\sum_{k=1}^{10} a_k = \dfrac{10(3 + 39)}{2} = 210\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] \(\dfrac{0}{0}\) 꼴 무리식의 극한에서 분자·분모에 켤레무리식을 곱하여 유리화하는 법칙과 분모가 \(0\)일 때 분자도 \(0\)으로 수렴하는 극한에 대한 성질을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\lim_{x \to 3} \dfrac{(\sqrt{x+6}-3)(\sqrt{x+6}+3)}{(x-3)(\sqrt{x+6}+3)} = \lim_{x \to 3} \dfrac{1}{\sqrt{x+6}+3} = \dfrac{1}{6}\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(x \to 3\)일 때 분자 \(\sqrt{3+a} - b = 0\)이고, 유리화하면 \(\lim_{x \to 3} \dfrac{1}{\sqrt{x+a}+b} = \dfrac{1}{2b} = \dfrac{1}{4}\)이므로 \(b = 2,\; a = 1\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 다항함수의 미분법에 의하여 \(f'(x) = 2ax + b\)임을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(1) = a + b + 2 = 5 \implies a + b = 3\)이고, \(f'(1) = 2a + b = 8\)이므로 연립하면 \(a = 5,\; b = -2\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(f'(x) = 10x - 2\)이므로 \(f'(-1) = -10 - 2 = -12\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 삼차함수 \(f(x)\)가 실수 전체에서 증가할 필요충분조건은 모든 실수 \(x\)에서 \(f'(x) \ge 0\), 즉 이차방정식 \(f'(x)=0\)의 판별식 \(D \le 0\)임을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f'(x) = 3x^2 + 2ax + (a + 6)\)이므로 \(\dfrac{D}{4} = a^2 - 3(a + 6) = (a + 3)(a - 6) \le 0\)에서 \(-3 \le a \le 6\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 최댓값 \(M = 6\), 최솟값 \(m = -3\)이므로 \(M - m = 6 - (-3) = 9\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 다항함수의 정적분 \(\int_{0}^{a} (3x^2 - 6x)\,dx = \left[x^3 - 3x^2\right]_{0}^{a}\)과 피적분함수의 부호에 따른 구간 분할 성질을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a^3 - 3a^2 = a^2(a - 3) = 0\)이고 \(a \gt 0\)이므로 \(a = 3\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(3x^2 - 6x = 3x(x - 2)\)는 구간 \([0, 2]\)에서 음수이므로 \(\int_{0}^{2} (6x - 3x^2)\,dx + \int_{2}^{3} (3x^2 - 6x)\,dx = 4 + 4 = 8\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 위끝과 아래끝이 같을 때의 성질 \(\int_{1}^{1} f(t)\,dt = 0\)과 정적분으로 정의된 함수의 미분법 \(\dfrac{d}{dx}\int_{1}^{x} f(t)\,dt = f(x)\)를 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 양변에 \(x = 1\)을 대입하면 \(0 = 1 - 2 + a - 3\)이므로 \(a = 4\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 \(f(x) = 3x^2 - 4x + 4\)이고, \(f(2) = 12 - 8 + 4 = 8\)이다.