2027학년도 대비 한신대학교 약술형 논술 모의고사 3회 (해설집)

2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 실전 모의고사 3회 (모범해설 및 2열 채점기준표) 수리 영역 10문항 (80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음)

[문항 1] 정수 지수와 음의 지수의 연산 법칙

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.12 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03]

\(0\)이 아닌 실수에서 정의되는 정수 지수의 성질을 이용하여 다음을 구하시오.

[1-1] (5점) \(P = 2^4 \times 2^{-6} \div 2^{-5}\)와 \(Q = \left(3^{-2}\right)^{-3} \times 3^{-4}\)의 값을 각각 구하시오.

[1-2] (5점) \(P + Q\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [1-1] \(P = 8,\; Q = 9\) | [1-2] \(17\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 정수 지수에서 지수법칙 \(a^m a^n = a^{m+n}\), \(a^m \div a^n = a^{m-n}\), \((a^m)^n = a^{mn}\)을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(P = 2^{4 + (-6) - (-5)} = 2^3 = 8\)이고, \(Q = 3^{(-2)\times(-3) + (-4)} = 3^{6 - 4} = 3^2 = 9\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(P + Q = 8 + 9 = 17\)이다.

배점 단계	한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (5점)	• 지수 합·차로 \(P = 2^3 = 8\) 산출 +3점 / \(Q = 3^2 = 9\) 산출 +2점
소문항 [1-2] (5점)	• \(P + Q = 8 + 9 = 17\) 도출 +5점

💡 감점 방어 클리닉: 나눗셈 \(\div 2^{-5}\)에서 지수를 뺄 때 \(-(-5) = +5\)가 됨에 주의하세요.

[문항 2] 상용로그의 정수부분과 소수부분의 계산

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.23 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-04, 12대수01-05]

\(\log 4.25 = 0.6284\)일 때, 상용로그의 성질을 이용하여 다음을 구하시오.

[2-1] (5점) \(\log 4250\)의 값과 \(\log 0.0425\)의 값을 각각 소수로 구하시오.

[2-2] (5점) \(\log N = 3.6284\)를 만족시키는 양수 \(N\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [2-1] \(\log 4250 = 3.6284,\; \log 0.0425 = -1.3716\) | [2-2] \(N = 4250\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 양수 \(x\)를 \(a \times 10^n\;(1 \le a \lt 10,\; n\text{은 정수})\) 꼴로 나타내면 \(\log x = n + \log a\)임을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\log 4250 = \log(4.25 \times 10^3) = 3 + 0.6284 = 3.6284\)이고, \(\log 0.0425 = \log(4.25 \times 10^{-2}) = -2 + 0.6284 = -1.3716\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(\log N = 3 + 0.6284 = \log(10^3 \times 4.25) = \log 4250\)이므로 \(N = 4250\)이다.

배점 단계	한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (5점)	• \(\log 4250 = 3.6284\) 산출 +2점 / \(\log 0.0425 = -1.3716\) 산출 +3점
소문항 [2-2] (5점)	• \(3 + 0.6284 = \log(4.25 \times 10^3)\) 변형 +3점 / \(N = 4250\) 도출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: \(-2 + 0.6284\)를 \(-2.6284\)로 잘못 계산하지 않도록 부호 연산에 주의하세요.

[문항 3] 로그함수의 그래프의 평행이동과 미정계수

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.16 개념/본문 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

로그함수 \(f(x) = \log_3 (x + a) + b\)의 그래프의 점근선이 직선 \(x = -2\)이고, 이 그래프가 점 \((7, 5)\)를 지날 때, 다음을 구하시오. (단, \(a, b\)는 상수이다.)

[3-1] (5점) 상수 \(a\)와 \(b\)의 값을 각각 구하시오.

[3-2] (5점) 방정식 \(f(x) = 4\)의 해 \(x\)를 구하시오.

🎯 정답 : [3-1] \(a = 2,\; b = 3\) | [3-2] \(x = 1\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 로그함수 \(y = \log_3 (x + a) + b\)의 정의역은 \(x \gt -a\)이고 점근선의 방정식은 \(x = -a\)임을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 점근선이 \(x = -2\)이므로 \(a = 2\)이고, \(f(7) = \log_3 (7 + 2) + b = 2 + b = 5\)에서 \(b = 3\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(f(x) = \log_3 (x + 2) + 3 = 4\)에서 \(\log_3 (x + 2) = 1 \implies x + 2 = 3\)이므로 \(x = 1\)이다.

배점 단계	한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (5점)	• 점근선 조건으로 \(a = 2\) 도출 +2점 / \((7, 5)\) 대입으로 \(b = 3\) 산출 +3점
소문항 [3-2] (5점)	• \(\log_3(x+2) = 1\) 정리 +3점 / \(x = 1\) 도출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 로그함수 \(y = \log_3(x + a) + b\)의 점근선은 진수가 \(0\)이 되는 경계인 \(x = -a\)입니다.

[문항 4] 일반각의 호도법 표현과 부채꼴의 호의 길이·넓이

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.8 문제 4 변형 | 성취기준: 12대수02-01]

반지름의 길이가 \(r = 6\)이고 중심각의 크기가 \(\theta = \dfrac{2\pi}{3}\)인 부채꼴에 대하여 다음을 구하시오.

[4-1] (5점) 부채꼴의 호의 길이 \(l\)과 넓이 \(S\)를 각각 구하시오.

[4-2] (5점) 크기 \(-510^\circ\)인 각의 동경이 나타내는 일반각을 \(2n\pi + \alpha\) (\(n\)은 정수, \(0 \le \alpha \lt 2\pi\)) 꼴로 나타낼 때, \(\alpha\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [4-1] \(l = 4\pi,\; S = 12\pi\) | [4-2] \(\alpha = \dfrac{7\pi}{6}\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 부채꼴의 호의 길이 \(l = r\theta\), 넓이 \(S = \dfrac{1}{2}r^2\theta = \dfrac{1}{2}rl\) 및 \(180^\circ = \pi\) 호도법 변환식을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(l = 6 \times \dfrac{2\pi}{3} = 4\pi\)이고, \(S = \dfrac{1}{2} \times 6 \times 4\pi = 12\pi\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(-510^\circ = 360^\circ \times (-2) + 210^\circ\)이고 \(210^\circ = 210 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{7\pi}{6}\)이므로 \(\alpha = \dfrac{7\pi}{6}\)이다.

배점 단계	한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (5점)	• \(l = 4\pi\) 산출 +2점 / \(S = 12\pi\) 산출 +3점
소문항 [4-2] (5점)	• \(-510^\circ = -720^\circ + 210^\circ\) 분리 +3점 / \(\alpha = \dfrac{7\pi}{6}\) 도출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 일반각에서 \(\alpha\)는 반드시 \(0 \le \alpha \lt 2\pi\) 범위의 양의 각으로 나타내야 합니다.

[문항 5] 등비중항의 성질과 등비수열의 곱

대수 Ⅲ. 수열 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.13 개념/본문 변형 | 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02]

모든 항이 양수인 등비수열 \(\{a_n\}\)에서 \(a_1 = 2\), \(a_5 = 162\)일 때, 다음을 구하시오.

[5-1] (5점) 등비수열 \(\{a_n\}\)의 공비 \(r\)와 제\(3\)항 \(a_3\)의 값을 각각 구하시오.

[5-2] (5점) \(\log_3 \left(\dfrac{a_1 a_2 a_3 a_4 a_5}{32}\right)\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [5-1] \(r = 3,\; a_3 = 18\) | [5-2] \(10\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 등비수열의 일반항 \(a_n = a_1 r^{n-1}\)과 등비중항 성질 \(a_1 a_5 = a_2 a_4 = a_3^2\)을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a_5 = 2r^4 = 162 \implies r^4 = 81\)에서 \(r \gt 0\)이므로 \(r = 3\)이고, \(a_3 = 2 \times 3^2 = 18\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(a_1 a_2 a_3 a_4 a_5 = a_3^5 = (2 \times 3^2)^5 = 32 \times 3^{10}\)이므로 \(\log_3 \left(\dfrac{a_1 a_2 a_3 a_4 a_5}{32}\right) = \log_3 3^{10} = 10\)이다.

배점 단계	한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (5점)	• \(r^4 = 81\)에서 양수 공비 \(r = 3\) 도출 +3점 / \(a_3 = 18\) 산출 +2점
소문항 [5-2] (5점)	• \(a_1 a_2 a_3 a_4 a_5 = 32 \times 3^{10}\) 도출 +3점 / 로그 값 \(10\) 산출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 모든 항이 양수라는 조건으로부터 \(r = \pm 3\) 중 \(r = 3\)만을 선택하는 이유를 적으세요.

[문항 6] 다항함수의 무한대 극한과 극한 조건을 이용한 함수 결정

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.22 개념/본문 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

다항함수 \(f(x)\)가 극한에 대한 성질에 의하여 다음 두 조건을 만족시킬 때, 물음에 답하시오.
(가) \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = 3\) (나) \(\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = 4\)

[6-1] (5점) 조건 (가)를 이용하여 \(f(x) = 2x^3 + 3x^2 + ax + b\)라 둘 때, 조건 (나)를 만족시키는 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하시오.

[6-2] (5점) \(f(2)\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [6-1] \(a = -8,\; b = 3\) | [6-2] \(f(2) = 15\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 극한에 대한 성질에 의하여 조건 (가)에서 \(f(x) - 2x^3\)은 최고차항이 \(3x^2\)인 이차식이고, 조건 (나)에서 \(f(1) = 0,\; f'(1) = 4\)임을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(1) = 5 + a + b = 0\)이고, \(\lim_{x \to 1}\dfrac{(x-1)(2x^2 + 5x + a + 5)}{x - 1} = a + 12 = 4\)에서 \(a = -8,\; b = 3\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 8x + 3\)이므로 \(f(2) = 16 + 12 - 16 + 3 = 15\)이다.

배점 단계	한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [6-1] (5점)	• \(f(1) = 5 + a + b = 0\) 도출 +2점 / 인수분해 극한으로 \(a = -8,\; b = 3\) 산출 +3점
소문항 [6-2] (5점)	• \(f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 8x + 3\) 완성 +2점 / \(f(2) = 15\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(f(1)=0\)으로부터 \(b = -a - 5\)를 대입하여 \(f(x) = (x-1)(2x^2 + 5x + a + 5)\)로 인수분해하면 정확합니다.

[문항 7] 평균변화율과 미분계수가 같아지는 시각·점의 결정

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.20 개념/본문 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

이차함수 \(f(x) = x^2 + 4x + 3\)에서 \(x\)의 값이 \(-1\)에서 \(3\)까지 변할 때의 평균변화율과 \(x = c\)에서의 미분계수 \(f'(c)\)가 서로 같을 때, 다음을 구하시오.

[7-1] (5점) \(x\)의 값이 \(-1\)에서 \(3\)까지 변할 때의 평균변화율을 구하시오.

[7-2] (5점) 미분계수 \(f'(c)\)가 위 평균변화율과 같아지도록 하는 실수 \(c\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [7-1] 평균변화율 \(6\) | [7-2] \(c = 1\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 평균변화율의 정의 \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{f(3) - f(-1)}{3 - (-1)}\)과 도함수 \(f'(x) = 2x + 4\)를 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(3) = 9 + 12 + 3 = 24\), \(f(-1) = 1 - 4 + 3 = 0\)이므로 평균변화율은 \(\dfrac{24 - 0}{4} = 6\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(f'(c) = 2c + 4 = 6\)에서 \(c = 1\)이다.

배점 단계	한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [7-1] (5점)	• \(f(3)=24,\; f(-1)=0\) 산출 +2점 / 평균변화율 \(6\) 도출 +3점
소문항 [7-2] (5점)	• \(f'(c) = 2c + 4 = 6\) 방정식 수립 +3점 / \(c = 1\) 산출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 이차함수에서 구간 \([a, b]\)의 평균변화율과 같아지는 미분계수의 위치는 항상 구간의 중점 \(c = \dfrac{a+b}{2}\)입니다.

[문항 8] 위로 던져 올린 물체의 최고 높이와 지면 도달 속도

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.52 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-09]

지면으로부터 \(25\,\mathrm{m}\) 높이에서 \(20\,\mathrm{m/s}\)의 속도로 똑바로 위로 던져 올린 물체의 \(t\)초 후의 지면으로부터의 높이 \(x(t)\,(\mathrm{m})\)가 \(x(t) = 25 + 20t - 5t^2\)일 때, 다음을 구하시오.

[8-1] (5점) 물체가 최고 높이에 도달하는 시각 \(t_1\)과 최고 높이 \(H\)를 각각 구하시오.

[8-2] (5점) 물체가 지면에 떨어지는 순간의 시각 \(t_2\)와 그때의 속도 \(v(t_2)\)를 각각 구하시오.

🎯 정답 : [8-1] \(t_1 = 2\)초, \(H = 45\,\mathrm{m}\) | [8-2] \(t_2 = 5\)초, \(v(5) = -30\,\mathrm{m/s}\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 최고 높이에서 속도 \(v(t) = x'(t) = 0\)이고, 지면에 도달할 때 높이 \(x(t) = 0\;(t \gt 0)\)임을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(v(t) = 20 - 10t = 0\)에서 \(t_1 = 2\)이고, 최고 높이는 \(H = x(2) = 25 + 40 - 20 = 45\,(\mathrm{m})\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(x(t) = -5(t^2 - 4t - 5) = -5(t + 1)(t - 5) = 0\)에서 \(t_2 = 5\)이고, 그때의 속도는 \(v(5) = 20 - 50 = -30\,(\mathrm{m/s})\)이다.

배점 단계	한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [8-1] (5점)	• \(v(t) = 20 - 10t = 0\)으로 \(t_1 = 2\) 산출 +2점 / \(H = 45\) 계산 +3점
소문항 [8-2] (5점)	• \(x(t) = 0\)에서 \(t_2 = 5\) 도출 +3점 / \(v(5) = -30\) 산출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 속도는 방향을 가지므로 지면에 떨어지는 순간의 속도는 음수인 \(-30\,\mathrm{m/s}\)로 적어야 합니다.

[문항 9] 접선의 기울기로부터 원함수 결정

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.20 정적분 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-01]

곡선 \(y = f(x)\) 위의 임의의 점 \((x, f(x))\)에서의 접선의 기울기가 \(3x^2 - 4x + 1\)이고, 이 곡선이 점 \((2, 5)\)를 지날 때, 다음을 구하시오.

[9-1] (5점) 부정적분을 이용하여 함수 \(f(x)\)의 식을 구하시오.

[9-2] (5점) \(f(-1)\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [9-1] \(f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3\) | [9-2] \(f(-1) = -1\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 접선의 기울기 조건 \(f'(x) = 3x^2 - 4x + 1\)과 부정적분 \(f(x) = \int f'(x)\,dx\)를 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(x) = x^3 - 2x^2 + x + C\)이고, \(f(2) = 8 - 8 + 2 + C = 5\)에서 적분상수 \(C = 3\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3\)이므로 \(f(-1) = -1 - 2 - 1 + 3 = -1\)이다.

배점 단계	한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [9-1] (5점)	• 부정적분 \(x^3 - 2x^2 + x + C\) 작성 +2점 / \(C = 3\) 결정으로 \(f(x)\) 완성 +3점
소문항 [9-2] (5점)	• \(x = -1\) 대입 계산 +3점 / \(f(-1) = -1\) 도출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 부정적분 단계에서 적분상수 \(C\)를 반드시 표기한 뒤 초기조건 \(f(2)=5\)로 결정하세요.

[문항 10] 수직선 운동에서 위치의 변화량과 움직인 거리

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.33 문제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06]

좌표가 \(1\)인 점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\;(t \ge 0)\)에서의 속도가 \(v(t) = 4t - t^2\)일 때, 다음을 구하시오.

[10-1] (5점) 시각 \(t = 4\)에서의 점 \(\mathrm{P}\)의 위치를 구하시오.

[10-2] (5점) 시각 \(t = 0\)에서 \(t = 5\)까지 점 \(\mathrm{P}\)가 실제로 움직인 거리 \(s\)를 구하시오.

🎯 정답 : [10-1] 위치 \(\dfrac{35}{3}\) | [10-2] 거리 \(s = 13\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 시각 \(t\)에서의 위치 \(x(t) = x(0) + \int_{0}^{t} v(u)\,du\)와 움직인 거리 \(s = \int_{0}^{5} |v(t)|\,dt\)를 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x(4) = 1 + \int_{0}^{4} (4t - t^2)\,dt = 1 + \left[2t^2 - \dfrac{1}{3}t^3\right]_{0}^{4} = 1 + \dfrac{32}{3} = \dfrac{35}{3}\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(v(t) = t(4-t)\)는 \(t=4\)에서 부호가 바뀌므로 \(s = \int_{0}^{4} (4t - t^2)\,dt + \int_{4}^{5} (t^2 - 4t)\,dt = \dfrac{32}{3} + \dfrac{7}{3} = 13\)이다.

배점 단계	한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [10-1] (5점)	• 초기 위치 \(x(0)=1\) 반영 식 수립 +2점 / \(x(4) = \dfrac{35}{3}\) 산출 +3점
소문항 [10-2] (5점)	• 구간 \([0,4]\)와 \([4,5]\)로 절댓값 적분 분리 +3점 / 거리 \(13\) 도출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: \(t = 4\)에서의 위치를 구할 때 출발점의 좌표 \(x(0) = 1\)을 더하는 것을 빠뜨리지 마세요.