[1줄: 공식선언 (30%)] 거듭제곱근의 성질 \(\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}\), \(\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}\), \((\sqrt[np]{a^m})^p = \sqrt[n]{a^m}\)을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(A = \sqrt[4]{256} + \sqrt[3]{27} = 4 + 3 = 7\)이고, \(B = (5^{\frac{2}{6}})^3 = 5^1 = 5\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(A^2 - B^2 = 7^2 - 5^2 = 49 - 25 = 24\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 상용로그의 성질 \(\log 10^k = k\)와 \(D_B - D_A = 10\log\dfrac{I_B}{I_A}\)를 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(D_A = 10\log\dfrac{10^{-5}}{10^{-12}} = 10\log 10^7 = 70\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(I_B = 200 I_A\)이므로 \(D_B = D_A + 10\log 200 = 70 + 10(\log 2 + 2) = 70 + 23 = 93\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] \(t = 2^x\;(t \gt 0)\) 치환법과 밑이 \(\dfrac{1}{3} \in (0, 1)\)인 지수부등식의 부등호 방향 역전 성질을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(4t^2 - 17t + 4 = (4t - 1)(t - 4) = 0\)에서 \(2^x = \dfrac{1}{4}\) 또는 \(2^x = 4\)이므로 \(x = -2\) 또는 \(x = 2\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{3x-7} \ge \left(\dfrac{1}{3}\right)^{2x-2}\)에서 \(3x - 7 \le 2x - 2\), 즉 \(x \le 5\)이므로 자연수 \(x\)는 \(1, 2, 3, 4, 5\)의 \(5\)개이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 코사인법칙 \(\cos B = \dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\)와 삼각형의 넓이 공식 \(S = \dfrac{1}{2}ac\sin B\)를 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\cos B = \dfrac{25 + 64 - 49}{2 \times 5 \times 8} = \dfrac{40}{80} = \dfrac{1}{2}\)이므로 \(B = \dfrac{\pi}{3}\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(S = \dfrac{1}{2} \times 5 \times 8 \times \sin\dfrac{\pi}{3} = 20 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] \(n=1\)일 때 \(a_1 = 3\)은 \(3\)의 배수이고, \(n=k\)일 때 \(4^k - 1 = 3m\) (\(m\)은 자연수)이라 가정하는 수학적 귀납법과 등비수열의 합 공식을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a_{k+1} - a_k = (4^{k+1} - 1) - (4^k - 1) = 3\cdot 4^k\)이므로 \(a_{k+1} = 3(m + 4^k)\)가 되어 \(3\)의 배수이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(\sum_{k=1}^{5} (4^k - 1) = \dfrac{4(4^5 - 1)}{4 - 1} - 5 = \dfrac{4 \times 1023}{3} - 5 = 1364 - 5 = 1359\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 극한값 \(\lim_{x \to 1} f(x)\)가 존재하기 위한 필요충분조건은 \(\lim_{x \to 1-} f(x) = \lim_{x \to 1+} f(x)\)임을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\lim_{x \to 1-} (-2x + 5) = 3\)이고, \(\lim_{x \to 1+} (x^2 + ax + 1) = a + 2\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(a + 2 = 3\)에서 \(a = 1\)이며, \(x = 3 \ge 1\)이므로 \(f(3) = 3^2 + 3 + 1 = 13\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 다항함수 \(f(x)\)는 닫힌구간 \([1, 2]\)에서 연속이라는 성질과 사잇값의 정리를 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(1) = 1 - 1 + 2 - 5 = -3 \lt 0\)이고, \(f(2) = 8 - 4 + 4 - 5 = 3 \gt 0\)이므로 \(f(1)f(2) = -9 \lt 0\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 사잇값의 정리에 의하여 \(f(c) = 0\)인 실수 \(c\)가 열린구간 \((1, 2)\)에 적어도 하나 존재한다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 도함수 \(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x + 1)(x - 3)\)의 부호 변화를 이용한 증감 판정법을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f'(x) = 0\)의 근은 \(x = -1, 3\)이고, \(-1 \le x \le 3\)에서 \(f'(x) \le 0\)이므로 감소하는 구간은 \([-1, 3]\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 극댓값은 \(M = f(-1) = -1 - 3 + 9 + 12 = 17\), 극솟값은 \(m = f(3) = 27 - 27 - 27 + 12 = -15\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 속도 \(v(t) = x'(t)\)의 부호가 바뀌는 시각에서 운동 방향이 바뀌며, 가속도는 \(a(t) = v'(t)\)임을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(v(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t - 1)(t - 3) = 0\)에서 부호가 바뀌는 시각은 \(t = 1\)과 \(t = 3\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(a(t) = 6t - 12 = 0\)에서 \(t = 2\)이고, 이때의 위치는 \(x(2) = 8 - 24 + 18 + 2 = 4\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 두 그래프의 교점 방정식 \(x^2 - 5x + 4 = -x + 4\)와 곡선 사이의 넓이 공식 \(S = \int_{\alpha}^{\beta} |f(x) - g(x)|\,dx\)를 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x^2 - 4x = x(x - 4) = 0\)이므로 두 교점의 \(x\)좌표는 \(0\)과 \(4\)이고, 구간 \([0, 4]\)에서 \(-x + 4 \ge x^2 - 5x + 4\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(S = \int_{0}^{4} (-x^2 + 4x)\,dx = \left[-\dfrac{1}{3}x^3 + 2x^2\right]_{0}^{4} = -\dfrac{64}{3} + 32 = \dfrac{32}{3}\)이다.