2027학년도 대비 한신대학교 약술형 논술 모의고사 1회 (해설집)

2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 실전 모의고사 1회 (모범해설 및 2열 채점기준표) 수리 영역 10문항 (80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음)

[문항 1] 거듭제곱근의 성질과 유리수 지수의 계산

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.7 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

실수 \(a = \sqrt[3]{-64} + \sqrt[4]{81}\)이라 하고, 양수 \(b = 16^{\frac{3}{4}} \times 8^{-\frac{2}{3}}\)이라 할 때, 다음을 구하시오. (단, \(a, b\)는 실수이다.)

[1-1] (5점) 거듭제곱근의 정의와 지수법칙을 이용하여 실수 \(a\)와 \(b\)의 값을 각각 구하시오.

[1-2] (5점) \(a^2 + b^3\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [1-1] \(a = -1,\; b = 2\) | [1-2] \(9\)

[1줄: 공식선언 (30%)] \((-4)^3 = -64\)이므로 \(\sqrt[3]{-64} = -4\)이고, \(3^4 = 81\;(3 \gt 0)\)이므로 \(\sqrt[4]{81} = 3\)이며, 지수법칙 \((x^m)^n = x^{mn}\)을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a = -4 + 3 = -1\)이고, \(b = (2^4)^{\frac{3}{4}} \times (2^3)^{-\frac{2}{3}} = 2^3 \times 2^{-2} = 2\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(a^2 + b^3 = (-1)^2 + 2^3 = 1 + 8 = 9\)이다.

배점 단계	한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (5점)	• \(\sqrt[3]{-64}=-4,\; \sqrt[4]{81}=3\)으로 \(a=-1\) 산출 +3점 / 지수법칙으로 \(b=2\) 산출 +2점
소문항 [1-2] (5점)	• \(a^2=1,\; b^3=8\) 대입 +2점 / 최종값 \(9\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 짝수차 거듭제곱근 \(\sqrt[4]{81}\)은 양의 네제곱근 \(3\)만을 나타내므로 \(\pm 3\)으로 쓰지 않도록 주의하세요.

[문항 2] 로그의 성질과 밑변환 공식을 이용한 식의 값

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.21 문제 8 변형 | 성취기준: 12대수01-04]

\(1\)이 아닌 두 양수 \(p, q\)가 \(\log_3 p = 4\), \(\log_3 q = -2\)를 만족시킬 때, 다음을 구하시오. (단, \(p \gt 0, q \gt 0\))

[2-1] (5점) 로그의 성질을 이용하여 \(\log_3 (p^2 q^3)\)의 값을 구하시오.

[2-2] (5점) 밑변환 공식을 이용하여 \(\log_p (p^2 q^3)\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [2-1] \(2\) | [2-2] \(\dfrac{1}{2}\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 로그의 성질 \(\log_a(M^k N^m) = k\log_a M + m\log_a N\)과 밑변환 공식 \(\log_p X = \dfrac{\log_3 X}{\log_3 p}\)를 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\log_3 (p^2 q^3) = 2\log_3 p + 3\log_3 q = 2(4) + 3(-2) = 2\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(\log_p (p^2 q^3) = \dfrac{\log_3 (p^2 q^3)}{\log_3 p} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\)이다.

배점 단계	한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (5점)	• \(2\log_3 p + 3\log_3 q\) 분리식 작성 +2점 / 값 \(2\) 산출 +3점
소문항 [2-2] (5점)	• 밑변환 공식 적용 식 명시 +3점 / 최종값 \(\dfrac{1}{2}\) 도출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 진수의 곱을 로그의 곱으로 잘못 전개하지 않도록 로그의 기본 성질을 정확히 선언하세요.

[문항 3] 닫힌구간에서 지수함수와 로그함수의 최대·최소

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.9 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

닫힌구간 \([-1, 2]\)에서 정의된 두 함수 \(f(x) = 3^{x+1} - 4\)와 \(g(x) = \log_2 (x + 6) + 1\)에 대하여 다음을 구하시오.

[3-1] (5점) 닫힌구간 \([-1, 2]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최댓값 \(M_1\)과 최솟값 \(m_1\)을 각각 구하시오.

[3-2] (5점) 닫힌구간 \([-1, 2]\)에서 함수 \(g(x)\)의 최댓값 \(M_2\)를 구하고, \(M_1 + m_1 + M_2\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [3-1] \(M_1 = 23,\; m_1 = -3\) | [3-2] \(M_2 = 4,\; 합 = 24\)

[1줄: 공식선언 (30%)] \(f(x)\)는 밑 \(3 \gt 1\), \(g(x)\)는 밑 \(2 \gt 1\)이므로 두 함수 모두 닫힌구간 \([-1, 2]\)에서 증가함수임을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(M_1 = f(2) = 3^3 - 4 = 23\), \(m_1 = f(-1) = 3^0 - 4 = -3\)이고, \(M_2 = g(2) = \log_2 8 + 1 = 4\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(M_1 + m_1 + M_2 = 23 + (-3) + 4 = 24\)이다.

배점 단계	한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (5점)	• 증가함수 성질 명시 +1점 / \(M_1 = 23,\; m_1 = -3\) 산출 +4점
소문항 [3-2] (5점)	• \(M_2 = 4\) 산출 +3점 / 합 \(24\) 도출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 밑이 \(1\)보다 크므로 구간의 양 끝점에서 최댓값과 최솟값을 갖는다는 증가 근거를 반드시 쓰세요.

[문항 4] 사분면의 각과 삼각함수 사이의 기본 관계

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.12 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-01]

각 \(\theta\)가 제\(2\)사분면의 각이고 \(\sin\theta = \dfrac{4}{5}\)일 때, 다음을 구하시오. (단, \(\dfrac{\pi}{2} \lt \theta \lt \pi\))

[4-1] (5점) \(\cos\theta\)와 \(\tan\theta\)의 값을 각각 구하시오.

[4-2] (5점) \(15(\cos\theta + \tan\theta)\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [4-1] \(\cos\theta = -\dfrac{3}{5},\; \tan\theta = -\dfrac{4}{3}\) | [4-2] \(-29\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 항등식 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\), \(\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\) 및 제\(2\)사분면에서 \(\cos\theta \lt 0\)임을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\cos^2\theta = 1 - \dfrac{16}{25} = \dfrac{9}{25}\)에서 \(\cos\theta = -\dfrac{3}{5}\)이고, \(\tan\theta = -\dfrac{4}{3}\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(15(\cos\theta + \tan\theta) = 15\left(-\dfrac{3}{5} - \dfrac{4}{3}\right) = -9 - 20 = -29\)이다.

배점 단계	한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (5점)	• 제\(2\)사분면 부호 판정 후 \(\cos\theta = -\dfrac{3}{5}\) 도출 +3점 / \(\tan\theta = -\dfrac{4}{3}\) 산출 +2점
소문항 [4-2] (5점)	• 식에 대입 및 분배 계산 +3점 / 최종값 \(-29\) 도출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 제\(2\)사분면 조건(\(\cos\theta \lt 0\))을 명시하지 않고 부호만 적으면 부분 감점될 수 있습니다.

[문항 5] 수열의 귀납적 정의와 축차대입을 통한 항의 계산

대수 Ⅲ. 수열 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.10 중단원 마무리 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = 2\)이고, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 귀납적 정의 \(a_{n+1} = a_n + 4n + 1\)을 만족시킬 때, 다음을 구하시오.

[5-1] (5점) \(a_2,\; a_3,\; a_4\)의 값을 차례대로 구하시오.

[5-2] (5점) \(a_{10} = a_1 + \sum_{k=1}^{9} (4k + 1)\)임을 이용하여 \(a_{10}\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [5-1] \(a_2 = 7,\; a_3 = 16,\; a_4 = 29\) | [5-2] \(a_{10} = 191\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 이웃한 두 항의 차 \(a_{k+1} - a_k = 4k + 1\)을 \(k = 1\)부터 \(n-1\)까지 변변 더하는 식을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a_2 = 2 + 5 = 7\), \(a_3 = 7 + 9 = 16\), \(a_4 = 16 + 13 = 29\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(a_{10} = 2 + 4\cdot\dfrac{9\times 10}{2} + 9 = 2 + 180 + 9 = 191\)이다.

배점 단계	한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (5점)	• \(n=1,2,3\) 대입으로 \(a_2=7,\; a_3=16,\; a_4=29\) 산출 +5점
소문항 [5-2] (5점)	• 시그마 합 공식 적용 +3점 / \(a_{10} = 191\) 도출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: \(a_{10}\)을 구할 때 더하는 항의 개수는 \(k=1\)부터 \(9\)까지 총 \(9\)개입니다.

[문항 6] 다항식의 인수분해를 이용한 함수의 극한과 미정계수

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.13 문제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

극한에 대한 성질에 의하여 등식 \(\lim_{x \to -2} \dfrac{x^2 + ax + b}{x + 2} = -7\)이 성립할 때, 두 상수 \(a, b\)에 대하여 다음을 구하시오.

[6-1] (5점) \(x \to -2\)일 때 분모가 \(0\)으로 수렴함을 이용하여 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하시오.

[6-2] (5점) 위에서 구한 \(a, b\)에 대하여 \(\lim_{x \to 5} \dfrac{x^2 + ax + b}{x - 5}\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [6-1] \(a = -3,\; b = -10\) | [6-2] \(7\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 극한에 대한 성질로부터 \(x \to -2\)일 때 분모가 \(0\)이면 분자도 \(0\)이므로 \(4 - 2a + b = 0\), 즉 \(b = 2a - 4\)임을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\lim_{x \to -2} \dfrac{(x+2)(x + a - 2)}{x + 2} = a - 4 = -7\)에서 \(a = -3\), \(b = -10\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(\lim_{x \to 5} \dfrac{x^2 - 3x - 10}{x - 5} = \lim_{x \to 5} (x + 2) = 7\)이다.

배점 단계	한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [6-1] (5점)	• \(b = 2a - 4\) 관계식 수립 +2점 / 약분 후 \(a = -3,\; b = -10\) 산출 +3점
소문항 [6-2] (5점)	• 분자 \((x-5)(x+2)\) 인수분해 및 약분 +3점 / 극한값 \(7\) 도출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 약분하기 전 분자가 \(0\)으로 수렴한다는 조건을 먼저 명시해야 논리적 감점이 없습니다.

[문항 7] 닫힌구간에서 연속함수의 최대·최소

미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.31 문제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

닫힌구간 \([-1, 3]\)에서 정의된 연속함수 \(f(x) = -x^2 + 2x + 5\)에 대하여 다음을 구하시오.

[7-1] (5점) \(f(x)\)를 표준형 \(-(x - p)^2 + q\) 꼴로 변형하여 꼭짓점의 좌표를 구하시오.

[7-2] (5점) 닫힌구간 \([-1, 3]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최댓값 \(M\)과 최솟값 \(m\)을 각각 구하시오.

🎯 정답 : [7-1] 꼭짓점 \((1, 6)\) | [7-2] \(M = 6,\; m = 2\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 연속함수의 최대·최소 정리에 의하여 닫힌구간 \([-1, 3]\)에서 \(f(x)\)는 반드시 최댓값과 최솟값을 가짐을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(x) = -(x - 1)^2 + 6\)이므로 꼭짓점은 \((1, 6)\)이고 대칭축 \(x = 1\)은 구간 \([-1, 3]\)에 속한다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(f(1) = 6\), \(f(-1) = f(3) = 2\)이므로 최댓값은 \(M = 6\), 최솟값은 \(m = 2\)이다.

배점 단계	한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [7-1] (5점)	• 완전제곱식 \(f(x) = -(x-1)^2 + 6\) 변형 +3점 / 꼭짓점 \((1, 6)\) 명시 +2점
소문항 [7-2] (5점)	• \(f(1)=6\) 및 양 끝점 함숫값 \(f(-1)=f(3)=2\) 비교 +3점 / \(M=6,\; m=2\) 도출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 대칭축 \(x=1\)이 주어진 닫힌구간 \([-1, 3]\) 안에 포함됨을 확인하는 과정을 꼭 적으세요.

[문항 8] 다항함수의 도함수와 미분계수의 계산

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.16 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-04]

삼차함수 \(f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4x - 1\)에 대하여 다음을 구하시오.

[8-1] (5점) 도함수 \(f'(x)\)를 구하고, 미분계수 \(f'(1)\)과 \(f'(2)\)의 값을 각각 구하시오.

[8-2] (5점) 극한 \(\lim_{h \to 0} \dfrac{f(2 + 3h) - f(2)}{h}\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [8-1] \(f'(x) = 6x^2 - 10x + 4,\; f'(1) = 0,\; f'(2) = 8\) | [8-2] \(24\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 거듭제곱의 미분법 \((x^n)' = nx^{n-1}\)과 미분계수의 정의 \(\lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+kh)-f(a)}{h} = k f'(a)\)를 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f'(x) = 6x^2 - 10x + 4\)이므로 \(f'(1) = 6 - 10 + 4 = 0\), \(f'(2) = 24 - 20 + 4 = 8\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(\lim_{h \to 0} \dfrac{f(2+3h)-f(2)}{3h} \times 3 = 3f'(2) = 3 \times 8 = 24\)이다.

배점 단계	한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [8-1] (5점)	• \(f'(x) = 6x^2 - 10x + 4\) 도출 +2점 / \(f'(1) = 0,\; f'(2) = 8\) 계산 +3점
소문항 [8-2] (5점)	• 주어진 극한을 \(3f'(2)\)로 변형 +3점 / 최종값 \(24\) 산출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 분모의 \(h\)를 \(3h\)로 맞추어 \(3f'(2)\)로 바꾸는 과정을 생략하지 마세요.

[문항 9] 닫힌구간에서 롤의 정리와 평균값 정리의 적용

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.28 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06]

이차함수 \(f(x) = -x^2 + 6x - 2\)에 대하여 다음을 구하시오.

[9-1] (5점) 닫힌구간 \([1, 5]\)에서 롤의 정리를 만족시키는 상수 \(c_1 \in (1, 5)\)의 값을 구하시오.

[9-2] (5점) 닫힌구간 \([0, 4]\)에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 \(c_2 \in (0, 4)\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [9-1] \(c_1 = 3\) | [9-2] \(c_2 = 2\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 다항함수 \(f(x)\)는 모든 실수에서 연속이고 미분가능하므로 롤의 정리 \(f'(c_1)=0\)과 평균값 정리 \(f'(c_2)=\dfrac{f(4)-f(0)}{4-0}\)를 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(1)=f(5)=3\)이고 \(f'(x) = -2x + 6 = 0\)에서 \(c_1 = 3 \in (1, 5)\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(\dfrac{f(4)-f(0)}{4} = \dfrac{6 - (-2)}{4} = 2\)이므로 \(-2c_2 + 6 = 2\)에서 \(c_2 = 2 \in (0, 4)\)이다.

배점 단계	한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [9-1] (5점)	• \(f(1)=f(5)=3\) 확인 및 \(f'(c_1)=0\) 수립 +3점 / \(c_1 = 3\) 도출 +2점
소문항 [9-2] (5점)	• 평균변화율 \(2\) 산출 및 \(-2c_2+6=2\) 수립 +3점 / \(c_2 = 2\) 도출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 구한 \(c_1, c_2\)가 열린구간 \((1, 5)\)와 \((0, 4)\)에 각각 속한다는 확인 표기를 반드시 덧붙이세요.

[문항 10] 다항함수의 정적분과 구간의 성질

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.13 문제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03]

이차함수 \(f(x) = 3x^2 - 4x + 2\)에 대하여 다음을 구하시오.

[10-1] (5점) 정적분 \(\int_{0}^{2} f(x)\,dx\)의 값을 구하시오.

[10-2] (5점) 정적분 \(\int_{-1}^{1} f(x)\,dx\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [10-1] \(4\) | [10-2] \(6\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 다항함수의 부정적분 \(F(x) = x^3 - 2x^2 + 2x\)와 대칭구간 정적분 성질 \(\int_{-a}^{a} g(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} g_{\text{짝}}(x)\,dx\)를 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\int_{0}^{2} (3x^2 - 4x + 2)\,dx = \left[x^3 - 2x^2 + 2x\right]_{0}^{2} = 8 - 8 + 4 = 4\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(\int_{-1}^{1} (3x^2 - 4x + 2)\,dx = 2\int_{0}^{1} (3x^2 + 2)\,dx = 2\left[x^3 + 2x\right]_{0}^{1} = 2(1 + 2) = 6\)이다.

배점 단계	한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [10-1] (5점)	• 부정적분 \(x^3 - 2x^2 + 2x\) 도출 +3점 / 정적분 값 \(4\) 산출 +2점
소문항 [10-2] (5점)	• 기함수 항 \(-4x\) 소거 또는 부정적분 대입 +3점 / 정적분 값 \(6\) 산출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 대칭구간 \([-1, 1]\)에서 홀수차 항 \(-4x\)의 정적분은 \(0\)이 되므로 계산 실수를 줄일 수 있습니다.