[1단계: 거듭제곱근 방정식의 실근 개수를 통한 \(N\) 산출]
\(m\)이 짝수(\(m = 2, 4\))일 때는 \(x^m = 8\)의 실근이 \(2\)개, \(x^{m+1} = -8\)의 실근이 \(1\)개(음수)이므로 \(a_2 = a_4 = 3\)이다. \(m\)이 홀수(\(m = 3, 5\))일 때는 \(x^m = 8\)의 실근이 \(1\)개, \(x^{m+1} = -8\)의 실근이 \(0\)개이므로 \(a_3 = a_5 = 1\)이다. 따라서 \(N = 2 + (3 + 1 + 3 + 1) = 10\)이다.

[2단계: \(y = x\) 대칭성과 삼각형 넓이를 이용한 교점 \(A, B\)의 좌표 유도]
원 \(x^2 + y^2 = 10\)과 두 곡선 \(y = a^x, y = \log_a x\)는 모두 직선 \(y = x\)에 대하여 대칭이므로 제\(1\)사분면의 교점을 \(A(u, v), B(v, u)\) (\(0 \lt u \lt v\))로 놓을 수 있다. \(u^2 + v^2 = 10\)이고 삼각형 \(OAB\)의 넓이는 \(\dfrac{1}{2}(v^2 - u^2) = 4 \implies v^2 - u^2 = 8\)이다.

[3단계: 연립방정식 풀이 및 밑 \(a\) 도출]
\(u^2 + v^2 = 10\)과 \(v^2 - u^2 = 8\)을 연립하면 \(u^2 = 1, v^2 = 9\)이고 \(0 \lt u \lt v\)이므로 \(u = 1, v = 3\), 즉 \(A(1, 3)\)이다. 점 \(A(1, 3)\)이 곡선 \(y = a^x\) 위의 점이므로 \(a^1 = 3 \implies a = 3\)이다.

[1단계: 사인 배각공식 연쇄 소거를 통한 \(a_n\) 및 극한 \(L, p\) 유도]
\(a_n\)의 양변에 \(\sin\dfrac{\pi}{3\cdot 2^n}\)을 곱하고 배각공식 \(2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta\)를 \(n\)번 반복 적용하면 \(a_n\sin\dfrac{\pi}{3\cdot 2^n} = \dfrac{1}{2^n}\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2^{n+1}}\)이다. 따라서 \(L = \lim_{n\to\infty} \dfrac{\sqrt{3}/2}{\frac{\pi}{3}\cdot\frac{\sin(\pi/(3\cdot 2^n))}{\pi/(3\cdot 2^n)}} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2\pi}\)이고 \(p = \dfrac{2\pi L}{\sqrt{3}} = 3\)이다.

[2단계: 정적분과 급수의 합 변환]
\(p = 3\)을 대입하면 구하는 극한은 \(\lim_{n\to\infty} \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \left(\dfrac{k}{n}\right) 3^{k/n} = \displaystyle\int_{0}^{1} x \cdot 3^x\,dx\)이다.

[3단계: 지수함수의 부분적분 계산]
부분적분법에 의하여 \(\displaystyle\int_{0}^{1} x \cdot 3^x\,dx = \left[\dfrac{x \cdot 3^x}{\ln 3} - \dfrac{3^x}{(\ln 3)^2}\right]_{0}^{1} = \dfrac{3}{\ln 3} - \dfrac{3 - 1}{(\ln 3)^2} = \dfrac{3\ln 3 - 2}{(\ln 3)^2}\)이다.

[1단계: 직선 \(x = 2\) 대칭성과 실근 개수로부터 사차함수 \(f(x)\) 결정]
조건 (가), (나)에서 곡선 \(y = f(x)\)는 직선 \(x = 2\)에 대하여 대칭이고 \(x = 2\)를 포함한 서로 다른 \(3\)개의 실근을 가지므로 \(x = 2\)는 중근이다. 따라서 양수 \(k\)에 대하여 \(f(x) = (x - 2)^2\{(x - 2)^2 - k^2\}\)이며, \(\displaystyle\int_{0}^{4} f(x)\,dx = \int_{-2}^{2} (u^4 - k^2 u^2)\,du = 2\left(\dfrac{32}{5} - \dfrac{8k^2}{3}\right) = -\dfrac{128}{15}\)에서 \(k^2 = 4 \implies k = 2\)이다.

[2단계: \(G'(x)\)의 부호 변화를 통한 극대점 판정]
\(f(x) = (x - 2)^2(x - 4)x\)이므로 \(G'(x) = (x - 2)f(x) = x(x - 2)^3(x - 4)\)이다. \(G'(x) = 0\)의 근 \(x = 0, 2, 4\)에서 \(G'(x)\)의 부호는 \(x = 2\)의 좌우에서 양(\(+\))에서 음(\(-\))으로 바뀌므로 함수 \(G(x)\)는 \(x = 2\)에서 극댓값을 갖는다.

[3단계: 극댓값 \(G(2)\) 및 \(f(5)\) 계산]
극댓값은 \(G(2) = \displaystyle\int_{0}^{2} (t - 2)f(t)\,dt = \int_{-2}^{0} (u^5 - 4u^3)\,du = \left[\dfrac{1}{6}u^6 - u^4\right]_{-2}^{0} = -\left(\dfrac{64}{6} - 16\right) = \dfrac{16}{3}\)이고, \(f(5) = 3^2 \times (9 - 4) = 45\)이다.

[1단계: 단조함수 \(H(y)\)의 치역과 \(x=0\) 대입을 통한 \(a, b\) 관계식 도출]
\(H(y) = y - \dfrac{1}{\pi}\sin(\pi y)\)라 하면 \(H'(y) = 1 - \cos(\pi y) \ge 0\)이므로 \(H(y)\)는 실수 전체에서 증가한다. \(x = 0\)을 대입하면 \(H(f(0)) = H(1) = 1 = \dfrac{a - b}{2}\)이므로 \(a - b = 2\), 즉 \(a = b + 2\)이다.

[2단계: 치역 포함 관계를 통한 양수 \(b\)의 범위 결정]
우변의 치역은 \((-b, a)\)이고 \(-1 < f(x) < 3 \iff -1 = H(-1) < H(f(x)) < H(3) = 3\)이므로 \((-b, a) \subset (-1, 3)\)이어야 한다. 따라서 \(0 < b \le 1\)이고 \(a = b + 2 \le 3\)이다.

[3단계: 유리함수로 표현된 등비급수의 합의 최댓값 계산]
\(0 < \dfrac{b}{3} \le \dfrac{1}{3} < 1\)이므로 등비급수는 수렴하며, 그 합은 \(S(b) = \dfrac{ab}{1 - b/3} = \dfrac{3b(b + 2)}{3 - b}\)이다. 구간 \((0, 1]\)에서 분자 \(3b(b+2)\)는 양수로 증가하고 분모 \(3 - b\)는 양수로 감소하므로 \(S(b)\)는 순증가하며, \(b = 1\) (\(a = 3\))일 때 최댓값 \(S(1) = \dfrac{3 \times 1 \times 3}{3 - 1} = \dfrac{9}{2}\)를 갖는다.

[1단계: 정적분 방정식의 미분과 적분을 통한 \(g(x)\) 도출]
\(g(0) = 1\)이고 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 \(g'(x) = 2g(x)f'(x)\tan f(x) \implies \dfrac{g'(x)}{g(x)} = 2\dfrac{f'(x)\sin f(x)}{\cos f(x)}\)이다. 양변을 \(0\)부터 \(x\)까지 적분하면 \(\ln g(x) = \big[-2\ln(\cos f(t))\big]_{0}^{x} = \ln\big(\sec^2 f(x)\big)\)이므로 \(g(x) = \sec^2 f(x)\)이다.

[2단계: 치환적분을 통한 삼각함수 정적분 변환]
구하는 정적분에 \(g(x) = \sec^2 f(x)\)를 대입하고 \(u = f(x)\) (\(du = f'(x)\,dx\))로 치환하면 \(x = 0 \to u = 0\), \(x = 1 \to u = \dfrac{\pi}{4}\)이므로 \(\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)f'(x)\sec^2 f(x)\,dx = \int_{0}^{\pi/4} u\sec^2 u\,du\)이다.

[3단계: 부분적분법을 통한 정적분 값 계산]
부분적분법에 의하여 \(\displaystyle\int_{0}^{\pi/4} u\sec^2 u\,du = \big[u\tan u\big]_{0}^{\pi/4} - \int_{0}^{\pi/4} \tan u\,du = \dfrac{\pi}{4} - \big[-\ln(\cos u)\big]_{0}^{\pi/4} = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{1}{2}\ln 2\)이다.

[1단계: 점 \((0, f(0))\)에서의 접선 방정식을 통한 양수 \(a\) 도출]
\(f(0) = a^2\)이고 \(f'(x) = (x - a)(2 - x + a)e^{-x}\)에서 \(f'(0) = -a(a + 2)\)이므로 점 \((0, a^2)\)에서의 접선의 방정식은 \(y = -a(a + 2)x + a^2\)이다. 이 직선이 점 \(\left(\dfrac{1}{2}, 0\right)\)을 지나므로 \(-\dfrac{1}{2}a(a + 2) + a^2 = 0\)이고 \(a > 0\)이므로 \(a + 2 = 2a \implies a = 2\)이다.

[2단계: 이계도함수를 통한 두 변곡점의 \(x\)좌표 합 \(\alpha + \beta\) 산출]
\(a = 2\)이므로 \(f(x) = (x - 2)^2 e^{-x}\), \(f'(x) = (x - 2)(4 - x)e^{-x}\), \(f''(x) = (x^2 - 8x + 14)e^{-x}\)이다. 따라서 두 변곡점의 \(x\)좌표 \(\alpha, \beta\)는 이차방정식 \(x^2 - 8x + 14 = 0\)의 두 실근이므로 \(\alpha + \beta = 8\), \(\alpha\beta = 14\)이다.

[3단계: 두 변곡점에서의 미분계수 곱 \(f'(\alpha)f'(\beta)\) 계산]
\((x - 2)(4 - x) = -x^2 + 6x - 8\)이고 \(\alpha^2 - 8\alpha + 14 = 0 \implies -\alpha^2 + 6\alpha - 8 = 6 - 2\alpha\)이다. 따라서 \(f'(\alpha)f'(\beta) = (6 - 2\alpha)(6 - 2\beta)e^{-(\alpha+\beta)} = \{36 - 12(\alpha+\beta) + 4\alpha\beta\}e^{-8} = (36 - 96 + 56)e^{-8} = -\dfrac{4}{e^8}\)이다.

[1단계: 코사인법칙을 이용한 변 \(BC\)의 길이 및 \(\overline{BD}\) 산출]
삼각형 \(ABC\)에서 코사인법칙에 의하여 \(\overline{BC}^2 = 6^2 + 4^2 - 2 \times 6 \times 4 \times \dfrac{1}{4} = 52 - 12 = 40\)이므로 \(\overline{BC} = 2\sqrt{10}\)이다. 또한 내각의 이등분선의 성질에 의하여 \(\overline{BD} : \overline{CD} = \overline{AB} : \overline{AC} = 3 : 2\)이므로 \(\overline{BD} = \dfrac{3}{5}\overline{BC} = \dfrac{6\sqrt{10}}{5}\)이다.

[2단계: 삼각형 \(ABC\)에서 \(\cos B\) 산출]
삼각형 \(ABC\)에 코사인법칙을 적용하면 \(\cos B = \dfrac{\overline{AB}^2 + \overline{BC}^2 - \overline{AC}^2}{2\overline{AB}\cdot\overline{BC}} = \dfrac{36 + 40 - 16}{2 \times 6 \times 2\sqrt{10}} = \dfrac{60}{24\sqrt{10}} = \dfrac{\sqrt{10}}{4}\)이다.

[3단계: 삼각형 \(ABD\)에서 코사인법칙을 통한 \(\overline{AD}^2\) 계산]
삼각형 \(ABD\)에서 코사인법칙에 의하여 \(\overline{AD}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{BD}^2 - 2\overline{AB}\cdot\overline{BD}\cos B = 36 + \dfrac{360}{25} - 2 \times 6 \times \dfrac{6\sqrt{10}}{5} \times \dfrac{\sqrt{10}}{4} = 36 + \dfrac{72}{5} - 36 = \dfrac{72}{5}\)이다.

[1단계: 반원 단면의 넓이 \(S(x)\)와 입체도형의 부피 정적분 식 수립]
좌표가 \(x\) (\(0 \le x \le \ln 4\))인 점을 지나고 \(x\)축에 수직인 평면으로 자른 반원 단면의 반지름은 \(r(x) = \dfrac{1}{2}y\)이므로, 단면의 넓이는 \(S(x) = \dfrac{1}{2}\pi \{r(x)\}^2 = \dfrac{\pi}{8}y^2 = \dfrac{\pi}{8}\cdot\dfrac{e^{2x}}{e^x + 2}\)이다. 따라서 부피는 \(V = \dfrac{\pi}{8}\displaystyle\int_{0}^{\ln 4} \dfrac{e^{2x}}{e^x + 2}\,dx\)이다.

[2단계: 치환적분을 통한 유리함수 정적분 변환]
\(e^x + 2 = t\)로 치환하면 \(e^x\,dx = dt\), \(e^x = t - 2\)이고, 적분 구간은 \(x = 0 \to t = 3\), \(x = \ln 4 \to t = 6\)이다. 따라서 \(\displaystyle\int_{0}^{\ln 4} \dfrac{e^{2x}}{e^x + 2}\,dx = \int_{3}^{6} \dfrac{t - 2}{t}\,dt = \int_{3}^{6} \left(1 - \dfrac{2}{t}\right)\,dt\)이다.

[3단계: 정적분 계산 및 부피 \(V\) 도출]
\(\displaystyle\int_{3}^{6} \left(1 - \dfrac{2}{t}\right)\,dt = \big[t - 2\ln t\big]_{3}^{6} = (6 - 3) - 2(\ln 6 - \ln 3) = 3 - 2\ln 2\)이므로, 입체도형의 부피는 \(V = \dfrac{\pi}{8}(3 - 2\ln 2)\)이다.