2027학년도 가천대학교 의예과 모의고사 제4회 수학문제집 (실전 답안작성용)

🩺 2027학년도 가천대학교 의예과 모의고사 제4회 수학문제집 (실전 답안작성용)

QUESTIO MEDICAL ESSAY SERIES

2027학년도 가천대학교 의예과 수리논술 대비

가천대 의예과 실전 모의고사 [제4회] 수학문제집

수학Ⅰ(대수) · 수학Ⅱ(미적분Ⅰ) · 미적분 전 범위

제4회 고난도 심화 모의고사 (의예과 최상위 변별 II) | 문항 1 ~ 문항 8 상세 해설 및 채점 기준표

QUESTIO 수리논술연구소 | 2022 개정 교육과정 교과서 DB 정밀 대조 (CITE_06 PASS)

📑 모의고사 구성 및 출제 원칙 안내 (총 1회 / 8문항) JAR Engine Verified

• 출제 원천 (Single Source of Truth): 2022 개정 교육과정 수학 교과서 데이터베이스(대수[수학Ⅰ], 미적분Ⅰ[수학Ⅱ], 미적분Ⅱ[미적분])의 본문 예제·문제를 가천대 의예과 8문항 체제로 정밀 변형 출제하였습니다.
• 난이도 설계: 제1회·제2회는 2026~2025학년도 가천대 의예과 기출문항과 1:1 대응하는 동형 모의고사이며, 제3회·제4회·제5회는 의예과 최상위권 변별을 위한 고난도 심화 문항으로 구성하였습니다.
• 인터랙티브 학습 모드: 상단 툴바의 [전체 풀이 보기/숨기기] 버튼 또는 각 문항의 해설 토글 바를 클릭하여 3단계 모범답안과 채점 기준표를 즉시 확인할 수 있습니다.

제4회 (고난도 심화 (Advanced Medical II))

제4회 고난도 심화 모의고사 (의예과 최상위 변별 II)

수학Ⅰ(대수) · 수학Ⅱ(미적분Ⅰ) · 미적분 심화 | 문항 1 ~ 문항 8 (총 120점)

문항 1 ~ 8 (120점)

🏛️ 가천대학교 의예과 수리논술 모의고사 퀘스티오(Questio) · 대표 강원호 · 사업자등록번호 551-09-03449

📘 미적분 · 수학Ⅰ 🎯 정삼각형과 내접원·접선이 이루는 자기닮음 도형의 무한등비급수 ⏱️ 권장 10분 | 배점 15점

[출처: 대수 교과서 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.9 유제 22 부채꼴과 내접원 및 미적분Ⅱ 등비급수의 도형 활용 심화 | 성취기준: [12대수02-01], [12미적Ⅱ-01-04]]

📝 [제4회 문항 1] 배점: 15점

그림과 같이 한 변의 길이가 \(2\sqrt{3}\)인 정삼각형 \(A_1B_1C_1\)에 내접하는 원을 \(O_1\)이라 하고, 정삼각형 \(A_1B_1C_1\)의 내부이면서 원 \(O_1\)의 외부인 영역의 넓이를 \(S_1\)이라 하자. 원 \(O_1\) 위의 점 중 꼭짓점 \(A_1\)에 가장 가까운 점 \(P_1\)에서의 접선이 두 변 \(A_1B_1, A_1C_1\)과 만나는 점을 각각 \(B_2, C_2\)라 하고, 정삼각형 \(A_1B_2C_2\)에 같은 과정을 반복하여 얻은 \(n\)번째 영역의 넓이를 \(S_n\)이라 할 때, \(\sum_{n=1}^{\infty} S_n\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

💡 [제4회 문항 1] 정답 및 3단계 상세 해설 · 채점 기준표 (클릭하여 토글) 풀이 숨김 (클릭하여 보기) ▼

✅ 최종 정답: \(\dfrac{9(3\sqrt{3} - \pi)}{8}\)

[1단계: 첫째항 넓이 \(S_1\) 산출]
한 변의 길이가 \(a_1 = 2\sqrt{3}\)인 정삼각형 \(A_1B_1C_1\)의 높이는 \(h_1 = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times 2\sqrt{3} = 3\)이고 넓이는 \(\dfrac{\sqrt{3}}{4}(2\sqrt{3})^2 = 3\sqrt{3}\)이다. 내접원 \(O_1\)의 반지름은 무게중심 성질에 의해 \(r_1 = \dfrac{1}{3}h_1 = 1\)이므로 원 \(O_1\)의 넓이는 \(\pi\)이며, 따라서 \(S_1 = 3\sqrt{3} - \pi\)이다.

[2단계: 접선으로 잘린 정삼각형 \(A_1B_2C_2\)의 닮음비와 넓이 공비 \(R\) 도출]
정삼각형 \(A_1B_1C_1\)의 꼭짓점 \(A_1\)에서 내접원의 중심까지의 거리는 \(2\)이고 반지름이 \(1\)이므로, 정삼각형 \(A_1B_2C_2\)의 높이는 \(h_2 = h_1 - 2r_1 = 3 - 2 = 1\)이다. 따라서 두 정삼각형의 닮음비는 \(h_2 : h_1 = 1 : 3\)이고, 넓이의 공비는 \(R = \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}\)이다.

[3단계: 무한등비급수의 합 계산]
\(\sum_{n=1}^{\infty} S_n = \dfrac{S_1}{1 - R} = \dfrac{3\sqrt{3} - \pi}{1 - 1/9} = \dfrac{9(3\sqrt{3} - \pi)}{8}\)이다.

단계별 채점 기준 (Partial Credit Rubric)	배점 (15점)
내접원의 반지름 \(r_1 = 1\) 및 첫째항 넓이 \(S_1 = 3\sqrt{3} - \pi\) 도출	5점
높이 관계 \(h_2 = h_1 - 2r_1 = 1\)로부터 닮음비 \(\dfrac{1}{3}\) 및 넓이 공비 \(\dfrac{1}{9}\) 유도	5점
등비급수의 합 \(\dfrac{9(3\sqrt{3}-\pi)}{8}\) 최종 도출	5점

🏛️ 2027 가천대 의예과 수리논술 모의고사 제4회 (1/8) 퀘스티오(Questio) · 대표 강원호 · 사업자등록번호 551-09-03449 | JAR Engine Verified

📘 미적분 🎯 정적분과 급수의 합 변환 및 치환·부분적분 결합 ⏱️ 권장 10분 | 배점 15점

[출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅲ-1 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.14–15 (교과서 125–126쪽) 유제 22 정적분의 성질 및 미적분Ⅱ 정적분과 급수의 합·치환적분법 심화 | 성취기준: [12미적Ⅰ-03-02], [12미적Ⅱ-03-01]]

📝 [제4회 문항 2] 배점: 15점

자연수 \(n\)에 대하여 두 수열 \(\{S_n\}, \{T_n\}\)을 \[ S_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{k}{n^2}\ln\left(1 + \dfrac{k^2}{n^2}\right), \qquad T_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{k^3}{n^4 + n^2 k^2} \] 이라 할 때, \(\lim_{n \to \infty} S_n\)의 값, \(\lim_{n \to \infty} T_n\)의 값, 그리고 \(\lim_{n \to \infty} (2S_n + 2T_n)\)의 값을 각각 구하는 과정을 서술하시오.

💡 [제4회 문항 2] 정답 및 3단계 상세 해설 · 채점 기준표 (클릭하여 토글) 풀이 숨김 (클릭하여 보기) ▼

✅ 최종 정답: \(\lim_{n\to\infty} S_n = \ln 2 - \dfrac{1}{2},\; \lim_{n\to\infty} T_n = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\ln 2,\; \lim_{n\to\infty}(2S_n+2T_n) = \ln 2\)

[1단계: 급수 \(S_n\)의 정적분 변환 및 치환적분 계산]
\(\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \left(\dfrac{k}{n}\right)\ln\left\{1 + \left(\dfrac{k}{n}\right)^2\right\} = \displaystyle\int_{0}^{1} x\ln(1 + x^2)\,dx\)이다. \(1 + x^2 = u\) (\(2x\,dx = du\))로 치환하면 \(\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{1}^{2} \ln u\,du = \dfrac{1}{2}\big[u\ln u - u\big]_{1}^{2} = \ln 2 - \dfrac{1}{2}\)이다.

[2단계: 급수 \(T_n\)의 정적분 변환 및 분수식 변형 적분]
\(T_n = \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \dfrac{(k/n)^3}{1 + (k/n)^2}\)이므로 \(\lim_{n \to \infty} T_n = \displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{x^3}{1 + x^2}\,dx\)이다. \(\dfrac{x^3}{1 + x^2} = x - \dfrac{x}{1 + x^2}\)으로 변형하여 적분하면 \(\left[\dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{2}\ln(1 + x^2)\right]_{0}^{1} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\ln 2\)이다.

[3단계: 결합 극한값 도출]
따라서 \(\lim_{n \to \infty} (2S_n + 2T_n) = (2\ln 2 - 1) + (1 - \ln 2) = \ln 2\)이다.

단계별 채점 기준 (Partial Credit Rubric)	배점 (15점)
\(S_n\)을 정적분으로 변환하고 \(u = 1+x^2\) 치환적분으로 \(\ln 2 - \dfrac{1}{2}\) 도출	6점
\(T_n\)을 정적분으로 변환하고 \(\frac{x^3}{1+x^2} = x - \frac{x}{1+x^2}\)으로 \(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\ln 2\) 도출	6점
\(\lim_{n\to\infty}(2S_n + 2T_n) = \ln 2\) 최종 도출	3점

🏛️ 2027 가천대 의예과 수리논술 모의고사 제4회 (2/8) 퀘스티오(Questio) · 대표 강원호 · 사업자등록번호 551-09-03449 | JAR Engine Verified

📘 미적분 🎯 지수곡선과 로그곡선의 공통접선 및 곡선과 접선으로 둘러싸인 넓이 ⏱️ 권장 11분 | 배점 15점

[출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅱ-2 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.25 (교과서 74쪽) 유제 22 접선의 방정식 / Ⅲ-2 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.29–30 (교과서 140–141쪽) 유제 22 두 곡선 사이의 넓이 및 미적분Ⅱ 지수·로그함수 미적분 심화 | 성취기준: [12미적Ⅰ-02-05], [12미적Ⅰ-03-05], [12미적Ⅱ-02-01], [12미적Ⅱ-03-01]]

📝 [제4회 문항 3] 배점: 15점

양수 \(a\)와 실수 \(k\)에 대하여 두 곡선 \(y = e^{ax - 1}\)과 \(y = \ln(ax) + k\)가 한 점 \(P\)에서 접하고, 점 \(P\)에서의 공통접선을 \(l\)이라 하자. 곡선 \(y = e^{ax - 1}\)과 직선 \(l\) 및 \(y\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이가 \(\dfrac{e - 2}{6e}\)일 때, 상수 \(k\)와 양수 \(a\)의 값을 각각 구하는 과정을 서술하시오.

💡 [제4회 문항 3] 정답 및 3단계 상세 해설 · 채점 기준표 (클릭하여 토글) 풀이 숨김 (클릭하여 보기) ▼

✅ 최종 정답: \(k = 1,\; a = 3\)

[1단계: 공통접선 조건과 단조성으로부터 접점 \(P\) 및 \(k\) 결정]
접점 \(P\)의 \(x\)좌표를 \(t\) (\(t > 0\))라 하면 미분계수가 같으므로 \(a e^{at - 1} = \dfrac{1}{t} \implies (at)e^{at - 1} = 1\)이다. 함수 \(u \mapsto u e^{u - 1}\)은 \(u > 0\)에서 순증가하고 \(u = 1\)일 때 \(1\)이므로 \(at = 1\), 즉 \(t = \dfrac{1}{a}\)이다. 이때 두 곡선의 \(y\)좌표가 같으므로 \(e^0 = \ln 1 + k\)에서 \(k = 1\)이고 \(P\left(\dfrac{1}{a}, 1\right)\)이다.

[2단계: 공통접선 \(l\)의 방정식 유도]
점 \(P\left(\dfrac{1}{a}, 1\right)\)에서의 접선의 기울기는 \(a e^0 = a\)이므로 공통접선 \(l\)의 방정식은 \(y - 1 = a\left(x - \dfrac{1}{a}\right)\), 즉 \(y = ax\)이다.

[3단계: 둘러싸인 도형의 정적분 넓이로부터 \(a\) 산출]
구간 \(\left[0, \dfrac{1}{a}\right]\)에서 \(e^{ax - 1} \ge ax\)이므로 둘러싸인 넓이는 \(\displaystyle\int_{0}^{1/a} (e^{ax - 1} - ax)\,dx = \left[\dfrac{1}{a}e^{ax - 1} - \dfrac{1}{2}ax^2\right]_{0}^{1/a} = \dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{2a} - \dfrac{1}{ae} = \dfrac{e - 2}{2ae}\)이다. 이것이 \(\dfrac{e - 2}{6e}\)과 같으므로 \(a = 3\)이다.

단계별 채점 기준 (Partial Credit Rubric)	배점 (15점)
\((at)e^{at-1} = 1\)의 유일근 \(at = 1\)로부터 \(P(\frac{1}{a}, 1)\) 및 \(k = 1\) 도출	6점
공통접선의 방정식 \(y = ax\) 유도	4점
\(\int_0^{1/a} (e^{ax-1} - ax)\,dx = \dfrac{e-2}{2ae} = \dfrac{e-2}{6e}\)로부터 \(a = 3\) 최종 도출	5점

🏛️ 2027 가천대 의예과 수리논술 모의고사 제4회 (3/8) 퀘스티오(Questio) · 대표 강원호 · 사업자등록번호 551-09-03449 | JAR Engine Verified

📘 수학Ⅰ · 수학Ⅱ 🎯 가우스 로그 주기함수의 불연속점과 이차함수의 곱의 연속성 ⏱️ 권장 10분 | 배점 15점

[출처: 대수 교과서 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.8 유제 22 로그함수의 성질 / 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅰ-2 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.28–29 (교과서 35–36쪽) 유제 22 연속함수의 성질 심화 | 성취기준: [12대수01-04], [12대수01-07], [12미적Ⅰ-01-03], [12미적Ⅰ-01-04]]

📝 [제4회 문항 4] 배점: 15점

자연수 \(m\)에 대하여 주기가 \(m\)인 함수 \(f(x)\)가 \[ f(x) = \lfloor \log_3(2x + 3) \rfloor \quad (0 \le x < m) \] 으로 정의된다. 열린구간 \((0, m)\)에서 함수 \(f(x)\)의 불연속점의 개수가 \(2\)가 되도록 하는 자연수 \(m\)의 최댓값을 \(M\)이라 하자. \(m = M\)일 때, 열린구간 \((0, M)\)에서 함수 \(g(x) = (x^2 + ax + b)f(x)\)가 실수 전체의 열린구간 \((0, M)\)에서 연속이 되도록 하는 두 상수 \(a, b\)의 값과 \(g(M)\)의 값을 각각 구하는 과정을 서술하시오.

💡 [제4회 문항 4] 정답 및 3단계 상세 해설 · 채점 기준표 (클릭하여 토글) 풀이 숨김 (클릭하여 보기) ▼

✅ 최종 정답: \(M = 39,\; a = -15,\; b = 36,\; g(M) = 972\)

[1단계: 열린구간 \((0, m)\) 내 불연속점 위치 분석 및 \(M\) 도출]
\(x = 0\)일 때 \(\log_3 3 = 1\)이므로 \(x > 0\)에서 \(\log_3(2x + 3) = k\) (\(k = 2, 3, 4, \dots\))가 되는 점은 \(x_k = \dfrac{3^k - 3}{2}\)이다. \(x_2 = 3,\; x_3 = 12,\; x_4 = 39\)이므로 열린구간 \((0, m)\)에서 불연속점이 \(2\)개(\(x = 3, 12\))이려면 \(12 < m \le 39\)이며, 자연수 \(m\)의 최댓값은 \(M = 39\)이다.

[2단계: 곱함수 \(g(x)\)의 연속 조건으로부터 \(a, b\) 결정]
열린구간 \((0, 39)\)에서 \(f(x)\)는 \(x = 3\)과 \(x = 12\)에서 좌극한과 우극한이 서로 다른 불연속점이다. 다항함수 \(x^2 + ax + b\)와의 곱 \(g(x) = (x^2 + ax + b)f(x)\)가 \(x = 3, 12\)에서 연속이려면 \(x = 3\)과 \(x = 12\)에서 \(x^2 + ax + b = 0\)이어야 하므로 \(x^2 + ax + b = (x - 3)(x - 12) = x^2 - 15x + 36\), 즉 \(a = -15, b = 36\)이다.

[3단계: 주기성을 이용한 \(g(M)\) 계산]
주기성에 의해 \(f(39) = f(0) = \lfloor \log_3 3 \rfloor = 1\)이므로, \(g(39) = (39 - 3)(39 - 12) \times 1 = 36 \times 27 = 972\)이다.

단계별 채점 기준 (Partial Credit Rubric)	배점 (15점)
불연속점 \(x_2 = 3,\; x_3 = 12,\; x_4 = 39\)를 구하여 \(M = 39\) 도출	5점
불연속점에서의 연속 조건으로 \(x^2+ax+b = (x-3)(x-12)\) 및 \(a=-15, b=36\) 도출	6점
\(f(39) = f(0) = 1\)을 이용하여 \(g(39) = 972\) 최종 도출	4점

🏛️ 2027 가천대 의예과 수리논술 모의고사 제4회 (4/8) 퀘스티오(Questio) · 대표 강원호 · 사업자등록번호 551-09-03449 | JAR Engine Verified

📘 미적분 🎯 정적분 함수 방정식의 미분과 치환·부분적분 급수 소거 ⏱️ 권장 12분 | 배점 15점

[출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅲ-1 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.17 (교과서 128쪽) 유제 22 정적분으로 정의된 함수 및 미적분Ⅱ 치환적분법·부분적분법 심화 | 성취기준: [12미적Ⅰ-03-04], [12미적Ⅱ-03-01]]

📝 [제4회 문항 5] 배점: 15점

실수 전체의 집합에서 도함수가 연속이고 \(f(0) = 0\)인 증가함수 \(f(x)\)와 양의 실수 전체의 집합을 치역으로 갖는 미분가능한 함수 \(g(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(g(x) = e + \displaystyle\int_{0}^{x} g(t)f'(t)\sin f(t)\,dt\)이다.
(나) 음이 아닌 정수 \(n\)에 대하여 \(f(b_n) = n\pi\)이다. (단, \(b_0 = 0\))

이때 \(\sum_{n=1}^{6} \dfrac{1}{\pi^2}\displaystyle\int_{b_{n-1}}^{b_n} f(x)f'(x)\ln g(x)\,dx\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

💡 [제4회 문항 5] 정답 및 3단계 상세 해설 · 채점 기준표 (클릭하여 토글) 풀이 숨김 (클릭하여 보기) ▼

✅ 최종 정답: \(36\)

[1단계: 정적분 방정식의 미분을 통한 \(\ln g(x)\) 도출]
조건 (가)에서 \(g(0) = e\)이고 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 \(g'(x) = g(x)f'(x)\sin f(x) \implies \dfrac{g'(x)}{g(x)} = f'(x)\sin f(x)\)이다. 양변을 \(0\)부터 \(x\)까지 적분하면 \(\ln g(x) - \ln g(0) = \big[-\cos f(t)\big]_{0}^{x} = 1 - \cos f(x)\)이므로 \(\ln g(x) = 2 - \cos f(x)\)이다.

[2단계: 치환적분과 부분적분을 통한 구간별 정적분 \(I_n\) 계산]
\(I_n = \displaystyle\int_{b_{n-1}}^{b_n} f(x)f'(x)\ln g(x)\,dx\)에서 \(u = f(x)\) (\(du = f'(x)\,dx\))로 치환하면 \(I_n = \displaystyle\int_{(n-1)\pi}^{n\pi} u(2 - \cos u)\,du = \big[u^2 - u\sin u - \cos u\big]_{(n-1)\pi}^{n\pi} = (2n - 1)\pi^2 + 2(-1)^n\)이다.

[3단계: 급수 합산 및 교대항 소거]
\(\sum_{n=1}^{6} \dfrac{I_n}{\pi^2} = \sum_{n=1}^{6} (2n - 1) + \dfrac{2}{\pi^2}\sum_{n=1}^{6} (-1)^n = 6^2 + 0 = 36\)이다.

단계별 채점 기준 (Partial Credit Rubric)	배점 (15점)
\(\dfrac{g'(x)}{g(x)} = f'(x)\sin f(x)\)를 적분하여 \(\ln g(x) = 2 - \cos f(x)\) 유도	5점
\(u = f(x)\) 치환 및 부분적분으로 \(I_n = (2n-1)\pi^2 + 2(-1)^n\) 계산	6점
\(n=1\)부터 \(6\)까지 합산하여 \(36\) 최종 도출	4점

🏛️ 2027 가천대 의예과 수리논술 모의고사 제4회 (5/8) 퀘스티오(Questio) · 대표 강원호 · 사업자등록번호 551-09-03449 | JAR Engine Verified

📘 미적분 🎯 초월함수 \(P(x)e^x\)의 절댓값 미분가능성과 부정적분 구조 ⏱️ 권장 11분 | 배점 15점

[출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅱ-1 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 (교과서 59쪽) 유제 22 미분가능성 / Ⅲ-1 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.12 (교과서 123쪽) 유제 22 정적분 및 미적분Ⅱ 부분적분 심화 | 성취기준: [12미적Ⅰ-02-03], [12미적Ⅰ-03-02], [12미적Ⅱ-03-01]]

📝 [제4회 문항 6] 배점: 15점

최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(P(x)\)에 대하여 함수 \(f(x) = P(x)e^x\)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 \(|f(x)|\)는 오직 \(x = -3\)에서만 미분가능하지 않다.
(나) 방정식 \(f(x) = 0\)의 양의 실근이 존재하고, \(f(0) = 12\)이다.

이때 \(P(1)\)의 값과 정적분 \(\displaystyle\int_{-3}^{2} f(x)\,dx\)의 값을 각각 구하는 과정을 서술하시오.

💡 [제4회 문항 6] 정답 및 3단계 상세 해설 · 채점 기준표 (클릭하여 토글) 풀이 숨김 (클릭하여 보기) ▼

✅ 최종 정답: \(P(1) = 4,\; \displaystyle\int_{-3}^{2} f(x)\,dx = 4e^2 + \dfrac{51}{e^3}\)

[1단계: 절댓값 함수의 미분가능성 조건으로부터 삼차다항식 \(P(x)\) 결정]
\(e^x > 0\)이므로 \(|f(x)| = |P(x)|e^x\)가 오직 \(x = -3\)에서만 미분가능하지 않고 조건 (나)에서 양의 실근 \(r > 0\)을 가지려면, \(x = -3\)은 \(P(x) = 0\)의 단근이고 양수 \(r\)은 중근이어야 한다. 따라서 \(P(x) = (x + 3)(x - r)^2\)이며, \(f(0) = P(0) = 3r^2 = 12\)이고 \(r > 0\)이므로 \(r = 2\)이다.

[2단계: \(P(x)\) 전개 및 \(P(1)\) 계산]
\(P(x) = (x + 3)(x - 2)^2 = x^3 - x^2 - 8x + 12\)이므로 \(P(1) = 4 \times (-1)^2 = 4\)이다.

[3단계: \(Q(x)e^x\) 꼴의 부정적분을 이용한 정적분 계산]
\(\{Q(x)e^x\}' = \{Q(x) + Q'(x)\}e^x = (x^3 - x^2 - 8x + 12)e^x\)에서 계수를 비교하면 \(Q(x) = x^3 - 4x^2 + 12\)이다(실제로 \(Q(x) + Q'(x) = (x^3 - 4x^2 + 12) + (3x^2 - 8x) = P(x)\)). 따라서 \(\displaystyle\int_{-3}^{2} f(x)\,dx = \big[(x^3 - 4x^2 + 12)e^x\big]_{-3}^{2} = (8 - 16 + 12)e^2 - (-27 - 36 + 12)e^{-3} = 4e^2 + \dfrac{51}{e^3}\)이다.

단계별 채점 기준 (Partial Credit Rubric)	배점 (15점)
\(\|f(x)\|\)의 미분불가능점 조건으로부터 \(P(x) = (x+3)(x-2)^2\) 및 \(P(1) = 4\) 도출	6점
부분적분으로 부정적분 \(F(x) = (x^3 - 4x^2 + 12)e^x\) 유도	5점
\(\int_{-3}^2 f(x)\,dx = 4e^2 + \dfrac{51}{e^3}\) 최종 도출	4점

🏛️ 2027 가천대 의예과 수리논술 모의고사 제4회 (6/8) 퀘스티오(Questio) · 대표 강원호 · 사업자등록번호 551-09-03449 | JAR Engine Verified

📘 수학Ⅰ (대수) 🎯 원에 내접하는 사각형에서의 코사인법칙과 각의 이등분선 길이 ⏱️ 권장 10분 | 배점 15점

[출처: 대수 교과서 Ⅱ-2. 사인법칙과 코사인법칙 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.31 유제 22, PDF p.33 유제 22 사인법칙과 코사인법칙의 활용 심화 | 성취기준: [12대수02-03]]

📝 [제4회 문항 7] 배점: 15점

그림과 같이 원에 내접하는 사각형 \(ABCD\)에서 \(\overline{AB} = 5\), \(\overline{AD} = 3\), \(\angle BAD = \dfrac{2\pi}{3}\)이다. \(\overline{BC} : \overline{CD} = 8 : 5\)이고 \(\angle BCD\)의 이등분선이 대각선 \(BD\)와 만나는 점을 \(E\)라 할 때, 대각선 \(BD\)의 길이, 선분 \(CE\)의 길이, 그리고 사각형 \(ABCD\)의 넓이를 각각 구하는 과정을 서술하시오.

💡 [제4회 문항 7] 정답 및 3단계 상세 해설 · 채점 기준표 (클릭하여 토글) 풀이 숨김 (클릭하여 보기) ▼

✅ 최종 정답: \(\overline{BD} = 7,\; \overline{CE} = \dfrac{40\sqrt{3}}{13}\), 사각형 \(ABCD\)의 넓이 \(\dfrac{55\sqrt{3}}{4}\)

[1단계: 삼각형 \(ABD\)에서 코사인법칙을 이용한 \(\overline{BD}\) 계산]
삼각형 \(ABD\)에서 코사인법칙에 의하여 \(\overline{BD}^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \times 5 \times 3 \cos\dfrac{2\pi}{3} = 25 + 9 + 15 = 49\)이므로 \(\overline{BD} = 7\)이다.

[2단계: 내접사각형의 대각 성질과 코사인법칙을 통한 \(\overline{BC}, \overline{CD}\) 산출]
사각형 \(ABCD\)가 원에 내접하므로 \(\angle BCD = \pi - \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3}\)이다. \(\overline{BC} = 8k, \overline{CD} = 5k\) (\(k > 0\))라 하면 삼각형 \(BCD\)에서 코사인법칙에 의해 \((8k)^2 + (5k)^2 - 2(8k)(5k)\cos\dfrac{\pi}{3} = 49k^2 = 49\)이므로 \(k = 1\), 즉 \(\overline{BC} = 8, \overline{CD} = 5\)이다.

[3단계: 넓이 분할을 통한 각의 이등분선 \(\overline{CE}\) 및 사각형 넓이 도출]
\(\triangle BCD = \triangle BCE + \triangle DCE\)에서 \(\dfrac{1}{2} \times 8 \times 5 \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}(8 + 5)\overline{CE}\sin\dfrac{\pi}{6}\)이므로 \(10\sqrt{3} = \dfrac{13}{4}\overline{CE} \implies \overline{CE} = \dfrac{40\sqrt{3}}{13}\)이다. 또한 사각형 \(ABCD\)의 넓이는 \(\triangle ABD + \triangle BCD = \dfrac{1}{2}(15 + 40)\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{55\sqrt{3}}{4}\)이다.

단계별 채점 기준 (Partial Credit Rubric)	배점 (15점)
삼각형 \(ABD\)에 코사인법칙을 적용하여 \(\overline{BD} = 7\) 도출	4점
\(\angle BCD = \dfrac{\pi}{3}\)과 코사인법칙으로 \(\overline{BC} = 8,\; \overline{CD} = 5\) 도출	5점
넓이 분할로 \(\overline{CE} = \dfrac{40\sqrt{3}}{13}\) 및 사각형 넓이 \(\dfrac{55\sqrt{3}}{4}\) 최종 도출	6점

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📘 미적분 🎯 두 초월함수의 최댓값 곡선을 밑면으로 하는 정삼각형 단면 입체도형의 부피 ⏱️ 권장 11분 | 배점 15점

[출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅲ-2 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.29–30 (교과서 140–141쪽) 유제 22 정적분의 활용 및 미적분Ⅱ 입체도형의 부피 심화 | 성취기준: [12미적Ⅰ-03-05], [12미적Ⅱ-03-01]]

📝 [제4회 문항 8] 배점: 15점

닫힌구간 \(\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]\)에서 정의된 두 함수 \(f(x) = \sqrt{e^{2x}\cos x}\), \(g(x) = \sqrt{e^{2x}\sin 2x}\)에 대하여 \(h(x) = \max\big(f(x), g(x)\big)\)라 하자. 곡선 \(y = h(x)\)와 \(x\)축 및 두 직선 \(x = 0, x = \dfrac{\pi}{2}\)로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하고, \(x\)축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 한 변의 길이가 \(h(x)\)인 정삼각형인 입체도형의 부피 \(V\)에 대하여 \[ 160V + 16\sqrt{3} = p\sqrt{3}e^{\pi} + (q + r\sqrt{3})e^{\pi/3} \] 일 때, 유리수 \(p, q, r\)의 값을 각각 구하는 과정을 서술하시오.

💡 [제4회 문항 8] 정답 및 3단계 상세 해설 · 채점 기준표 (클릭하여 토글) 풀이 숨김 (클릭하여 보기) ▼

✅ 최종 정답: \(p = 10,\; q = 13,\; r = 3\)

[1단계: 두 곡선의 교점 및 구간별 단면 넓이 식 수립]
구간 \(\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]\)에서 \(\cos x = \sin 2x = 2\sin x\cos x \iff \sin x = \dfrac{1}{2}\) 또는 \(\cos x = 0\)이므로 교점은 \(x = \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{2}\)이다. 따라서 부피는 \(V = \dfrac{\sqrt{3}}{4}\left(\displaystyle\int_{0}^{\pi/6} e^{2x}\cos x\,dx + \int_{\pi/6}^{\pi/2} e^{2x}\sin 2x\,dx\right)\)이다.

[2단계: 부분적분법을 이용한 두 정적분 \(I_1, I_2\) 계산]
부분적분법에 의하여 \(I_1 = \displaystyle\int_{0}^{\pi/6} e^{2x}\cos x\,dx = \left[\dfrac{e^{2x}(2\cos x + \sin x)}{5}\right]_{0}^{\pi/6} = \dfrac{(2\sqrt{3} + 1)e^{\pi/3} - 4}{10}\)이고, \(I_2 = \displaystyle\int_{\pi/6}^{\pi/2} e^{2x}\sin 2x\,dx = \left[\dfrac{e^{2x}(\sin 2x - \cos 2x)}{4}\right]_{\pi/6}^{\pi/2} = \dfrac{2e^{\pi} - (\sqrt{3} - 1)e^{\pi/3}}{8}\)이다.

[3단계: 부피 \(V\) 정리 및 유리수 \(p, q, r\) 도출]
\(I_1 + I_2 = \dfrac{4(2\sqrt{3}+1)e^{\pi/3} - 16 + 10e^{\pi} - 5(\sqrt{3}-1)e^{\pi/3}}{40} = \dfrac{10e^{\pi} + (3\sqrt{3} + 9)e^{\pi/3} - 16}{40}\)이다. 양변에 \(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\)을 곱하고 \(160\)배하면 \(160V = \sqrt{3}\{10e^{\pi} + (3\sqrt{3} + 9)e^{\pi/3} - 16\} = 10\sqrt{3}e^{\pi} + (9 + 9\sqrt{3})e^{\pi/3} - 16\sqrt{3}\)이므로 \(p = 10,\; q = 9,\; r = 9\)이다.

단계별 채점 기준 (Partial Credit Rubric)	배점 (15점)
교점 \(x = \dfrac{\pi}{6}\)을 찾아 부피 정적분 식을 두 구간으로 분리	4점
부분적분으로 \(I_1 = \frac{(2\sqrt{3}+1)e^{\pi/3}-4}{10}\) 및 \(I_2 = \frac{2e^\pi - (\sqrt{3}-1)e^{\pi/3}}{8}\) 계산	7점
\(160V + 16\sqrt{3}\)을 정리하여 \(p = 10,\; q = 9,\; r = 9\) 최종 도출	4점

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