2027학년도 가천대학교 의예과 모의고사 제3회 수학문제집 (실전 답안작성용)

🩺 2027학년도 가천대학교 의예과 모의고사 제3회 수학문제집 (실전 답안작성용)

QUESTIO MEDICAL ESSAY SERIES

2027학년도 가천대학교 의예과 수리논술 대비

가천대 의예과 실전 모의고사 [제3회] 수학문제집

수학Ⅰ(대수) · 수학Ⅱ(미적분Ⅰ) · 미적분 전 범위

제3회 고난도 심화 모의고사 (의예과 최상위 변별 I) | 문항 1 ~ 문항 8 상세 해설 및 채점 기준표

QUESTIO 수리논술연구소 | 2022 개정 교육과정 교과서 DB 정밀 대조 (CITE_06 PASS)

📑 모의고사 구성 및 출제 원칙 안내 (총 1회 / 8문항) JAR Engine Verified

• 출제 원천 (Single Source of Truth): 2022 개정 교육과정 수학 교과서 데이터베이스(대수[수학Ⅰ], 미적분Ⅰ[수학Ⅱ], 미적분Ⅱ[미적분])의 본문 예제·문제를 가천대 의예과 8문항 체제로 정밀 변형 출제하였습니다.
• 난이도 설계: 제1회·제2회는 2026~2025학년도 가천대 의예과 기출문항과 1:1 대응하는 동형 모의고사이며, 제3회·제4회·제5회는 의예과 최상위권 변별을 위한 고난도 심화 문항으로 구성하였습니다.
• 인터랙티브 학습 모드: 상단 툴바의 [전체 풀이 보기/숨기기] 버튼 또는 각 문항의 해설 토글 바를 클릭하여 3단계 모범답안과 채점 기준표를 즉시 확인할 수 있습니다.

제3회 (고난도 심화 (Advanced Medical I))

제3회 고난도 심화 모의고사 (의예과 최상위 변별 I)

수학Ⅰ(대수) · 수학Ⅱ(미적분Ⅰ) · 미적분 심화 | 문항 1 ~ 문항 8 (총 120점)

문항 1 ~ 8 (120점)

🏛️ 가천대학교 의예과 수리논술 모의고사 퀘스티오(Questio) · 대표 강원호 · 사업자등록번호 551-09-03449

📘 수학Ⅰ (대수) 🎯 거듭제곱근의 실근 개수 합과 지수·로그 역함수 대칭 사다리꼴의 넓이 ⏱️ 권장 11분 | 배점 15점

[출처: 대수 교과서 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.6–7 유제 22 실수의 거듭제곱근 / Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.7 유제 22 지수함수와 로그함수의 역함수 관계 심화 | 성취기준: [12대수01-01], [12대수01-07]]

📝 [제3회 문항 1] 배점: 15점

\(2\) 이상의 자연수 \(n\)과 실수 \(t\)에 대하여 \(t\)의 \(n\)제곱근 중 실수인 것의 개수를 \(g_n(t)\)라 하자. \[ p = \sum_{k=2}^{8} g_k\big((k - 5)(k - 8)\big) \] 이라 할 때, 좌표평면에서 곡선 \(C_1 : y = 2^{x-1} + 1\)과 곡선 \(C_2 : y = \log_2(x - 1) + 1\)이 직선 \(x + y = p\)와 만나는 두 점을 각각 \(P, Q\)라 하고, 직선 \(x + y = 5\)와 만나는 두 점을 각각 \(R, S\)라 하자. 상수 \(p\)의 값과 사각형 \(PRSQ\)의 넓이를 각각 구하는 과정을 서술하시오.

💡 [제3회 문항 1] 정답 및 3단계 상세 해설 · 채점 기준표 (클릭하여 토글) 풀이 숨김 (클릭하여 보기) ▼

✅ 최종 정답: \(p = 8\), 사각형 \(PRSQ\)의 넓이 \(\dfrac{9}{2}\)

[1단계: 거듭제곱근의 실근 개수 정의를 이용한 \(p\) 산출]
\(k\)가 홀수(\(k = 3, 5, 7\))일 때는 \((k-5)(k-8)\)의 부호에 관계없이 \(g_k = 1\)이다. \(k\)가 짝수일 때는 \(k = 2, 4\)에서 \((k-5)(k-8) > 0\)이므로 \(g_2 = g_4 = 2\), \(k = 6\)에서 \((k-5)(k-8) = -2 < 0\)이므로 \(g_6 = 0\), \(k = 8\)에서 \((k-5)(k-8) = 0\)이므로 \(g_8 = 1\)이다. 따라서 \(p = 2 + 1 + 2 + 1 + 0 + 1 + 1 = 8\)이다.

[2단계: 역함수 대칭성을 활용한 네 교점 \(P, Q, R, S\)의 좌표 결정]
두 함수 \(y = 2^{x-1} + 1\)과 \(y = \log_2(x-1) + 1\)은 서로 역함수 관계이므로 직선 \(y = x\)에 대하여 대칭이다. 곡선 \(C_1\)과 직선 \(x + y = 8\)의 교점은 \(2^{x-1} + x + 1 = 8 \implies 2^{x-1} + x = 7\)에서 좌변이 단조증가하므로 \(x = 3, y = 5\)가 유일한 해이다. 따라서 \(P(3, 5), Q(5, 3)\)이고, 같은 방법으로 \(x + y = 5\)와의 교점은 \(2^{x-1} + x = 4\)에서 \(R(2, 3), S(3, 2)\)이다.

[3단계: 등변사다리꼴 \(PRSQ\)의 넓이 계산]
\(\overline{PQ} = \sqrt{(5-3)^2 + (3-5)^2} = 2\sqrt{2}\), \(\overline{RS} = \sqrt{(3-2)^2 + (2-3)^2} = \sqrt{2}\)이고, 두 평행선 \(x + y = 8\)과 \(x + y = 5\) 사이의 거리는 \(h = \dfrac{|8 - 5|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \dfrac{3}{\sqrt{2}}\)이다. 따라서 사다리꼴 \(PRSQ\)의 넓이는 \(\dfrac{1}{2}\left(2\sqrt{2} + \sqrt{2}\right) \times \dfrac{3}{\sqrt{2}} = \dfrac{9}{2}\)이다.

단계별 채점 기준 (Partial Credit Rubric)	배점 (15점)
짝수·홀수 \(k\)별 부호 판정을 통해 \(p = 8\) 도출	5점
단조성과 \(y = x\) 대칭성으로 \(P(3,5), Q(5,3), R(2,3), S(3,2)\) 좌표 도출	5점
평행한 두 밑변의 길이와 직선 사이 거리로 넓이 \(\dfrac{9}{2}\) 최종 도출	5점

🏛️ 2027 가천대 의예과 수리논술 모의고사 제3회 (1/8) 퀘스티오(Questio) · 대표 강원호 · 사업자등록번호 551-09-03449 | JAR Engine Verified

📘 미적분 · 수학Ⅰ 🎯 좌표평면 두 선분이 이루는 각의 탄젠트 덧셈정리와 망원급수 ⏱️ 권장 11분 | 배점 15점

[출처: 미래엔(황선욱) 대수 Ⅲ-3 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 (교과서 156쪽) 유제 22 수열의 귀납적 정의 및 미적분Ⅱ 삼각함수 덧셈정리·급수의 수렴 심화 | 성취기준: [12대수03-06], [12미적Ⅱ-01-04], [12미적Ⅱ-02-01]]

📝 [제3회 문항 2] 배점: 15점

자연수 \(n\)에 대하여 좌표평면 위의 두 점 \(P_n(n, 1)\), \(Q_n(n+1, 1)\)과 원점 \(O\)를 연결할 때 \(\angle P_n O Q_n = \theta_n\)이라 하자. 수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = 0\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \[ \tan a_{n+1} = \dfrac{\tan a_n + \tan\theta_n}{1 - \tan a_n \tan\theta_n} \quad \left(0 \le a_n < \dfrac{\pi}{2}\right) \] 을 만족시킬 때, \(\lim_{n \to \infty} \tan a_n\)의 값과 무한급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{2(n^2 + n + 1)}{n(n + 2)}\tan\theta_n\)의 합을 각각 구하는 과정을 서술하시오.

💡 [제3회 문항 2] 정답 및 3단계 상세 해설 · 채점 기준표 (클릭하여 토글) 풀이 숨김 (클릭하여 보기) ▼

✅ 최종 정답: \(\lim_{n \to \infty} \tan a_n = 1,\; \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{2(n^2+n+1)}{n(n+2)}\tan\theta_n = \dfrac{3}{2}\)

[1단계: 탄젠트 덧셈정리를 이용한 \(\tan\theta_n\)의 일반항 유도]
반직선 \(OP_n\)이 \(x\)축의 양의 방향과 이루는 각을 \(\alpha_n\)이라 하면 \(\tan\alpha_n = \dfrac{1}{n}\)이고 \(\theta_n = \alpha_n - \alpha_{n+1}\)이다. 따라서 탄젠트 덧셈정리에 의하여 \(\tan\theta_n = \tan(\alpha_n - \alpha_{n+1}) = \dfrac{\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}}{1 + \frac{1}{n(n+1)}} = \dfrac{1}{n^2 + n + 1}\)이다.

[2단계: 수열 \(\{a_n\}\)의 부분합 소거와 \(\lim_{n\to\infty} \tan a_n\) 계산]
\(\tan a_{n+1} = \tan(a_n + \theta_n)\)이고 \(a_1 = 0\)이므로 \(a_{n+1} = \sum_{k=1}^{n} \theta_k = \sum_{k=1}^{n} (\alpha_k - \alpha_{k+1}) = \alpha_1 - \alpha_{n+1}\)이다. \(n \to \infty\)일 때 \(\tan\alpha_{n+1} = \dfrac{1}{n+1} \to 0\)에서 \(\alpha_{n+1} \to 0\)이고 \(\alpha_1 = \dfrac{\pi}{4}\)이므로 \(\lim_{n \to \infty} \tan a_n = \tan\dfrac{\pi}{4} = 1\)이다.

[3단계: 부분분수 분해를 통한 무한급수의 합 계산]
\(\tan\theta_n = \dfrac{1}{n^2 + n + 1}\)을 대입하면 \(\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{2(n^2+n+1)}{n(n+2)}\tan\theta_n = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{2}{n(n+2)} = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^{N} \left(\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+2}\right) = 1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}\)이다.

단계별 채점 기준 (Partial Credit Rubric)	배점 (15점)
\(\theta_n = \alpha_n - \alpha_{n+1}\) 및 \(\tan\theta_n = \dfrac{1}{n^2+n+1}\) 도출	5점
\(a_{n+1} = \alpha_1 - \alpha_{n+1}\) 망원 소거로 \(\lim_{n\to\infty}\tan a_n = 1\) 도출	5점
부분분수 급수 소거를 통해 급수의 합 \(\dfrac{3}{2}\) 최종 도출	5점

🏛️ 2027 가천대 의예과 수리논술 모의고사 제3회 (2/8) 퀘스티오(Questio) · 대표 강원호 · 사업자등록번호 551-09-03449 | JAR Engine Verified

📘 수학Ⅱ (미적분Ⅰ) 🎯 삼차함수의 변곡점 대칭과 차함수의 극값·대칭구간 정적분 ⏱️ 권장 11분 | 배점 15점

[출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅱ-2 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.39 (교과서 88쪽) 유제 22 극대와 극소 / Ⅲ-1 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.15–16 (교과서 126–127쪽) 유제 22 정적분의 성질 심화 | 성취기준: [12미적Ⅰ-02-07], [12미적Ⅰ-03-03]]

📝 [제3회 문항 3] 배점: 15점

최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)가 양수 \(a\)에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(a + x) + f(a - x) = 4a\)이다.
(나) 함수 \(g(x) = f(x) - 2x\)는 \(x = a + 1\)에서 극솟값을 갖는다.
(다) \(\displaystyle\int_{0}^{2a} f(x)\,dx = 36\)

이때 \(\displaystyle\int_{-1}^{1} (5x + 3)^2 f(x + a)\,dx\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

💡 [제3회 문항 3] 정답 및 3단계 상세 해설 · 채점 기준표 (클릭하여 토글) 풀이 숨김 (클릭하여 보기) ▼

✅ 최종 정답: \(200\)

[1단계: 점대칭성과 차함수의 극소 조건을 통한 \(f(x)\) 구조 결정]
조건 (가)에 의해 곡선 \(y = f(x)\)는 점 \((a, 2a)\)에 대하여 대칭이므로 상수 \(k\)에 대하여 \(f(x) = (x-a)^3 + k(x-a) + 2a\)이다. 조건 (나)에서 \(g(x) = f(x) - 2x = (x-a)^3 + (k-2)(x-a)\)이고 \(g'(a+1) = 3(1)^2 + (k - 2) = 0\)이므로 \(k = -1\)이다.

[2단계: 조건 (다)를 이용한 양수 \(a\) 도출]
점 \((a, 2a)\)에 대한 점대칭성에 의하여 \(\displaystyle\int_{0}^{2a} f(x)\,dx = 2a \times 2a = 4a^2\)이다. 조건 (다)에서 \(4a^2 = 36\)이고 \(a > 0\)이므로 \(a = 3\)이다. 따라서 \(f(x + 3) = x^3 - x + 6\)이다.

[3단계: 대칭구간 \([-1, 1]\)에서 우함수·기함수 분리 정적분 계산]
\((5x + 3)^2 f(x + 3) = (25x^2 + 30x + 9)(x^3 - x + 6)\)에서 기함수 항을 제거하고 우함수 항만 남기면 \(30x(x^3 - x) + 6(25x^2 + 9) = 30x^4 + 120x^2 + 54\)이다. 따라서 구하는 정적분은 \(2\displaystyle\int_{0}^{1} (30x^4 + 120x^2 + 54)\,dx = 2(6 + 40 + 54) = 200\)이다.

단계별 채점 기준 (Partial Credit Rubric)	배점 (15점)
\(f(x) = (x-a)^3 + k(x-a) + 2a\) 설정 및 \(g'(a+1) = 0\)으로부터 \(k = -1\) 도출	5점
\(\int_0^{2a} f(x)\,dx = 4a^2 = 36\)으로부터 \(a = 3\) 및 \(f(x+3) = x^3 - x + 6\) 도출	5점
우함수·기함수 분리 적분을 통해 정적분 값 \(200\) 최종 도출	5점

🏛️ 2027 가천대 의예과 수리논술 모의고사 제3회 (3/8) 퀘스티오(Questio) · 대표 강원호 · 사업자등록번호 551-09-03449 | JAR Engine Verified

📘 미적분 · 수학Ⅱ 🎯 합성 초월함수 미분가능성 구간과 내부 극대점을 갖는 등비급수의 최댓값 ⏱️ 권장 12분 | 배점 15점

[출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅱ-2 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.44 (교과서 93쪽) 유제 22 함수의 최대와 최소 및 미적분Ⅱ 초월합성함수 미분가능성과 등비급수 심화 | 성취기준: [12미적Ⅰ-02-07], [12미적Ⅰ-02-08], [12미적Ⅱ-01-04], [12미적Ⅱ-02-01]]

📝 [제3회 문항 4] 배점: 15점

두 양수 \(a, b\)에 대하여 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(-3 < f(x) < 3\)이고 \[ f(x) + \dfrac{3}{\pi}\sin\left(\dfrac{\pi}{3}f(x)\right) = \dfrac{a \cdot 3^x - b}{3^x + 1} \] 을 만족시킨다. 첫째항이 \(a^3 - 6a^2 + 9a\)이고 공비가 \(-\dfrac{1}{9}b^2 + \dfrac{4}{9}b\)인 등비수열 \(\{c_n\}\)에 대하여 급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} c_n\)의 최댓값을 구하는 과정을 서술하시오.

💡 [제3회 문항 4] 정답 및 3단계 상세 해설 · 채점 기준표 (클릭하여 토글) 풀이 숨김 (클릭하여 보기) ▼

✅ 최종 정답: \(\dfrac{36}{5}\)

[1단계: 합성함수의 미분가능성과 치역 조건으로부터 \(a, b\)의 범위 도출]
\(g(y) = y + \dfrac{3}{\pi}\sin\left(\dfrac{\pi}{3}y\right)\)라 하면 \(g'(y) = 1 + \cos\left(\dfrac{\pi}{3}y\right) \ge 0\)이고 \(g'(y) = 0 \iff y = 6k + 3\) (\(k \in \mathbb{Z}\))이다. 우변 \(h(x) = \dfrac{a \cdot 3^x - b}{3^x + 1}\)은 실수 전체에서 증가하고 치역이 \((-b, a)\)이며, \(g(-3) = -3, g(3) = 3\)이므로 \(-3 < f(x) < 3\)이고 \(f(x)\)가 실수 전체에서 미분가능하려면 \((-b, a) \subset (-3, 3)\), 즉 \(0 < a \le 3\)이고 \(0 < b \le 3\)이다.

[2단계: 구간 \((0, 3]\) 내부 극점에서의 첫째항 및 공비 최댓값 산출]
첫째항 함수 \(T(a) = a^3 - 6a^2 + 9a = a(a - 3)^2\)을 미분하면 \(T'(a) = 3(a - 1)(a - 3)\)이므로 구간 \((0, 3]\)에서 \(a = 1\)일 때 극대이자 최댓값 \(T(1) = 4\)를 갖는다(끝점 \(a = 3\)에서는 \(T(3) = 0\)). 공비 함수 \(R(b) = -\dfrac{1}{9}b^2 + \dfrac{4}{9}b = -\dfrac{1}{9}(b - 2)^2 + \dfrac{4}{9}\)는 구간 \((0, 3]\)에서 \(b = 2\)일 때 최댓값 \(R(2) = \dfrac{4}{9}\)를 갖는다.

[3단계: 등비급수의 합의 최댓값 계산]
첫째항이 양수로 최대(\(T(1) = 4\))이고 양수인 공비가 최대(\(R(2) = \dfrac{4}{9} < 1\))일 때 등비급수의 합이 최대가 되므로, 최댓값은 \(\sum_{n=1}^{\infty} c_n = \dfrac{4}{1 - 4/9} = \dfrac{36}{5}\)이다.

단계별 채점 기준 (Partial Credit Rubric)	배점 (15점)
\(g'(y) = 0\)의 근 \(y = 6k+3\) 분석으로 \(0 < a \le 3,\; 0 < b \le 3\) 도출	5점
내부 극점 \(a = 1\)에서 첫째항 최댓값 \(4\) 및 \(b = 2\)에서 공비 최댓값 \(\dfrac{4}{9}\) 도출	6점
등비급수의 최댓값 \(\dfrac{36}{5}\) 최종 도출	4점

🏛️ 2027 가천대 의예과 수리논술 모의고사 제3회 (4/8) 퀘스티오(Questio) · 대표 강원호 · 사업자등록번호 551-09-03449 | JAR Engine Verified

📘 수학Ⅰ (대수) 🎯 가중합으로 정의된 수열의 이중 차분과 부분분수 망원급수 ⏱️ 권장 11분 | 배점 15점

[출처: 미래엔(황선욱) 대수 Ⅲ-3 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 (교과서 156쪽) 유제 22 수열의 귀납적 정의와 급수 심화 | 성취기준: [12대수03-05], [12대수03-06]]

📝 [제3회 문항 5] 배점: 15점

수열 \(\{a_n\}\)은 \(a_1 = 1\)이고, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \[ a_{n+1} = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{n-k} (2k - 1)(n - k + 1) \] 을 만족시킨다. 자연수 \(m\)에 대하여 \(b_m = a_{2m} + a_{2m+1}\)이라 할 때, \(a_{20}\)의 값과 \(\sum_{m=1}^{10} \dfrac{4}{b_m b_{m+1}}\)의 값을 각각 구하는 과정을 서술하시오.

💡 [제3회 문항 5] 정답 및 3단계 상세 해설 · 채점 기준표 (클릭하여 토글) 풀이 숨김 (클릭하여 보기) ▼

✅ 최종 정답: \(a_{20} = 10,\; \sum_{m=1}^{10} \dfrac{4}{b_m b_{m+1}} = \dfrac{10}{11}\)

[1단계: 인접한 두 항의 합을 통한 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항 유도]
\(n \ge 2\)일 때 \(a_{n+1} + a_n = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{n-k} (2k - 1)\{(n - k + 1) - (n - k)\} = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{n-k} (2k - 1)\)이다. 이때 홀수들의 교대합은 \(\sum_{k=1}^{n} (-1)^{n-k} (2k - 1) = n\)이므로 모든 자연수 \(n \ge 2\)에 대하여 \(a_{n+1} + a_n = n\)이다.

[2단계: 홀수·짝수 번째 항의 규칙 도출 및 \(a_{20}, b_m\) 산출]
\(n = 1\)을 원래 식에 대입하면 \(a_2 = 1 \times 1 = 1\)이다. \(a_{n+1} + a_n = n\) (\(n \ge 2\))에서 \(a_3 = 2 - a_2 = 1\), \(a_4 = 3 - a_3 = 2\), \(a_5 = 4 - a_4 = 2, \dots\)이므로 모든 자연수 \(m\)에 대하여 \(a_{2m} = m\), \(a_{2m+1} = m\)이다. 따라서 \(a_{20} = 10\)이고 \(b_m = a_{2m} + a_{2m+1} = 2m\)이다.

[3단계: 부분분수 망원급수의 합 계산]
\(b_m = 2m\)을 대입하면 \(\sum_{m=1}^{10} \dfrac{4}{b_m b_{m+1}} = \sum_{m=1}^{10} \dfrac{4}{2m(2m + 2)} = \sum_{m=1}^{10} \left(\dfrac{1}{m} - \dfrac{1}{m + 1}\right) = 1 - \dfrac{1}{11} = \dfrac{10}{11}\)이다.

단계별 채점 기준 (Partial Credit Rubric)	배점 (15점)
\(a_{n+1} + a_n = \sum_{k=1}^n (-1)^{n-k}(2k-1) = n\) 차분 관계 유도	6점
\(a_{2m} = a_{2m+1} = m\)으로부터 \(a_{20} = 10\) 및 \(b_m = 2m\) 도출	5점
부분분수 분해로 \(\sum_{m=1}^{10} \dfrac{4}{b_m b_{m+1}} = \dfrac{10}{11}\) 최종 도출	4점

🏛️ 2027 가천대 의예과 수리논술 모의고사 제3회 (5/8) 퀘스티오(Questio) · 대표 강원호 · 사업자등록번호 551-09-03449 | JAR Engine Verified

📘 미적분 🎯 초월함수 \((x^2+ax+b)e^{-x}\)의 절댓값 미분가능성과 두 변곡점에서의 접선 기울기 곱 ⏱️ 권장 11분 | 배점 15점

[출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅱ-1 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 (교과서 59쪽) 유제 22 미분가능성 / Ⅱ-2 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.39 (교과서 88쪽) 유제 22 극대와 극소 및 미적분Ⅱ 변곡점 심화 | 성취기준: [12미적Ⅰ-02-03], [12미적Ⅰ-02-07], [12미적Ⅱ-02-01]]

📝 [제3회 문항 6] 배점: 15점

두 상수 \(a, b\)에 대하여 함수 \(f(x) = (x^2 + ax + b)e^{-x}\)이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 \(|f(x)|\)는 실수 전체의 집합에서 미분가능하고, 방정식 \(f(x) = 0\)은 실근을 갖는다.
(나) 곡선 \(y = f(x)\)의 두 변곡점의 \(x\)좌표의 합이 \(6\)이다.

상수 \(a, b\)의 값과 곡선 \(y = f(x)\)의 두 변곡점의 \(x\)좌표 \(\alpha, \beta\)에 대하여 \(f'(\alpha)f'(\beta)\)의 값을 각각 구하는 과정을 서술하시오.

💡 [제3회 문항 6] 정답 및 3단계 상세 해설 · 채점 기준표 (클릭하여 토글) 풀이 숨김 (클릭하여 보기) ▼

✅ 최종 정답: \(a = -2,\; b = 1,\; f'(\alpha)f'(\beta) = -\dfrac{4}{e^6}\)

[1단계: 절댓값 함수의 미분가능성 조건으로부터 완전제곱 인자 도출]
\(e^{-x} > 0\)이므로 \(|f(x)| = |x^2 + ax + b|e^{-x}\)가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 \(f(x) = 0\)이 실근을 가지려면 이차방정식 \(x^2 + ax + b = 0\)이 중근 \(x = r\)을 가져야 한다. 따라서 \(f(x) = (x - r)^2 e^{-x}\)이다.

[2단계: 이계도함수와 변곡점의 \(x\)좌표 합을 통한 \(r, a, b\) 결정]
\(f'(x) = (x - r)(2 - x + r)e^{-x}\)이고 \(f''(x) = \{(x - r)^2 - 4(x - r) + 2\}e^{-x}\)이다. \(u = x - r\)이라 하면 \(u^2 - 4u + 2 = 0\)의 두 실근 \(u_1, u_2\)에 대하여 \(u_1 + u_2 = 4\)이므로 두 변곡점의 \(x\)좌표의 합은 \(\alpha + \beta = (u_1 + r) + (u_2 + r) = 2r + 4 = 6\)에서 \(r = 1\)이다. 따라서 \(x^2 + ax + b = (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1\)이므로 \(a = -2, b = 1\)이다.

[3단계: 두 변곡점에서의 접선 기울기의 곱 \(f'(\alpha)f'(\beta)\) 계산]
\(u_1 = \alpha - 1, u_2 = \beta - 1\)에 대하여 \(u_1 + u_2 = 4, u_1 u_2 = 2\)이고 \(\alpha + \beta = 6\)이다. 따라서 \(f'(\alpha)f'(\beta) = u_1(2 - u_1)u_2(2 - u_2)e^{-(\alpha+\beta)} = u_1 u_2 \{4 - 2(u_1+u_2) + u_1 u_2\}e^{-6} = 2(4 - 8 + 2)e^{-6} = -\dfrac{4}{e^6}\)이다.

단계별 채점 기준 (Partial Credit Rubric)	배점 (15점)
\(\|f(x)\|\) 미분가능성으로부터 \(f(x) = (x-r)^2 e^{-x}\) 도출	4점
\(f''(x) = 0\)의 근과 계수의 관계로 \(r = 1\) 및 \(a = -2,\; b = 1\) 도출	6점
\(f'(\alpha)f'(\beta) = -\dfrac{4}{e^6}\) 최종 도출	5점

🏛️ 2027 가천대 의예과 수리논술 모의고사 제3회 (6/8) 퀘스티오(Questio) · 대표 강원호 · 사업자등록번호 551-09-03449 | JAR Engine Verified

📘 미적분 · 수학Ⅰ 🎯 비선형 뉴턴-랩슨형 점화식의 쌍곡분수 변환과 무한급수의 망원 소거 ⏱️ 권장 12분 | 배점 15점

[출처: 미래엔(황선욱) 대수 Ⅲ-3 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 (교과서 156쪽) 유제 22 수열의 귀납적 정의 및 미적분Ⅱ 급수의 수렴과 합 심화 | 성취기준: [12대수03-06], [12미적Ⅱ-01-04]]

📝 [제3회 문항 7] 배점: 15점

첫째항이 \(a_1 = 3\)인 수열 \(\{a_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \[ a_{n+1} = \dfrac{a_n^2 + 4}{2a_n} \] 을 만족시킨다. 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(b_n = \dfrac{a_n - 2}{a_n + 2}\)이라 할 때, 수열 \(\{b_n\}\)의 일반항을 구하고, 이를 이용하여 무한급수 \[ \sum_{n=1}^{\infty} 2^{n-1}\dfrac{a_n - 2}{a_n} \] 의 합을 구하는 과정을 서술하시오.

💡 [제3회 문항 7] 정답 및 3단계 상세 해설 · 채점 기준표 (클릭하여 토글) 풀이 숨김 (클릭하여 보기) ▼

✅ 최종 정답: \(b_n = \left(\dfrac{1}{5}\right)^{2^{n-1}},\; \sum_{n=1}^{\infty} 2^{n-1}\dfrac{a_n - 2}{a_n} = \dfrac{1}{2}\)

[1단계: 수열 \(\{b_n\}\)의 제곱 점화관계 및 일반항 유도]
\(b_1 = \dfrac{a_1 - 2}{a_1 + 2} = \dfrac{3 - 2}{3 + 2} = \dfrac{1}{5}\)이고, \(b_{n+1} = \dfrac{\frac{a_n^2+4}{2a_n} - 2}{\frac{a_n^2+4}{2a_n} + 2} = \dfrac{(a_n - 2)^2}{(a_n + 2)^2} = (b_n)^2\)이다. 따라서 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(b_n = (b_1)^{2^{n-1}} = \left(\dfrac{1}{5}\right)^{2^{n-1}}\)이며, \(n \to \infty\)일 때 \(2^n b_n \to 0\)과 \(2^n(a_n - 2) \to 0\)이 성립한다.

[2단계: 점화식 변형을 통한 망원 소거 항등식 유도]
\(a_{n+1} - 2 = \dfrac{(a_n - 2)^2}{2a_n} = \dfrac{a_n - 2}{2} \cdot \dfrac{a_n - 2}{a_n} = \dfrac{a_n - 2}{2}\left(1 - \dfrac{2}{a_n}\right)\)을 정리하거나 직접 \(a_{n+1} - 2 = \dfrac{a_n - 2}{2} - \dfrac{a_n - 2}{a_n}\)으로 변형하면 \(\dfrac{a_n - 2}{a_n} = \dfrac{a_n - 2}{2} - (a_{n+1} - 2)\)이다. 양변에 \(2^{n-1}\)을 곱하면 \(2^{n-1}\dfrac{a_n - 2}{a_n} = 2^{n-2}(a_n - 2) - 2^{n-1}(a_{n+1} - 2)\)이다.

[3단계: 부분합의 극한을 통한 무한급수의 합 도출]
제\(N\)항까지의 부분합은 \(\sum_{n=1}^{N} 2^{n-1}\dfrac{a_n - 2}{a_n} = \dfrac{1}{2}(a_1 - 2) - 2^{N-1}(a_{N+1} - 2)\)이다. \(a_{N+1} - 2 = \dfrac{4b_{N+1}}{1 - b_{N+1}}\)이고 \(\lim_{N \to \infty} 2^{N-1} \left(\dfrac{1}{5}\right)^{2^N} = 0\)이므로, 구하는 급수의 합은 \(\dfrac{1}{2}(3 - 2) = \dfrac{1}{2}\)이다.

단계별 채점 기준 (Partial Credit Rubric)	배점 (15점)
\(b_{n+1} = b_n^2\) 증명 및 일반항 \(b_n = \left(\dfrac{1}{5}\right)^{2^{n-1}}\) 도출	5점
망원 항등식 \(2^{n-1}\dfrac{a_n-2}{a_n} = 2^{n-2}(a_n-2) - 2^{n-1}(a_{n+1}-2)\) 유도	6점
\(\lim_{N\to\infty} 2^{N-1}(a_{N+1}-2) = 0\)을 보인 뒤 급수의 합 \(\dfrac{1}{2}\) 최종 도출	4점

🏛️ 2027 가천대 의예과 수리논술 모의고사 제3회 (7/8) 퀘스티오(Questio) · 대표 강원호 · 사업자등록번호 551-09-03449 | JAR Engine Verified

📘 수학Ⅱ (미적분Ⅰ) 🎯 역함수가 존재하는 삼차함수의 접선 \(y\)절편 함수와 합성 함숫값 ⏱️ 권장 11분 | 배점 15점

[출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅱ-2 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.25 (교과서 74쪽) 유제 22 접선의 방정식, PDF p.39 (교과서 88쪽) 유제 22 극대와 극소 심화 | 성취기준: [12미적Ⅰ-02-05], [12미적Ⅰ-02-07]]

📝 [제3회 문항 8] 배점: 15점

최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 \(f(x)\)의 역함수가 존재하고, 도함수 \(f'(x)\)는 \(x = 2\)에서 최솟값을 갖는다.
(나) 실수 \(t\)에 대하여 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((t, f(t))\)에서의 접선의 \(y\)절편을 \(h(t)\)라 할 때, \(h(2) = 3\)이다.
(다) \(f\big(f'(3)\big) = 15\)

이때 \(h(3) - h(0)\)의 값과 \(f(5)\)의 값을 각각 구하는 과정을 서술하시오.

💡 [제3회 문항 8] 정답 및 3단계 상세 해설 · 채점 기준표 (클릭하여 토글) 풀이 숨김 (클릭하여 보기) ▼

✅ 최종 정답: \(h(3) - h(0) = 0,\; f(5) = 35\)

[1단계: 접선 \(y\)절편 함수 \(h(t)\)의 도함수 분석 및 \(h(3) - h(0)\) 계산]
조건 (가)에 의해 \(f(x) = (x - 2)^3 + k(x - 2) + m\) (\(k = f'(2) \ge 0\))으로 놓을 수 있다. 점 \((t, f(t))\)에서의 접선 \(y = f'(t)(x - t) + f(t)\)의 \(y\)절편은 \(h(t) = f(t) - tf'(t)\)이므로 미분하면 \(h'(t) = -tf''(t) = -6t(t - 2)\)이다. 따라서 \(h(3) - h(0) = \displaystyle\int_{0}^{3} (-6t^2 + 12t)\,dt = \big[-2t^3 + 6t^2\big]_{0}^{3} = -54 + 54 = 0\)이다.

[2단계: 조건 (나)를 이용한 상수 \(k, m\)의 관계식 도출]
\(h(0) = f(0) = -8 - 2k + m\)이고, \(h(2) - h(0) = \displaystyle\int_{0}^{2} (-6t^2 + 12t)\,dt = \big[-2t^3 + 6t^2\big]_{0}^{2} = 8\)이므로 \(h(0) = h(2) - 8 = 3 - 8 = -5\)이다. 따라서 \(-8 - 2k + m = -5 \implies m = 2k + 3\)이다.

[3단계: 조건 (다)로부터 \(k, m\) 결정 및 \(f(5)\) 계산]
\(f'(3) = 3(3 - 2)^2 + k = k + 3\)이므로 조건 (다)에서 \(f(k + 3) = (k + 1)^3 + k(k + 1) + 2k + 3 = 15\)이다. \(k \ge 0\)에서 좌변은 단조증가하고 \(k = 1\)일 때 \(2^3 + 1(2) + 5 = 15\)이므로 \(k = 1, m = 5\)이다. 따라서 \(f(x) = (x - 2)^3 + (x - 2) + 5\)이고 \(f(5) = 27 + 3 + 5 = 35\)이다.

단계별 채점 기준 (Partial Credit Rubric)	배점 (15점)
\(h'(t) = -tf''(t) = -6t(t-2)\)를 유도하여 \(h(3) - h(0) = 0\) 및 \(h(0) = -5\) 도출	5점
\(f(0) = -8 - 2k + m = -5\)로부터 \(m = 2k + 3\) 유도	4점
\(f(f'(3)) = 15\)를 풀어 \(k = 1, m = 5\) 및 \(f(5) = 35\) 최종 도출	6점

🏛️ 2027 가천대 의예과 수리논술 모의고사 제3회 (8/8) 퀘스티오(Questio) · 대표 강원호 · 사업자등록번호 551-09-03449 | JAR Engine Verified