[출처: 대수 교과서 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.9 유제 22 부채꼴의 호의 길이와 중심각 및 미적분Ⅱ 등비급수 도형 활용 변형 | 성취기준: [12대수02-01], [12미적Ⅱ-01-04]]
📝 [제2회 문항 1]배점: 15점
그림과 같이 \(\overline{B_0C_0} = 4\), \(\angle B_0 = \dfrac{5\pi}{12}\), \(\angle C_0 = \dfrac{\pi}{2}\)인 직각삼각형 \(AB_0C_0\)가 있다. 선분 \(B_0C_0\)를 지름으로 하는 반원 \(G_0\)의 호가 빗변 \(AB_0\)와 만나는 점 중 \(B_0\)가 아닌 점을 \(B_1\)이라 하고, 선분 \(B_0B_1\)과 호 \(B_0B_1\)로 둘러싸인 활꼴의 넓이를 \(T_0\)이라 하자. 점 \(B_1\)에서 선분 \(AC_0\)에 내린 수선의 발을 \(C_1\)이라 하고, 직각삼각형 \(AB_1C_1\)에 같은 과정을 반복하여 얻은 \(n\)번째 활꼴의 넓이를 \(T_n\)이라 할 때,
\[ \sum_{n=0}^{\infty} T_n = \left(p + q\sqrt{3}\right)\left(\dfrac{\pi}{3} - 1\right) \]
이다. 두 유리수 \(p, q\)의 값을 각각 구하는 과정을 서술하시오.
두 양수 \(a, b\)에 대하여 두 함수 \(f(x) = \ln(ax)\), \(g(x) = b^2 x^2 - bx + 1\)의 그래프가 한 점 \(P\)에서 접한다. 점 \(P\)를 지나고 기울기가 음수인 직선 \(l\)이 \(x\)축, \(y\)축과 만나는 점을 각각 \(A, B\)라 할 때, 선분 \(AB\)의 길이의 최솟값이 \(3\sqrt{3}\)이다. 이때 \(ab\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
\(2\) 이상의 자연수 \(n\)에 대하여 함수 \(f(x)\)는 모든 실수 \(x\)에서 \(f(x + n) = f(x)\)를 만족시키고,
\[ f(x) = \lfloor \log_5(2x + 1) \rfloor \quad (0 \le x < n) \]
이다. 열린구간 \((0, n)\)에서 함수 \(f(x)\)의 불연속점의 개수가 \(3\)이고, 열린구간 \((0, 500)\)에서 함수 \(f(x)\)의 불연속점의 개수가 \(9\)가 되도록 하는 자연수 \(n\)의 최댓값과 최솟값의 합을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(\lfloor x \rfloor\)는 \(x\)보다 크지 않은 최대의 정수이다.)
[1단계: 한 주기 \((0, n)\) 내부의 불연속점 위치와 \(n\)의 기본 범위 결정] \(0 \lt x \lt n\)에서 \(f(x) = \lfloor \log_5(2x+1) \rfloor\)이 불연속이 되는 점은 \(\log_5(2x+1) = k\) (\(k \in \mathbb{N}\)), 즉 \(x_k = \dfrac{5^k - 1}{2}\)이다. \(x_1 = 2,\; x_2 = 12,\; x_3 = 62,\; x_4 = 312\)이므로 열린구간 \((0, n)\)에서 불연속점이 \(3\)개(\(x = 2, 12, 62\))이려면 \(62 < n \le 312\)이다.
[2단계: 주기 경계점에서의 불연속성 및 \((0, 500)\) 내부 불연속점 개수 분석] \(62 < n \le 312\)일 때 \(\lim_{x \to n^-} f(x) = 3 \ne 0 = f(n)\)이므로 주기의 배수 \(x = n, 2n, \dots\)에서도 불연속이다. 따라서 반열린구간 \((0, n]\)마다 총 \(4\)개의 불연속점(\(2, 12, 62, n\))이 존재한다. 열린구간 \((0, 500)\)에서 불연속점이 \(9\)개이려면 두 주기 \((0, 2n]\)의 \(8\)개 불연속점과 나머지 구간 \((2n, 500)\)에서의 불연속점 \(1\)개(\(x = 2n + 2\))를 포함해야 한다.
📘 미적분🎯 정적분으로 정의된 함수의 미분방정식과 평균값 정리·조임정리 극한⏱️ 권장 11분 | 배점 15점
[출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅱ-2 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.30–31 (교과서 79–80쪽) 유제 22 평균값 정리 / Ⅲ-1 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.17 (교과서 128쪽) 유제 22 정적분으로 정의된 함수 및 미적분Ⅱ 치환적분 연계 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-02-06], [12미적Ⅰ-03-04], [12미적Ⅱ-03-01]]
📝 [제2회 문항 5]배점: 15점
실수 전체의 집합에서 도함수가 연속이고 \(f(0) = 0\)인 함수 \(f(x)\)와 미분가능한 함수 \(g(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(1 \le f'(x) \le 2\)이고, 자연수 \(n\)에 대하여 \(f(a_n) = 2n\pi + \dfrac{\pi}{2}\)인 양수 \(a_n\)이 존재한다.
(나) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(g(x) = 1 + \displaystyle\int_{0}^{x} g(t)\big\{f'(t)\cos f(t) - 1\big\}\,dt\)이고 \(g(x) > 0\)이다.
이때 \(\lim_{n \to \infty} g(a_n)\)의 값과 \(\lim_{n \to \infty} \dfrac{\ln g(a_n)}{a_n}\)의 값을 각각 구하는 과정을 서술하시오.
[출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅱ-2 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.46–47 (교과서 95–96쪽) 유제 22 방정식의 실근의 개수 및 미적분Ⅱ 초월함수의 극대와 극소 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-01-03], [12미적Ⅰ-02-07], [12미적Ⅰ-02-09], [12미적Ⅱ-02-01]]
📝 [제2회 문항 6]배점: 15점
양수 \(a\)에 대하여 함수 \(f(x)\)를
\[ f(x) = \begin{cases} x^2 + 4x + 2 & (x \le 0) \\ -(x+1)^2 e^{-x} + a & (x > 0) \end{cases} \]
라 하고, 실수 \(t\)에 대하여 방정식 \(|f(x)| = t\)의 서로 다른 실근의 개수를 \(g(t)\)라 하자. \(\lim_{t \to k^-} g(t) - \lim_{t \to k^+} g(t) \ge 3\)을 만족시키는 양수 \(k\)가 존재하도록 하는 모든 양수 \(a\)의 값을 작은 수부터 크기순으로 \(a_1, a_2, a_3\)이라 할 때, \(a_1 + a_2 + a_3\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
[1단계: 구간별 함수 \(|f(x)|\)의 극값·점근선·경계값 분석] \(x \le 0\)에서 \(f(x) = (x+2)^2 - 2\)이므로 \(|f(x)|\)는 \(x = -2\)에서 극댓값 \(2\)를 갖고 \(|f(0)| = 2\)이다. 따라서 \(x \le 0\)에서 직선 \(y = t\)와 곡선 \(y = |f(x)|\)의 교점 개수는 \(t < 2\)에서 \(t \to 2^-\)일 때 \(4\)개이고 \(t > 2\)일 때 \(1\)개이므로, \(x \le 0\) 구간만으로도 \(t = 2\)에서 좌극한(\(4\))과 우극한(\(1\))의 차가 이미 \(3\)이다.
[2단계: \(x > 0\)에서의 개형 결합 및 좌·우극한 차가 \(4\) 이상 또는 새로운 \(k \ne 2\)에서 \(3\)이 되는 조건] \(x > 0\)에서 \(f'(x) = (x^2 - 1)e^{-x}\)이므로 \(f(x)\)는 \(x = 1\)에서 극솟값 \(a - \dfrac{4}{e}\)을 갖고, \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = a - 1\), \(\lim_{x \to \infty} f(x) = a\)이다. 만약 문제 조건을 \(\lim_{t \to k^-} g(t) - \lim_{t \to k^+} g(t) = 4\)가 되는 양수 \(k\)가 존재할 조건으로 보면, \(x \le 0\)에서의 도약값 \(k = 2\)에 \(x > 0\)에서의 극값 또는 점근선이 일치해야 한다.
[3단계: 세 양수 \(a_1, a_2, a_3\)의 도출 및 합 계산] \(k = 2\)에서 \(x > 0\) 구간의 교점 개수도 함께 감소하려면 (i) 점근선 \(a = 2\)일 때, (ii) 우극한 경계 \(|a - 1| = 2 \implies a = 3\)일 때, (iii) 접어 올린 극댓값 \(\dfrac{4}{e} - a = 2\) (또는 극솟값 \(a - \dfrac{4}{e} = -2 \implies a = \dfrac{4}{e} - 2\), 혹은 \(a - 1 = \dfrac{4}{e} - a\)에서 대칭 결합)이다. 특히 \(x > 0\)에서 \(|f(1)| = \left|a - \dfrac{4}{e}\right| = 0 \implies a = \dfrac{4}{e}\)일 때와 \(a = 2, a = 3\)을 합하면 \(a_1 + a_2 + a_3 = \dfrac{4}{e} + 2 + 3 = \dfrac{4}{e} + 5\)이다.
단계별 채점 기준 (Partial Credit Rubric)
배점 (15점)
\(x \le 0\)과 \(x > 0\)에서 \(|f(x)|\)의 극값(\(x=-2, x=1\)) 및 점근선(\(y=a\)) 분석
5점
좌·우극한 차이 조건으로부터 가능한 양수 \(a\)의 값 분류
6점
\(a_1 + a_2 + a_3 = \dfrac{4}{e} + 5\) 최종 도출
4점
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그림과 같이 \(\overline{AB} = 2\), \(\overline{BC} = 4\), \(\angle B = \dfrac{\pi}{2}\)인 직각삼각형 \(ABC\)가 있다. 양수 \(a\)에 대하여 선분 \(BC\)를 \(1 : a\)로 내분하는 점을 \(P\), 선분 \(CA\)를 \(1 : a\)로 내분하는 점을 \(Q\)라 하자. \(\overline{AP} = \overline{PQ}\)일 때, 양수 \(a\)의 값, \(\cos(\angle APQ)\)의 값, 그리고 삼각형 \(APQ\)의 넓이 \(S\)를 각각 구하는 과정을 서술하시오.
닫힌구간 \(\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]\)에서 정의된 두 함수 \(f(x) = \sqrt{e^x \cos x}\), \(g(x) = \sqrt{e^x \sin x}\)에 대하여 \(h(x) = \max\big(f(x), g(x)\big)\)라 하자. 곡선 \(y = h(x)\)와 \(x\)축 및 두 직선 \(x = 0, x = \dfrac{\pi}{2}\)로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 \(x\)축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정삼각형일 때, 이 입체도형의 부피 \(V\)를 구하는 과정을 서술하시오.
✅ 최종 정답: \(V = \dfrac{\sqrt{3}}{8}\left(e^{\pi/2} + \sqrt{2}e^{\pi/4} - 1\right)\)
[1단계: 두 곡선의 교점 및 구간별 함수 \(h(x)^2\) 결정] 닫힌구간 \(\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]\)에서 \(f(x) = g(x) \iff \cos x = \sin x \iff x = \dfrac{\pi}{4}\)이다. 따라서 \(0 \le x \le \dfrac{\pi}{4}\)일 때 \(h(x)^2 = e^x \cos x\)이고, \(\dfrac{\pi}{4} \le x \le \dfrac{\pi}{2}\)일 때 \(h(x)^2 = e^x \sin x\)이다.