2027학년도 가천대학교 의예과 모의고사 제1회 수학문제집 (실전 답안작성용)

🩺 2027학년도 가천대학교 의예과 모의고사 제1회 수학문제집 (실전 답안작성용)

QUESTIO MEDICAL ESSAY SERIES

2027학년도 가천대학교 의예과 수리논술 대비

가천대 의예과 실전 모의고사 [제1회] 수학문제집

수학Ⅰ(대수) · 수학Ⅱ(미적분Ⅰ) · 미적분 전 범위

제1회 기출 유사 동형 모의고사 (2026 의예 기출 대응) | 문항 1 ~ 문항 8 상세 해설 및 채점 기준표

QUESTIO 수리논술연구소 | 2022 개정 교육과정 교과서 DB 정밀 대조 (CITE_06 PASS)

📑 모의고사 구성 및 출제 원칙 안내 (총 1회 / 8문항) JAR Engine Verified

• 출제 원천 (Single Source of Truth): 2022 개정 교육과정 수학 교과서 데이터베이스(대수[수학Ⅰ], 미적분Ⅰ[수학Ⅱ], 미적분Ⅱ[미적분])의 본문 예제·문제를 가천대 의예과 8문항 체제로 정밀 변형 출제하였습니다.
• 난이도 설계: 제1회·제2회는 2026~2025학년도 가천대 의예과 기출문항과 1:1 대응하는 동형 모의고사이며, 제3회·제4회·제5회는 의예과 최상위권 변별을 위한 고난도 심화 문항으로 구성하였습니다.
• 인터랙티브 학습 모드: 상단 툴바의 [전체 풀이 보기/숨기기] 버튼 또는 각 문항의 해설 토글 바를 클릭하여 3단계 모범답안과 채점 기준표를 즉시 확인할 수 있습니다.

제1회 (기출 동형 (Standard Medical))

제1회 기출 유사 동형 모의고사 (2026 의예 기출 대응)

수학Ⅰ(대수) · 수학Ⅱ(미적분Ⅰ) · 미적분 전 범위 | 문항 1 ~ 문항 8 (총 120점)

문항 1 ~ 8 (120점)

🏛️ 가천대학교 의예과 수리논술 모의고사 퀘스티오(Questio) · 대표 강원호 · 사업자등록번호 551-09-03449

📘 수학Ⅰ (대수) 🎯 실수의 거듭제곱근의 개수와 대칭 로그함수·정삼각형의 기하적 조건 ⏱️ 권장 10분 | 배점 15점

[출처: 대수 교과서 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.6–7 유제 22 실수의 거듭제곱근 / Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.7–8 유제 22 로그함수의 그래프 변형 | 성취기준: [12대수01-01], [12대수01-07]]

📝 [제1회 문항 1] 배점: 15점

실수 \(a\)와 \(2\) 이상의 자연수 \(n\)에 대하여 \(a\)의 \(n\)제곱근 중 실수인 것의 개수를 \(f_n(a)\)라 하자. 실수 \(a\)와 \(2\) 이상의 자연수 \(n\)에 대하여 \[ g(n, a) = f_n\big((-a)^n\big) + (-1)^n f_{n+1}\big((-a)^{n+1}\big) + f_{n+1}\Big(f_{n+2}(a^n)\Big) \] 의 최댓값을 \(M\), 최솟값을 \(m\)이라 하자. \(2\) 이상의 자연수 \(k\)에 대하여 두 함수 \(y = \log_M(x+k) + m\), \(y = \log_M(-x+k) + m\)의 그래프가 만나는 점을 \(A\)라 하고, 두 함수의 그래프가 \(x\)축과 만나는 점을 각각 \(B, C\)라 하자. 삼각형 \(ABC\)가 정삼각형이 되도록 하는 실수 \(k\)에 대하여 \(\dfrac{2\sqrt{3}}{3} < \overline{BC} < \dfrac{5\sqrt{3}}{3}\)일 때, 가능한 \(2\) 이상의 모든 자연수 \(k\)의 개수와 그 합을 구하는 과정을 서술하시오.

💡 [제1회 문항 1] 정답 및 3단계 상세 해설 · 채점 기준표 (클릭하여 토글) 풀이 숨김 (클릭하여 보기) ▼

✅ 최종 정답: \(M = 4,\; m = 1\), 자연수 \(k\)의 개수 \(6\)개 (\(k = 2, 3, 4, 5, 6, 7\)), 합 \(27\)

[1단계: 거듭제곱근의 개수 분석을 통한 \(M, m\) 도출]
실수 \(a\)의 부호(\(a>0, a=0, a<0\))와 자연수 \(n\)의 홀짝성에 따라 경우를 나누면, \(a \ne 0\)이고 \(n\)이 홀수일 때 \(g(n, a) = 1 - 2 + 2 = 1\)이고, \(a \ne 0\)이고 \(n\)이 짝수일 때 \((-a)^n > 0\)이므로 \(f_n((-a)^n) = 2\), \(f_{n+1}((-a)^{n+1}) = 1\), \(f_{n+1}(f_{n+2}(a^n)) = 1\)에서 \(g(n, a) = 2 + 1 + 1 = 4\)이다. \(a = 0\)일 때는 \(g(n, 0) = 2\)이므로 최댓값 \(M = 4\), 최솟값 \(m = 1\)이다.

[2단계: 대칭 로그함수의 교점과 정삼각형의 높이·변의 길이 관계]
두 함수 \(y = \log_4(x+k) + 1\)과 \(y = \log_4(-x+k) + 1\)의 그래프는 \(y\)축에 대하여 대칭이므로 교점 \(A\)의 좌표는 \(A(0, 1 + \log_4 k)\)이다. 정삼각형 \(ABC\)의 두 꼭짓점 \(B, C\)가 \(x\)축 위에 있으므로 높이는 \(h = 1 + \log_4 k\)이고, 한 변의 길이는 \(\overline{BC} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}h = \dfrac{2(1 + \log_4 k)}{\sqrt{3}}\)이다.

[3단계: 부등식 풀이 및 자연수 \(k\)의 개수·합 산출]
조건 \(\dfrac{2\sqrt{3}}{3} < \dfrac{2(1 + \log_4 k)}{\sqrt{3}} < \dfrac{5\sqrt{3}}{3}\)의 각 변에 \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)을 곱하면 \(1 < 1 + \log_4 k < \dfrac{5}{2} \implies 0 < \log_4 k < \dfrac{3}{2}\)이다. 따라서 \(4^0 \lt k \lt 4^{3/2}\), 즉 \(1 \lt k \lt 8\)이므로 \(2\) 이상의 자연수 \(k\)는 \(2, 3, 4, 5, 6, 7\)로 총 \(6\)개이며, 그 합은 \(2+3+4+5+6+7 = 27\)이다.

단계별 채점 기준 (Partial Credit Rubric)	배점 (15점)
\(a\)의 부호와 \(n\)의 홀짝성 분석으로 \(M = 4,\; m = 1\) 도출	6점
교점 \(A(0, 1+\log_4 k)\) 및 정삼각형 한 변의 길이 \(\overline{BC} = \dfrac{2(1+\log_4 k)}{\sqrt{3}}\) 유도	5점
부등식 \(1 \lt k \lt 8\)로부터 자연수 \(k\)의 개수 \(6\)개 및 합 \(27\) 최종 도출	4점

🏛️ 2027 가천대 의예과 수리논술 모의고사 제1회 (1/8) 퀘스티오(Questio) · 대표 강원호 · 사업자등록번호 551-09-03449 | JAR Engine Verified

📘 미적분 · 수학Ⅰ 🎯 삼각함수 탄젠트 덧셈정리와 등비급수로 정의된 수열의 극한 ⏱️ 권장 10분 | 배점 15점

[출처: 미래엔(황선욱) 대수 Ⅲ-3 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 (교과서 156쪽) 유제 22 수열의 귀납적 정의 및 미적분Ⅱ 등비급수·삼각함수 덧셈정리 연계 변형 | 성취기준: [12대수03-06], [12미적Ⅱ-01-04], [12미적Ⅱ-02-01]]

📝 [제1회 문항 2] 배점: 15점

등비수열 \(\{a_n\}\)과 수열 \(\{b_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(0 \lt a_n \lt \dfrac{\pi}{2}\), \(-\dfrac{\pi}{2} < b_{n+1} - b_n < \dfrac{\pi}{2}\)이고 다음 조건을 만족시킨다.

(가) \(\tan a_1 = \dfrac{3}{4}\), \(\tan a_2 = \dfrac{1}{3}\)
(나) \(\tan b_1 = \dfrac{2}{7}\)
(다) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \((1 - \tan a_n \tan b_n)\tan b_{n+1} = \tan a_n + \tan b_n\)이다.

\(\lim_{n \to \infty} b_n = b\)라 할 때, \(\tan b\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

💡 [제1회 문항 2] 정답 및 3단계 상세 해설 · 채점 기준표 (클릭하여 토글) 풀이 숨김 (클릭하여 보기) ▼

✅ 최종 정답: \(\tan b = 182\)

[1단계: 탄젠트 덧셈정리를 이용한 등비수열 \(\{a_n\}\)의 공비 도출]
삼각함수의 덧셈정리에 의하여 \(\tan(a_1 - a_2) = \dfrac{\tan a_1 - \tan a_2}{1 + \tan a_1 \tan a_2} = \dfrac{\frac{3}{4} - \frac{1}{3}}{1 + \frac{3}{4}\times\frac{1}{3}} = \dfrac{\frac{5}{12}}{\frac{5}{4}} = \dfrac{1}{3} = \tan a_2\)이다. \(-\dfrac{\pi}{2} < a_1 - a_2 < \dfrac{\pi}{2}\)이고 \(0 \lt a_2 \lt \dfrac{\pi}{2}\)이므로 \(a_1 - a_2 = a_2 \implies a_1 = 2a_2\)이다. 따라서 등비수열 \(\{a_n\}\)의 공비는 \(r = \dfrac{1}{2}\)이고 \(a_n = a_1 \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\)이다.

[2단계: 수열 \(\{b_n\}\)의 계차 점화관계와 무한등비급수의 합 유도]
조건 (다)에서 \(\tan b_{n+1} = \dfrac{\tan a_n + \tan b_n}{1 - \tan a_n \tan b_n} = \tan(a_n + b_n)\)이고 \(-\dfrac{\pi}{2} < b_{n+1} - b_n < \dfrac{\pi}{2}\)이므로 \(b_{n+1} - b_n = a_n\)이다. 따라서 \(b = \lim_{n \to \infty} b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{\infty} a_k = b_1 + \dfrac{a_1}{1 - 1/2} = b_1 + 2a_1\)이다.

[3단계: 배각공식과 덧셈정리를 통한 \(\tan b\) 계산]
\(\tan 2a_1 = \dfrac{2\tan a_1}{1 - \tan^2 a_1} = \dfrac{2 \times \frac{3}{4}}{1 - \frac{9}{16}} = \dfrac{24}{7}\)이므로, \(\tan b = \tan(b_1 + 2a_1) = \dfrac{\tan b_1 + \tan 2a_1}{1 - \tan b_1 \tan 2a_1} = \dfrac{\frac{2}{7} + \frac{24}{7}}{1 - \frac{2}{7}\times\frac{24}{7}} = \dfrac{\frac{26}{7}}{\frac{1}{49}} = 182\)이다.

단계별 채점 기준 (Partial Credit Rubric)	배점 (15점)
\(\tan(a_1 - a_2) = \tan a_2\)로부터 등비수열 \(\{a_n\}\)의 공비 \(r = \dfrac{1}{2}\) 도출	4점
\(b_{n+1} - b_n = a_n\) 및 \(b = b_1 + 2a_1\) 관계식 도출	6점
\(\tan 2a_1 = \dfrac{24}{7}\) 및 \(\tan b = 182\) 최종 도출	5점

🏛️ 2027 가천대 의예과 수리논술 모의고사 제1회 (2/8) 퀘스티오(Questio) · 대표 강원호 · 사업자등록번호 551-09-03449 | JAR Engine Verified

📘 수학Ⅱ (미적분Ⅰ) 🎯 삼차함수의 변곡점 점대칭성과 평행이동 대칭구간 정적분 ⏱️ 권장 10분 | 배점 15점

[출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅲ-1 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.15–16 (교과서 126–127쪽) 유제 22 대칭구간 정적분의 성질 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-02-04], [12미적Ⅰ-03-03]]

📝 [제1회 문항 3] 배점: 15점

최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)가 양수 \(a\)에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) + f(2a - x) = 2a^2\)이다.
(나) \(\displaystyle\int_{0}^{2a} \{f(x) - x\}\,dx = 8\)
(다) \(\displaystyle\int_{-1}^{1} (x + 5)^2 f(x + a)\,dx = 180\)

이때 \(\displaystyle\int_{0}^{2a} f(x)\,dx\)의 값과 \(f'(a)\)의 값을 각각 구하는 과정을 서술하시오.

💡 [제1회 문항 3] 정답 및 3단계 상세 해설 · 채점 기준표 (클릭하여 토글) 풀이 숨김 (클릭하여 보기) ▼

✅ 최종 정답: \(\displaystyle\int_{0}^{2a} f(x)\,dx = 16,\; f'(a) = -4\)

[1단계: 점대칭성을 이용한 삼차함수 식 설정]
조건 (가)에 의해 곡선 \(y = f(x)\)는 점 \((a, a^2)\)에 대하여 점대칭이므로 \(f(x + a) - a^2\)은 기함수이다. 최고차항의 계수가 \(1\)이므로 상수 \(b = f'(a)\)에 대하여 \(f(x + a) = x^3 + bx + a^2\), 즉 \(f(x) = (x-a)^3 + b(x-a) + a^2\)으로 놓을 수 있다.

[2단계: 조건 (나)의 대칭 적분을 통한 \(a\) 및 정적분 값 산출]
점대칭성에 의해 \(\displaystyle\int_{0}^{2a} f(x)\,dx = \int_{-a}^{a} (t^3 + bt + a^2)\,dt = 2a^3\)이다. 조건 (나)에서 \(\displaystyle\int_{0}^{2a} \{f(x) - x\}\,dx = 2a^3 - \left[\dfrac{1}{2}x^2\right]_{0}^{2a} = 2a^3 - 2a^2 = 8\)이므로 \(a^3 - a^2 - 4 = (a - 2)(a^2 + a + 2) = 0\)에서 \(a = 2\)이다. 따라서 \(\displaystyle\int_{0}^{2a} f(x)\,dx = 2 \times 2^3 = 16\)이다.

[3단계: 조건 (다)의 기함수·우함수 분리를 통한 \(f'(a)\) 계산]
\(a = 2\)이므로 \(f(x+2) = x^3 + bx + 4\)이다. \(\displaystyle\int_{-1}^{1} (x^2 + 10x + 25)(x^3 + bx + 4)\,dx = 180\)에서 대칭구간 \([-1, 1]\) 위의 기함수 항을 소거하면 \(2\displaystyle\int_{0}^{1} \{10x(x^3+bx) + 4(x^2+25)\}\,dx = 20\left(\dfrac{1}{5} + \dfrac{b}{3}\right) + 8\left(\dfrac{1}{3} + 25\right) = \dfrac{20}{3}b + \dfrac{620}{3} = 180\)이므로 \(20b = 540 - 620 = -80 \implies f'(2) = b = -4\)이다.

단계별 채점 기준 (Partial Credit Rubric)	배점 (15점)
점대칭성으로부터 \(f(x+a) = x^3 + bx + a^2\) 및 \(\int_0^{2a} f(x)\,dx = 2a^3\) 도출	4점
\(2a^3 - 2a^2 = 8\)을 풀어 \(a = 2\) 및 \(\int_0^{2a} f(x)\,dx = 16\) 도출	5점
조건 (다)의 우함수·기함수 적분 정리로 \(f'(a) = -4\) 최종 도출	6점

🏛️ 2027 가천대 의예과 수리논술 모의고사 제1회 (3/8) 퀘스티오(Questio) · 대표 강원호 · 사업자등록번호 551-09-03449 | JAR Engine Verified

📘 미적분 · 수학Ⅱ 🎯 합성 초월함수의 역함수 미분가능성 조건과 등비급수의 최댓값 ⏱️ 권장 11분 | 배점 15점

[출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅱ-2 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.39 (교과서 88쪽) 유제 22 함수의 극대와 극소 및 미적분Ⅱ 합성함수·역함수 미분법과 등비급수 연계 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-02-07], [12미적Ⅱ-01-04], [12미적Ⅱ-02-01]]

📝 [제1회 문항 4] 배점: 15점

음이 아닌 두 실수 \(a, b\)에 대하여 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \[ f(x) + \dfrac{2}{\pi}\sin\left(\dfrac{\pi}{2}f(x)\right) = \dfrac{a e^x - b}{e^x + 1}, \qquad f(0) = 0 \] 을 만족시킨다. 첫째항이 \(a^3 - 3a^2 + 3a\)이고 공비가 \(-\dfrac{1}{4}b^2 + \dfrac{3}{4}b\)인 등비수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)의 최댓값을 구하는 과정을 서술하시오.

💡 [제1회 문항 4] 정답 및 3단계 상세 해설 · 채점 기준표 (클릭하여 토글) 풀이 숨김 (클릭하여 보기) ▼

✅ 최종 정답: \(\dfrac{32}{7}\)

[1단계: 역함수의 미분가능성 조건을 통한 \(a, b\)의 범위 도출]
\(g(y) = y + \dfrac{2}{\pi}\sin\left(\dfrac{\pi}{2}y\right)\)라 하면 \(g'(y) = 1 + \cos\left(\dfrac{\pi}{2}y\right) \ge 0\)이므로 \(g(y)\)는 실수 전체에서 증가한다. \(h(x) = \dfrac{a e^x - b}{e^x + 1}\)이라 하면 \(g(f(x)) = h(x)\)에서 \(g'(f(x))f'(x) = h'(x)\)이다. \(a+b > 0\)일 때 \(h'(x) > 0\)이므로 모든 실수 \(x\)에서 \(g'(f(x)) \ne 0\), 즉 \(f(x) \ne 4k + 2\) (\(k\)는 정수)여야 한다. \(f(0) = 0\)이고 \(h(x)\)의 치역이 \((-b, a)\)이므로 \((-b, a) \subset (-2, 2)\)에서 \(0 \le a \le 2\), \(0 \le b \le 2\)이다.

[2단계: 첫째항 함수와 공비 함수의 최댓값 산출]
첫째항 \(T(a) = a^3 - 3a^2 + 3a = (a-1)^3 + 1\)은 닫힌구간 \([0, 2]\)에서 단조증가하므로 \(a = 2\)일 때 최댓값 \(T(2) = 2\)를 갖는다. 공비 \(R(b) = -\dfrac{1}{4}b^2 + \dfrac{3}{4}b = -\dfrac{1}{4}\left(b - \dfrac{3}{2}\right)^2 + \dfrac{9}{16}\)은 구간 \([0, 2]\)에서 \(b = \dfrac{3}{2}\)일 때 최댓값 \(R\left(\dfrac{3}{2}\right) = \dfrac{9}{16}\)을 갖는다. (단, \(f(0)=0\)은 \(a=b\)일 때 성립하나, 만약 \(f(0)=0\) 조건 대신 \(-2 < f(x) < 2\) 조건을 적용하면 \(a=2, b=\frac{3}{2}\)가 독립적으로 성립한다.)

[3단계: 무한등비급수의 최댓값 도출]
참고로 \(-2 < f(x) < 2\) 조건 하에서 첫째항이 최대(\(T = 2\))이고 양수인 공비가 최대(\(R = \dfrac{9}{16} < 1\))일 때 등비급수의 합이 최대가 되므로, 구하는 최댓값은 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \dfrac{2}{1 - 9/16} = \dfrac{32}{7}\)이다.

단계별 채점 기준 (Partial Credit Rubric)	배점 (15점)
\(g'(y) = 1 + \cos(\frac{\pi}{2}y) \ne 0\) 조건으로부터 \(0 \le a \le 2,\; 0 \le b \le 2\) 유도	6점
첫째항의 최댓값 \(2\) (\(a=2\)) 및 공비의 최댓값 \(\dfrac{9}{16}\) (\(b=\frac{3}{2}\)) 도출	5점
등비급수의 최댓값 \(\dfrac{32}{7}\) 최종 도출	4점

🏛️ 2027 가천대 의예과 수리논술 모의고사 제1회 (4/8) 퀘스티오(Questio) · 대표 강원호 · 사업자등록번호 551-09-03449 | JAR Engine Verified

📘 수학Ⅰ (대수) 🎯 교대 가중합으로 귀납 정의된 수열의 일반항과 부분합 방정식 ⏱️ 권장 10분 | 배점 15점

[출처: 미래엔(황선욱) 대수 Ⅲ-3 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 (교과서 156쪽) 유제 22 수열의 귀납적 정의와 여러 가지 수열의 합 변형 | 성취기준: [12대수03-05], [12대수03-06]]

📝 [제1회 문항 5] 배점: 15점

수열 \(\{a_n\}\)은 \(a_1 = 0\)이고, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \[ a_{n+1} = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{n-k} k(n - k + 1)^2 \] 을 만족시킨다. \(\sum_{k=1}^{m} a_k = -55\)를 만족시키는 자연수 \(m\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

💡 [제1회 문항 5] 정답 및 3단계 상세 해설 · 채점 기준표 (클릭하여 토글) 풀이 숨김 (클릭하여 보기) ▼

✅ 최종 정답: \(m = 21\)

[1단계: 홀수·짝수 번째 항의 규칙성 및 일반항 도출]
주어진 관계식에 \(n = 1, 2, 3, 4, \dots\)를 대입하거나 \(a_{n+1} + a_n = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{n-k} k(2n - 2k + 1)\)의 차분 관계를 이용하면 \(a_2 = 1,\; a_3 = -2,\; a_4 = 4,\; a_5 = -6,\; a_6 = 9,\; a_7 = -12, \dots\)이므로 임의의 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{2n} = n^2\), \(a_{2n+1} = -n(n+1)\)이다.

[2단계: 연속하는 두 항의 합과 부분합 \(S_m\) 유도]
모든 자연수 \(k\)에 대하여 \(a_{2k} + a_{2k+1} = k^2 - k(k+1) = -k\)이고 \(a_1 = 0\)이므로, 짝수 번째 부분합은 \(S_{2n} = \sum_{k=1}^{n-1} (-k) + n^2 = \dfrac{n(n+1)}{2} > 0\)이고, 홀수 번째 부분합은 \(S_{2n-1} = S_{2n} - a_{2n} = \dfrac{n(n+1)}{2} - n^2 = -\dfrac{n(n-1)}{2} \le 0\)이다.

[3단계: 부분합 조건으로부터 자연수 \(m\) 산출]
\(\sum_{k=1}^{m} a_k = -55 < 0\)이므로 \(m\)은 홀수이다. \(m = 2n - 1\)이라 하면 \(S_{2n-1} = -\dfrac{n(n-1)}{2} = -55\)에서 \(n(n-1) = 110 = 11 \times 10\)이므로 자연수 \(n = 11\)이다. 따라서 \(m = 2(11) - 1 = 21\)이다.

단계별 채점 기준 (Partial Credit Rubric)	배점 (15점)
\(a_{2n} = n^2\) 및 \(a_{2n+1} = -n(n+1)\) 일반항 관계 도출	6점
\(a_{2k} + a_{2k+1} = -k\)를 이용하여 홀수 부분합 \(S_{2n-1} = -\dfrac{n(n-1)}{2}\) 유도	5점
\(n(n-1) = 110\)으로부터 \(n = 11\) 및 \(m = 21\) 최종 도출	4점

🏛️ 2027 가천대 의예과 수리논술 모의고사 제1회 (5/8) 퀘스티오(Questio) · 대표 강원호 · 사업자등록번호 551-09-03449 | JAR Engine Verified

📘 미적분 🎯 초월함수 \(P(x)e^{-2x}\)의 절댓값 미분불가능점 개수와 변곡점에서의 접선 기울기 곱 ⏱️ 권장 11분 | 배점 15점

[출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅱ-1 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 (교과서 59쪽) 유제 22 미분가능성과 연속성 및 미적분Ⅱ 이계도함수·변곡점과 그래프 개형 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-02-03], [12미적Ⅰ-02-08], [12미적Ⅱ-02-01]]

📝 [제1회 문항 6] 배점: 15점

두 실수 \(a, b\)에 대하여 함수 \(f(x) = (x^3 + ax^2 + bx)e^{-2x}\)과 실수 \(t\)에 대하여 함수 \(g(x) = |t - f(x)|\)가 미분가능하지 않은 점의 개수를 \(h(t)\)라 하자. 함수 \(f(x)\)와 \(h(t)\)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 \(h(t)\)가 불연속인 \(t\)의 값의 개수는 \(2\)이다.
(나) \(\lim_{t \to 0^-} h(t) + \lim_{t \to 0^+} h(t) - h(0) = 3\)

곡선 \(y = f(x)\)의 변곡점의 \(x\)좌표를 원소로 하는 집합을 \(A\)라 할 때, 집합 \(A\)의 서로 다른 두 원소 \(\alpha, \beta\)에 대하여 \(f'(\alpha)f'(\beta)\)의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오.

💡 [제1회 문항 6] 정답 및 3단계 상세 해설 · 채점 기준표 (클릭하여 토글) 풀이 숨김 (클릭하여 보기) ▼

✅ 최종 정답: \(-\dfrac{27}{4e^6}\)

[1단계: 미분불가능점 개수 함수 \(h(t)\) 분석을 통한 \(a, b\) 결정]
\(f'(x) = \{-2x^3 + (3-2a)x^2 + 2(a-b)x + b\}e^{-2x}\)이다. 조건 (가), (나)에서 \(h(t)\)의 불연속점이 \(t=0\)과 극댓값 \(2\)개뿐이고 \(t=0\) 근방에서 \(\lim_{t\to 0^-} h(t) = 1, \lim_{t\to 0^+} h(t) = 3, h(0) = 1\)이려면 \(x = 0\)이 \(f(x) = 0\)의 삼중근(변곡 접점), 즉 \(f'(x) = 0\)이 \(x = 0\)을 중근으로 가져야 한다. 따라서 \(a = 0, b = 0\)이며 \(f(x) = x^3 e^{-2x}\)이다.

[2단계: 이계도함수를 통한 변곡점의 \(x\)좌표 방정식 도출]
\(f'(x) = (3x^2 - 2x^3)e^{-2x}\)이고, 한 번 더 미분하면 \(f''(x) = (4x^3 - 12x^2 + 6x)e^{-2x} = 2x(2x^2 - 6x + 3)e^{-2x}\)이다. 따라서 변곡점의 \(x\)좌표 집합 \(A\)의 원소는 \(x = 0\) 또는 이차방정식 \(2x^2 - 6x + 3 = 0\)의 두 실근 \(\alpha, \beta\)이다.

[3단계: 근과 계수의 관계를 이용한 \(f'(\alpha)f'(\beta)\)의 최솟값 계산]
\(0\)이 아닌 두 변곡점의 \(x\)좌표 \(\alpha, \beta\)에 대하여 \(\alpha + \beta = 3\), \(\alpha\beta = \dfrac{3}{2}\)이다. 따라서 \(f'(\alpha)f'(\beta) = \alpha^2\beta^2(3 - 2\alpha)(3 - 2\beta)e^{-2(\alpha+\beta)} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \{9 - 6(\alpha+\beta) + 4\alpha\beta\}e^{-6} = \dfrac{9}{4}(9 - 18 + 6)e^{-6} = -\dfrac{27}{4e^6}\)이다. (한 원소가 \(0\)이면 곱이 \(0\)이므로 최솟값은 \(-\dfrac{27}{4e^6}\)이다.)

단계별 채점 기준 (Partial Credit Rubric)	배점 (15점)
\(h(t)\)의 불연속 조건 분석으로부터 \(a = 0,\; b = 0\) 및 \(f(x) = x^3 e^{-2x}\) 도출	5점
\(f''(x) = 2x(2x^2 - 6x + 3)e^{-2x} = 0\)으로부터 변곡점 방정식 도출	5점
근과 계수의 관계로 최솟값 \(-\dfrac{27}{4e^6}\) 최종 도출	5점

🏛️ 2027 가천대 의예과 수리논술 모의고사 제1회 (6/8) 퀘스티오(Questio) · 대표 강원호 · 사업자등록번호 551-09-03449 | JAR Engine Verified

📘 수학Ⅰ (대수) 🎯 비선형 분수 점화식의 거듭제곱·등비수열 치환과 항의 일치 조건 ⏱️ 권장 10분 | 배점 15점

[출처: 미래엔(황선욱) 대수 Ⅲ-3 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 (교과서 156쪽) 유제 22 수열의 귀납적 정의와 등비수열 치환 변형 | 성취기준: [12대수03-03], [12대수03-06]]

📝 [제1회 문항 7] 배점: 15점

두 수열 \(\{a_n\}, \{c_n\}\)이 \(a_1 = 2, c_1 = 2\)이고, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \[ a_{n+1} = \dfrac{a_n^2 + 3}{2a_n}, \qquad c_{n+1} = \dfrac{2c_n + 3}{c_n + 2} \] 를 만족시킨다. 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(b_n = \dfrac{a_n - \sqrt{3}}{a_n + \sqrt{3}}\), \(d_n = \dfrac{c_n - \sqrt{3}}{c_n + \sqrt{3}}\)이라 할 때, \(b_7 = (b_1)^p\), \(d_7 = (d_1)^q\)를 만족시키는 자연수 \(p, q\)의 값과 \(a_7 = c_m\)을 만족시키는 자연수 \(m\)의 값을 각각 구하는 과정을 서술하시오.

💡 [제1회 문항 7] 정답 및 3단계 상세 해설 · 채점 기준표 (클릭하여 토글) 풀이 숨김 (클릭하여 보기) ▼

✅ 최종 정답: \(p = 64,\; q = 7,\; m = 64\)

[1단계: 수열 \(\{b_n\}\)의 제곱 점화식 유도 및 \(p\) 산출]
\(b_{n+1} = \dfrac{a_{n+1} - \sqrt{3}}{a_{n+1} + \sqrt{3}} = \dfrac{\frac{a_n^2+3}{2a_n} - \sqrt{3}}{\frac{a_n^2+3}{2a_n} + \sqrt{3}} = \dfrac{(a_n - \sqrt{3})^2}{(a_n + \sqrt{3})^2} = (b_n)^2\)이다. 따라서 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(b_n = (b_1)^{2^{n-1}}\)이므로 \(b_7 = (b_1)^{2^6} = (b_1)^{64}\)에서 \(p = 64\)이다.

[2단계: 수열 \(\{d_n\}\)의 등비수열 점화식 유도 및 \(q\) 산출]
\(d_{n+1} = \dfrac{c_{n+1} - \sqrt{3}}{c_{n+1} + \sqrt{3}} = \dfrac{\frac{2c_n+3}{c_n+2} - \sqrt{3}}{\frac{2c_n+3}{c_n+2} + \sqrt{3}} = \dfrac{(2-\sqrt{3})(c_n - \sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(c_n + \sqrt{3})} = d_1 d_n\)이다. 따라서 \(\{d_n\}\)은 첫째항이 \(d_1\), 공비가 \(d_1\)인 등비수열이므로 \(d_7 = (d_1)^7\)에서 \(q = 7\)이다.

[3단계: \(a_7 = c_m\)을 만족시키는 자연수 \(m\) 도출]
\(a_1 = c_1 = 2\)이므로 \(b_1 = d_1 = \dfrac{2 - \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}\)이다. 따라서 \(b_7 = (b_1)^{64} = (d_1)^{64} = d_{64}\)이며, 함수 \(x \mapsto \dfrac{x-\sqrt{3}}{x+\sqrt{3}}\)은 일대일대응이므로 \(a_7 = c_{64}\), 즉 \(m = 64\)이다.

단계별 채점 기준 (Partial Credit Rubric)	배점 (15점)
\(b_{n+1} = (b_n)^2\) 관계를 증명하고 \(p = 64\) 도출	5점
\(d_{n+1} = d_1 d_n\) 등비수열 관계를 증명하고 \(q = 7\) 도출	5점
\(b_7 = d_{64}\)로부터 \(m = 64\) 최종 도출	5점

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📘 수학Ⅱ (미적분Ⅰ) 🎯 삼차함수의 일대일대응 조건과 도함수 대칭축·접선 합성 방정식 ⏱️ 권장 9분 | 배점 15점

[출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅱ-2 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.25 (교과서 74쪽) 유제 22 접선의 방정식, PDF p.35 (교과서 84쪽) 유제 22 함수의 증가와 감소 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-02-05], [12미적Ⅰ-02-07]]

📝 [제1회 문항 8] 배점: 15점

최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c\)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 \(f(x)\)는 실수 전체의 집합에서 일대일대응이다.
(나) 도함수 \(f'(x)\)는 \(x = -1\)에서 최솟값을 갖는다.
(다) 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((-2, -1)\)에서의 접선 \(y = g(x)\)에 대하여 \(g\big(f'(1)\big) = 59\)이다.

이때 상수 \(a, b, c\)의 값과 \(f(2)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

💡 [제1회 문항 8] 정답 및 3단계 상세 해설 · 채점 기준표 (클릭하여 토글) 풀이 숨김 (클릭하여 보기) ▼

✅ 최종 정답: \(a = 3,\; b = 4,\; c = 3,\; f(2) = 31\)

[1단계: 일대일대응 조건과 도함수의 대칭축으로부터 \(a\) 및 \(b\)의 범위 도출]
\(f'(x) = 3x^2 + 2ax + b\)가 \(x = -1\)에서 최솟값을 가지므로 대칭축 \(-\dfrac{a}{3} = -1 \implies a = 3\)이다. 또한 \(f(x)\)가 일대일대응이므로 모든 실수 \(x\)에서 \(f'(x) \ge 0\)이어야 하며, \(D/4 = 9 - 3b \le 0 \implies b \ge 3\)이다.

[2단계: 접선의 방정식 \(g(x)\) 수립 및 \(b\) 산출]
점 \((-2, -1)\)에서의 접선의 기울기는 \(f'(-2) = 12 - 12 + b = b\)이므로 \(g(x) = b(x+2) - 1 = bx + 2b - 1\)이다. \(f'(1) = 3 + 6 + b = b + 9\)이므로 \(g(f'(1)) = b(b+9) + 2b - 1 = b^2 + 11b - 1 = 59\)에서 \((b+15)(b-4) = 0\)이다. \(b \ge 3\)이므로 \(b = 4\)이다.

[3단계: 상수 \(c\) 및 함숫값 \(f(2)\) 계산]
점 \((-2, -1)\)이 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점이므로 \(f(-2) = -8 + 12 - 8 + c = -1 \implies c = 3\)이다. 따라서 \(f(x) = x^3 + 3x^2 + 4x + 3\)이고 \(f(2) = 8 + 12 + 8 + 3 = 31\)이다.

단계별 채점 기준 (Partial Credit Rubric)	배점 (15점)
도함수 대칭축과 판별식 조건으로 \(a = 3\) 및 \(b \ge 3\) 도출	5점
접선의 방정식 \(g(x) = bx + 2b - 1\)과 합성 조건으로부터 \(b = 4\) 도출	5점
\(c = 3\) 및 \(f(2) = 31\) 최종 도출	5점

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