1줄 (30%)$3^x = p$ ($p \gt 0$)로 놓으면 $p^2 - 12p + 27 = (p - 3)(p - 9) \le 0$에서 $3 \le 3^x \le 9$이므로 $1 \le x \le 2$이다. (3점)

2줄 (40%)$2^x = q$로 치환하면 $1 \le x \le 2$에서 $2 \le q \le 4$이고, $W(x) = q^2 - 6q + 15 = (q - 3)^2 + 6$이다. (4점)

3줄 (30%)구간 $[2, 4]$에서 $q = 3$일 때 최솟값은 $6$, $q = 2$ 또는 $q = 4$일 때 최댓값은 $7$이므로 합은 $6 + 7 = 13$이다. (3점)

1줄 (30%)부채꼴의 반지름을 $r$, 호의 길이를 $l$이라 하면 $2r + l = 28$에서 $l = 28 - 2r$ ($0 \lt r \lt 14$)이다. (3점)

2줄 (40%)부채꼴의 넓이 $S = \dfrac{1}{2}rl = \dfrac{1}{2}r(28 - 2r) = -r^2 + 14r = -(r - 7)^2 + 49$이므로 $r = 7$일 때 넓이가 최대이다. (4점)

3줄 (30%)$r = 7$일 때 $l = 14$이고 중심각 $\theta = \dfrac{l}{r} = 2$이므로 $r + l + \theta = 7 + 14 + 2 = 23$이다. (3점)

1줄 (30%)$f'(x)=3ax^2$이므로 점 $(2, 8a)$에서의 접선의 방정식은 $y=12a(x-2)+8a=12ax-16a$이고, 점 $(3, 5)$를 지나므로 $20a=5 \implies a=\dfrac{1}{4}$이다. (3점)

2줄 (40%)방정식 $f(x)=x$, 즉 $\dfrac{1}{4}x^3=x$의 실근은 $x=-2, 0, 2$이며, 원점 대칭과 직선 $y=x$에 대한 대칭성에 의해 구하는 넓이 $S$는 구간 $[0,2]$에서 $y=x$와 $y=f(x)$ 사이의 넓이의 $4$배이다. (4점)

3줄 (30%)따라서 $S=4\displaystyle\int_0^2\left(x-\dfrac{1}{4}x^3\right)dx=4\left[\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{16}x^4\right]_0^2=4(2-1)=4$이다. (3점)

1줄 (30%)부분분수 항등식에 의하여 $\dfrac{4}{(2k - 1)(2k + 1)} = 2\left(\dfrac{1}{2k - 1} - \dfrac{1}{2k + 1}\right)$이다. (3점)

2줄 (40%)$k = 1$부터 $15$까지 대입하여 더하면 $K = 2\left\{\left(1 - \dfrac{1}{3}\right) + \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5}\right) + \cdots + \left(\dfrac{1}{29} - \dfrac{1}{31}\right)\right\} = 2\left(1 - \dfrac{1}{31}\right)$이다. (4점)

3줄 (30%)$K = \dfrac{60}{31}$에서 $p = 31,\ q = 60$ (서로소)이므로 $p + q = 91$이다. (3점)

1줄 (30%)$y=-n$을 대입하면 $P_n\left(1+\left(\dfrac{1}{3}\right)^n, -n\right)$, $Q_n\left(7-\left(\dfrac{1}{9}\right)^n, -n\right)$이므로 선분 $P_n Q_n$의 길이는 $6-\left(\dfrac{1}{3}\right)^n-\left(\dfrac{1}{9}\right)^n$이다. (3점)

2줄 (40%)점 $R_n(4,-n-2)$와 직선 $y=-n$ 사이의 거리는 $2$이므로 삼각형의 넓이는 $a_n = \dfrac{1}{2}\times 2\times\left\{6-\left(\dfrac{1}{3}\right)^n-\left(\dfrac{1}{9}\right)^n\right\} = 6 - \left(\dfrac{1}{3}\right)^n - \left(\dfrac{1}{9}\right)^n$이다. (4점)

3줄 (30%)$a_1+a_2 = 12 - \left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}\right) - \left(\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{81}\right) = 12 - \dfrac{4}{9} - \dfrac{10}{81} = \dfrac{926}{81}$이므로 $81(a_1+a_2)=926$이다. (3점)

1줄 (30%)$x \to 5$일 때 분모 $x - 5 \to 0$이고 극한값이 존재하므로 $\sqrt{3\cdot 5 + 1} - \alpha = 0$에서 $\alpha = 4$이다. (3점)

2줄 (40%)$\alpha = 4$를 대입하고 분자를 유리화하면 $\displaystyle\lim_{x \to 5} \dfrac{(3x + 1) - 16}{(x - 5)(\sqrt{3x + 1} + 4)} = \lim_{x \to 5} \dfrac{3}{\sqrt{3x + 1} + 4}$이다. (4점)

3줄 (30%)따라서 $\beta = \dfrac{3}{4 + 4} = \dfrac{3}{8}$이므로 $8\alpha\beta = 8 \times 4 \times \dfrac{3}{8} = 12$이다. (3점)

1줄 (30%)몫을 $Q(x)$라 하면 $x^8 - px^2 + q = (x - 1)^2 Q(x) + 6x - 5$이고, 양변에 $x = 1$을 대입하면 $1 - p + q = 1 \implies p = q$이다. (3점)

2줄 (40%)양변을 $x$에 대하여 미분하면 $8x^7 - 2px = 2(x - 1)Q(x) + (x - 1)^2 Q'(x) + 6$이다. (4점)

3줄 (30%)미분한 식에 $x = 1$을 대입하면 $8 - 2p = 6$에서 $p = 1,\ q = 1$이므로 $p^2 + q^2 = 2$이다. (3점)

1줄 (30%)$V'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) = 0$에서 구간 $[0, 3]$ 내의 극소점은 $x = 2$이다. (3점)

2줄 (40%)경계값과 극솟값을 비교하면 $V(0) = c$, $V(2) = -4 + c$, $V(3) = c$이므로 최댓값은 $c = 11$이다. (4점)

3줄 (30%)따라서 최솟값은 $V(2) = -4 + 11 = 7$이다. (3점)

1줄 (30%)적분 구간 $[-3, 3]$이 원점에 대하여 대칭이므로 기함수인 $5x^7 - 2x^5 - 9x$의 정적분 값은 $0$이다. (3점)

2줄 (40%)우함수인 $x^2 + 4$에 대하여 성질을 적용하면 $J = 2\displaystyle\int_0^3 (x^2 + 4)\,dx = 2\left[\dfrac{1}{3}x^3 + 4x\right]_0^3$이다. (4점)

3줄 (30%)따라서 $J = 2(9 + 12) = 42$이다. (3점)